Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 15

РАЗЛОЖЕНИЕ ШМИДТА2.4.1.Запуташ10сть11/1} АвКаждому чистому двухкубитовому сосшяииюможпо сопоста­вить положительное целое число, число Шмидта, предста:вляющее собойколичество иенулевых собственных значений Рл (или р 8 ) и. следоватень­но, -число сдагасмых в разложении IПмидта состояния I'Ф) АВ. С nомощьюэтой величины мы можем определить, ч1u значит бы1ъ запутанным днячистого двухкубитовоiо состояния: IФ) АВ запутано (или несепарабелъно)если его число Uiмидта бо.JIЬшс е.:щницы; в противном случае оно сепара­бе'l.ьно (или не занутаrю). Таким образом, сепарабслыJОе чистое состояниедвух кубитов представляет собой прямое нроизведение чистых состоянийИЗ '!i А И '!i В;11/1} АВ -·1'1'} .4 @ IX) Втогда и приведеиные "атрицы шютности р А =(2.92);lc;) А л (pl,Рв ~lx} в в (xlяв;шются чистыми. Любое сос·юяние, ко·юрое не может быть нре11.стапленов виде такоm прямого произвс)(СНИЯ, яв:тястся запутанны~; тогда Рл и Рвпредставляют собой смешаннЬiс состояния.Одна из наших главных целей этого семсс··гра-лучше 1ЮFIЯ1Ъ смысj1.зануталтюсти.

Иногда не совсем строго и корректно ruворят, что подси­стемы А и В не корре"Iированы, сели состояние 1~') л 8 -сепарабельно; вкон не концов, два снипа н сенарабельном состоянии1Т)лlнесомненно, коррелированы·-Т)в,(2.93)оба они ориентированы в одном направле­нии. Однако характер корре:uщий между А и Н в запутанном и сепарабель­ном состояниях раз.mrчен. Ве}Юятно, решающим различием являетсяro, что3аnутанность Ш!.'lОКальна. Единстиснным способом заnутать А и В являет­ся ддя .1\Вух подсистем их непосредственное взаимодействие друг с другом.Мы можем ttриготовить состояние(2.93).не приводя снины А и Вв контакт дру1· с друюм.

Нам нужно только послать сообщение (классиче­ское!) двум ассистентам (Алисе и Бобу 1 ), чшбы оба они приютовштн спинв состоянии, ориентированном вдоль осивратитъ(2.93)z.Но едиственным способом пре­в запутанное состояние, типа(2.94)яв;mется применение к нему кшиtективного унитарншо преобразования.докальные унитарные преобразоиания видаU А® U ви выполненные Али­сой и Бобом лока.'IЬные измерения не _.\шгут увеличить число Пlмидта1AJПJca и Боб (А и В)1/ри.м. ред.традиuионные персонажн теории квантовой .ннформации. -ГЛАВА 274двухкубитового состояния, независимо от roro, как дomu Алиса и Боб об­суждали свои действия.

Чтобы запутаТh два кубита, мы должны собрать ихвместе и позволить им взаимодействовать.Как мы обсудим позже, можно также определиТ~> различие между за­путюшым и сепарабельным двухкубитовыми смешаппы.ми состояниями.Мы также обсудим различные способы, которыми локальные операции мо­гут модифицировать форму запутанности, а также некоторые возможностииспользования запутанности.Неоднозначность интерпретации ансамблей2.5.2.5.1.ВыпуклостьНапомним, что оператор р, действующий в гильбертоном простран­стве1-l,может рассматриваться как оператор плотности, есди он об.Jiадаеттремя свойствами:(l)р самосопряжен;(2)р неотрицателен;(3) tr(p)~1.Отсюда непосредственно следует, что из двух данных матриц плотно­сти р 1 и р 2 мы всегда можем построить друтую матрицу ruютности каквыпуклую линейную комбинацию: при любом вещественном Л, удОJL'lетво­ряющемО (Л~1,р(Л) = Лр 1+ (1 -Л)р2(2.95)nредставляет собой матрицу плоnюсти.

Легко вид=, что р( Л) удовлетво­ряет свойствам(1)и(3), еслиимиобладают р 1 и р2 . Чтобы проверить(2),вычислим(2.96)неотрицательность р(Л) обеспечивается тем, что таковыми являются р 1и р 2 . Таким образом, мы показали, что в гильбертовам пространстве Н раз­мерностиN онсраторы плотиости образуют выпуклое подмЖJжество ве­щественного векторного прос1ранства эрмитовыхNхN -ма1риц.(Подмно­жество векторного пространства называется выпуклым, сс-тн оно содержит01резкн прямых линий, соединяющие любые две его точки.)2.5.

НЕОДНОЗНЛЧНОСТЬ ИНТЕРПРЕТАЦИИ АНСАМБЛЕЙ75Большинство операwров 1шотности моrут быть многими различнымиспособами представлены в виде сумм других операторов плотности. В э10мотношении чистые состояния занимают особое подожение-невозможновыразить чистое состояние как выпукпую сумму двух других чистых со­стояний.

