Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 21

.Мы видели, что чистое состояние бинар­ной системы может вести себя подобно смешанно).{у состоянию, когда мынабтодаем только одну се IЮl\Систему А, а ортогональное из~ерение би­нарной системы внутри ее подсистемы А может быть (псор·mгона.lll~ной)ПОЗМ. Зададимся вопросом: если состояние бинарной системы соверша­ет унитарную эвотоцию, то как тогда описать ЭВОJJЮцию одной только ееподсистемы А?Пусть начальная матрица IL'ютности бинарной системы представляетсобой тензорное произведение состояний ви;щРАе.IО)нв(ОI:(3.64)3.2. CYЛF.POIIEPATOPЫ105система А имеет матрицу плотности р А• а система В предполагается нахо­IO} в.

Бинарная систе­дящейся в чистом состоянии, которое мы обозначилима эволюционирует в течение конечного промежутка времени, управляемаяуi(Iпарным оператором эвшrюции(3.65)Выполним вычисление частичного следа в 'Н в, чтобы найти конечную мат­рицу шютности системы А:р~ ~ trв ( VАв (Р.< 010} в в (Щ)U~в)~ Lв(J.<IVAв107вPAв(OIV 1,вli<}н,(3.66)"I"CIC{11<) в}ортанормированный базис в1-1 8 , а в (J.<IU АН IO} в - опера­тор, I!Сйствующий в Н л- [Если {li} А 011-'} н} - ортонормированный базисв НА0'Н.

8 , то в (I'IU АВ lv} в обозначает оператор, матричные элементыкоюрога равны(3.67)Fсли обозначить(3.68)то р~ можно представи1ъ в виде$(рА) ""Р~ ~Из упитарностиUАRLM"pAM1(3.69)"следует, что М Р. обладает свойстJюм(370)Уранпение(3.69)определяет линейное отображение$, иреобразующееодин линейный оператор в -'\РУ' ой. ЕсJш выполняется свойствокос О1{>6ражение называется супероператором, а уранпение(3. 70),(3.69)то та­НЗ:.}Ьl-ГЛАВА 3\Обвается представленнем супероператора операторной суммой (или представ­леинем Крауса).

Супероператор можно рассматривать как линейное отоб­ражение, иреобразующее операторы шютности в операторы шютности, по­скольку из(3.69)и(3.70)следует, что р~ -оператор rшотности, если имявляется р А:(IJ р~ эрмитов: p~t ~ L;M,.p~Mt ~ L;M,.pAML = р~,.,.(2) р~ имеет единичный след: tr р~ =(3)I:,. tr (рАмtм,.)= tr Рл = 1.Р'л положительно определен:А (ФIР~IФ) АL,.=(л NIM,.)pA (MliФ) л) ?3 О.Мы показали, что представление операторной суммы<<унитарного представления»(3 .66).(3.69) следуетизБолее того, по данному представлениюсупероператора в виде операторной суммы всегда можно построить соот­ветствующее унитарное представлепие. Dыберем в качестве1t вгильбер­ТОБО пространство, размерность КОТОJЮГО, по крайней мере, больше ЧИСJiаi'P)слагаемых в операторной сумме.

ЕслиА - произвольвый вектор в 1tл.{li<) в}- ортанормированный базис в 1tв, а JO) в- некоторое нормирован­ное состояние в Н в, 10 определим действие U АВ сооnюшепиемVAв(I'P)A ® JО)в)=L:M,.I'P)л 0 li<)в.,.(3.71)Это действие сохраняет внутреннее произведение(~л('P,IMt0 в(vl) (~M,.I'Pt)A®II')в)=А 'Р2 ~~ м),м,.l 'Pt JА= ('Pzi'P,) А•((3.72)следовательно,U АВ может бытъ расширен до унитарного оператора, .<Iей­ствующего на всем 1tА ® 1i в. Взяв частичный след, мы найдемtr в ( U АВ (I'P) A0IO) вНл {'PfS>в (OJ) U~в) =L,.

м,. (i'P) А А ('PI) М1.(3.73)3.2. СУПЕРОIIЕРАТОРЫ107Поскольку mобая мюрица юотности рА может быть представлена как ан­самбль чистых состояний, мы воепроизволим представление операторнойсуммы, действующей на произвольную р А.Очевидно, что представление операторной суммы данного супероиера­тора$не единственно. Мы можем uычисJШТЬ частичный след в шобом ба-зисе, в каком пожелаем. Если мы исполь.зуем базис {в (vl = 2: U "~в (1"1},~то получим представление(3.74)где Nv = Vv 11 MIL.

Вскоре мы увидИм. что так связаны любые два пред­ставления операторных сумм одного супероператора.Су11сроператоры важны, поскольку они обеспечивают нас формализ­мом для обсужАсния общей теории декогереuтизации, эволюции чистыхсосiояний в смешанные. Уuитарная эволюция р А является частным слу­чаем, когда в операторной сумме имеется только одно с.-шi·асмое. Ес,ш к нейприсутствуют два или более с.11агаемых, тогда в ходе эволюции, управляе­мой операторомU АВ• чистые начальные состояния из 1iA запутывают­118 .

То есть если возникающие поператорной сумме операторы М 1и М 2 линейно независнмы, то существует такой вектор I'P) А• что векторыI.P 1 ) А = M 1 j<p) А н I.P2 ) А = M 2 f<p) А линейно независимы, следоватслыю,состояние l<f 1 )Ail)в + I.P 2 )Ai2)в + · ·· имеет число Шмидта больше еди­ницы. Следовательно, чистое состояние j<p) А А ('PI эволюционирует к сме­ся сшанному конечному состоянию РА.Из двух супероператоров $ 1 и $ 2 можно построить композицию, пред­ставляющую собой друтой супероператор $ 1 о $ 2 ; если $ 1 описывает эво­;поцию от вчерашнего дня до сегодняшнего, а $ 2 - от сегодняшнего днядо завтрашнего, то$1о$2описывает эвоmоцию от вчерашнего дня дозав-rрашнего. Но является ли обратвый супероператор также суперопера­тором? То есть существует _.,и суперонератор, онисывающнй эвоmоцию изсеrодняшне10 лня во вчерашний? Вы накажете в домашнем упражнении 1что на самом деле супероператор обратим то;1ько тогда, когда он увитаре н.Операторы унитарной звоmоции образуют группу, а супсроператорыопределяют ДJrnамичсскую полугруппу.

Когда возникает декогерентизацня,существует стрела времени; даже на микроскопическом уровне можно го­ворить о разJПJЧии меЖJ\У движением вперед и назад во времени. Декоге~рентизаuия вызывает неизбежную нотерю квантовой информаr~и--одна­жды вынув (мсртного) кота из ящика. мы не можем вернуть его в исходноесостояние.ГЛАВА З1083.2.2.ЛинейностьТе пер!. посмотрим на эту проблему немного шире и обсудим основныесвойства, которым должен удовлстнорять любой «разумный» закон эволю­ции матрицы плотности. Мы увидим, чю любой такой закон допускаетпредставление операторной суммы,roесть, в известном смысле.

выдсJtсп­ное нами динамическое поведение рассматриваемой части бинарной систе­~1Ы ДСЙСТВИТСJlhНО ЯВJIЯСТСЯ наиболее ОбЩИ:\1..Отображение$ :р_,р', иреобразуюшее исходную "атрицу 11лотно­сти р в конечную р , представляет собой оrображение операторов в оnера­1торы, об;1адающее следующими свойства\-ш:(1) $ coxpaiiЯem эрмитовость: р' эрмиюва, если таковой является р.(2) $ coxpaf/Яem след: tr р' ~ 1, сели tr р ~ 1.(3) $полож. ителен: р' неотрицательна, если таковой является р.Обычно также предполагают, что(0) $линейный оператор.В 'Ю время как условия(1), (2)и(3)действительно необходимы мятого,чтобы р' оставалась матричей плотности, (О) остается открытым вопросом.Почему шшейность?Возможный ответ состоит в том, что нелинейную эволюцию :матрицыплотности бьшо бы сложно сог:тасовать с .1юбой интерпретацией ансамб.т:rя.Если$[р(Л)] = $[Лр 1+ (1- Л)р2 ]rогда временная зволюция-Л$[р 1 ]+ (1- Л)$[р2 ],(3.75)сшласуется с вероятностной интсрпрстапи­ей р(Л): или (с вероятностью Л) бьmо пригоююено начальное сосюя­J,ние р 1 , коюрое эво:rюционировало н состояние $[p 1 или (с вероятно­стью 1- А) бы:ю приrотовлено начальное состояние р 2 , которое эволюJ,и­онировало в сосюяние $[р 2 ].

Пелинейный сулероператор $,по-видимому,ведет к парадоксальным следствиям.В качестве примера рассмотрим один кубит, эволюционирующий со­Jласпо(3 76)--------·--------3.2. СУПRРОПЕРАТОРЫНетрудно проверить, что$ ---109положительный и сохраняющий след опера­тор. Предположим, что начальной матрицей плотности является р = ~ 1,реализованная как ансамбль(3.77)llоско.JЬкуtr( и 1 р) -О, эволю1щя р тривиальна и оба представителя ансам­б;"IЯ остаются неизменными. ~СШI спин был приготовлен в состоянииj j z),то в нем он и останется.Теперь прсдставим, что непосредственно после прюотовления ансам­бля мы ничего не делаем, если бьuю приготовлено состояние 1 j z), но еслиоказадось, что приготоюеномы поворачиваем его в состояние 1 i х)­I1J,Тепер,. матрица плотности равна(3.78)так что tг(u 1 p')=~- ll рс:Jультатс эволоции, управ.JЯсмой оператором$,она нреобразуется в $(р') ~ а- 1 prr 1 . Тогда С С!! И спин бьш приттовленв состоянии 1iто оп эвошоцнонирует в орт01ональное состояние 11,).J,Следуя этим днум сценариям, первоначально пригоrовленное состоя­ние jt z)эволюционирует рюличным образом.

Но в чем разница междуэтими ;~нумя случаями? Разница в том. что если прШ11товлсно начальноесостояние спина.оаем в С.'JУЧаеj Jz),(1 ), ното мы совершаем различные действия; ничего не де­поворачиваем снип в случае(2).Тем не менее, мы об­наружили, чrо в этих двух едучаях спин ведет себя по-разному, даже еслипервоначально бы;ю приготовдепо состояние1Т,)!Мы привыкли говорить, что р описывает две (или более) различныеа.1Ьтернативы приготовления чистого состояния. только одна из которыхдействительно реСLJ"Iизуется всякий раз, когда мы готовим куби1: Но мы об­наружшш, что если мы готовим6UCum1i,),то происхоi\Ящее дейспштельно зa-от того, что .«ы бьL'lи бы должны сде~tать,было приготовлево 11,).ecJDi бы вместо этогоПо-видимому, становится нераJу>!НО рассматри­вать ;ща возможных.

11риготовления как взаимно исктачающие аJJьтернати­вы. Эволюция альтернатив действите.пьно зависит от дРУI'ИХ альтернатив,которые предположительно не были реализованы. Джо Полчинскн назвалэто явление «телефоном Эвереп'а>>, поскольку различные «ветви волновойфункции)) выглядят способными «общаться)) между собой.Тогда нелинейпая эвоnюция матрицы rтотности имела бы странные,возможно, даже абсурдные следствия. И нее-таки это не факт, что нели-ГЛАВА 3110нейная эволюция должна быть исключена. Действите.:tыю, Джим Хартлдоказывал, что существуют вариан'lы «обобщенных квантовых механию>,в которых допустима нетшейная эволюция, но тем не менее можно сохра­нить последовательную вероятностную интерпретацию.

Несмотря на это,здесь мы будем следовать традиции и требовать, чтобы$ бьш .жнейнымоператором.3.2.3.Поли"" по.~ожвтельвостьБыло бы приятно прийти к выводу, что любойусловиям(0)-(3), имеет представление$,удовлетворяющийоператорной суммы и, слсдовател!>­но, может быть реализован унитарной эволюцией подходящей бинарнойсистемы. К сожалению, зто не всегда возможно. И все же, к счастью, оказы­вается, что, добавив одно достаточно безобидно звучащее предположение,можно наказать, что $ имеет представление операторной суммы.Необхо;(Имым нам дополнительным предположением [в действите.~ь­Iюсти более сильной версией(3)]является:(3') $ вполне положителен.Полнаяположительностьnпределяетсяследующимобразом.Рас­смотрим любое возможное расширение 1f.А до тензорного произведения1-{А ®1-{ 8 ; югда $вполне положителен в Н.

А, если $Ажительиым для любого такого расширения.01 8яплястся rюло­Полная положительность, несомненно, является разумным свойством,чтобы нуждаться в физических основаниях. ЕсJШ мы изучаем звошоциюсистемы А, то никогда нельзя быть уверенным в ·rом, чrо нет взаимодей­стнуюшей с ней системы В, о существовании которой мы не подозрева­ем. Пшrnая положительность (в комбинации с другими предпо.1ожениями)утверждает дишьro,что если система А эволюционирует, а система В-нет, то любая начальная матрица пло11юсти составной системы З1юлюцио­ипрует в друrую ма:rрицу плотности.Докажем, что предположений(0), (1 ), (2)и(3')достаточно для ю­го, ч10бы $ был супероператором (имел представление операторной сум­мы).

[Действительно, свойства (0)-(3') мoryr рассматриватт,ся как а.1ьтер­нативное определение супероператора.] Однако, прежде чем нриступа:rь кдоказательству, попробуем nояснить понятис полной rюложитсльности напримере положительного, но не вnолне положительного оператора. Такимпримерам служит оператор транспонированияТ:р->рг(3.79)111СУIIЕРОПЕРАТОРЫ3.2.Т сохраняет собственные значения оnератора р и, следовательно, очевидноположителен.