Рассмотрим чисrое сосrояние р =I.P) (ФI;пустьI.P.L)обозначаетвектор, ортогональный IФ). (1/> 1 11/>) =О. Предположим, что р можно разло­жить, как в уравнении (2.95); тогда(Ф _~_IPIФ _~_) =о~ .\(ф J IP!IФ.J+ (1- .\)(ф _L IР21Ф_~_).(2.97)Так как правая часть яВJIЯется суммой двух неотрицатедьных слагаемых,оба они должны быть одновременно равны нулю. Если.\ не нуль и не еди­ница, то отсюда следУет, что р 1 и р 2 ·ортогональны IФ _~_).Но поскольку IФ _~_)может бьпъ тобым вектором, ортогональным I·Ф). мы приходим к выводУ,чrо Р1= Р2 = Р·Векrоры выпуклого множества, которые не могут быть представдевыв виде линейной комбинации других векторов зто го множества, назьmаютсякрайними точками множества. Мы только чrо пока..1али, чrо чистые состоя­ния являются крайними точками множества матриц ruютнocrn. Более того,только чистые состояния ЯВJIЯются крайними, поскольку любое смешанноесостояние может быть записано как р-- I;p,li)(ilв базисе, в кот1Jром оноiдиаrоnалъно, что ЯRЛяется выпукпой суммой чистых состояний.Мы уже встречались с этой струюурой в обсуждении частного случаясферы Блоха.

Мы говорИJiи, ч·rо операторы плотности заполняют (едюшч­пый) шар в трехмерном множестве зрмптовых2х 2-матриц с единичнымследом. Шар является выпукдым, а его крайними wчками являются то<nшна поверхности. Аналогично,Nх N -операторы плотности образуют выпук­лое подмножество (N 2 - 1)-мерного множества эрмитовых N х N-матрицс единичным следом, крайними точками коrорого являюrся чистые состоя­ния.Однако в одном отношении 2 х 2-случай нетнпичен: при N > 2 wчкина границе множества матриц плоnюсти не обязательно являются чистымисостояниями.

Граиину множества образуют все матрицы плотности, име­ющие хотя бы одно нулевое собственное значение (поскольку существу­ют сколь угодно близкие к ним матрИI\Ы с отрицательными собственнымизначениями). Такая матрица ruютностп при N > 2 не яВJIЯется чистой, по­скольку число ее ненулевых собственных чисел может превЫ111ать единицу.2.5.2.Приготомение ансамбля13ыпуклость множества матриц шютности имеет простую, проясняю­шую суть дела, физическую интерпретацию. Допустим, что ассистент со-ГЛАВА 276r;raccн нрИiuтонить одно из двух возможных состояний; состояние р 1 го­товится с пероятносiъю..\.,а состояние р 2 -- с вероятностью1-Л.

(Мож­но воспОJIЬ.1оватъся генератором случайных чисеd, чтобы осуществит•~ этотвыбор.) Чrобы ВЫЧИСJIИТЬ ожидаемое зиачеиис любой наблюдаемой М,мы усредняем се по обоим выборам пригоrовления, а результат квантовогоизмерения сеть(М) = Л(М) 1+ (1- Л)(М) 2= Л tr(Mp 1 )1· (1-Л)=tr(Mp2 )= tr(Mp(Л)).=(2.98)Таким образом, вес ожидаемые значения не отличимы от тех, что мы !Юлу­чили бы, если бы вмссrо этого было нриrv·юн.нено состояние р(Л) Такимобра.1ом, мы имеем олерапионную процедуру, данные методы приготов:те­ния состояний р 1 и р 2 д.ilЯ приготовления произвольной выпуклой ко~би­нации.Действительно, д.i1Я moбo1u смешанною состояния р существует бес­конечное множеспю с11особоиe1u11ре;'~став.Iе1ШЯ в виде выnуклой комби­нации друrих сосwяний и, следовательно, бесконечное разнообразие про­педур, которые мы MOIJJИ бы нримснить для приготовления р.

И каж.цая иззтих процедур ведет к одним и тем же следствиям для ;ообой мыслимойнаблюдаемой рассмюринасмой системы. По чисrое сосrояние совсем дру­гое-оно может быть пригоrовдено одним единственным способом. (Тош..··п) оно «чкстос» относительно чистых состояний.) Каждое чистое сос·luя­пие яв:rяется собственным состоянием пекоторой наtilЮЛ:аемой, например,для сосrояния р =резу,;тьтат1.11/;) (11:1измерение проекции Е =IФ) (1/11 гарантирует(В качестве примера вспомним~ что каждое чистое сос·юянисоднОго кубита представляет собой состояние типа «спин вверх» вдоль иско­торой оси). Поскольку р является состоянием, шm которого резу.Тhтат из­мерения Е со 100% вероятносп~ю равен е;~ипице, нет никакой возможно­сти воспроизвести зrо наблюдаемое свойство, выбирая один и~~ несколь­ких возможных способовetuприготовнения.

Таким образом, приютовлс­ние чистого состояния совершешю однозначно (мы можем установит1) ::.тотединственный способ его пригоrовления, если имеем множество копий со­стояния, чтобы позкспериментировать с ними), тоrда как в приготовлсниисмешанного состояния всегда возможны нарианты.Как велика :эта пеоднозначность? Так как любое р можно предста­Rить в ви;з;е суммы чистых сосwяпий, за,•(ержи:м наше внимание на с:1е.1у­ющсм вонросс: наскоJJЫ<О большим чис.юм снособов может быть представ-772.5.

НЕОДНОЗНАЧНОСТЬ ИНТЕРПРЕТАЦИИ АНСАМБЛЕЙпен оператор шютности как выпуклая сумма чистых состояний? Математи­чески зтот вопрос звучит так: насколько большим числом способов можнозаписать р в виде суммы крайних состояний?В качестве nервого примера рассмотрим «максима.i'IЬНО смешанное»состояние одного кубита:(2.99)Такое состояние дсйстщt:тельно может быть приготовлено бесконечнЬiм{шелом снособо!! как ансамбль чистых состояний. Например.(2.100)такое р мы получим, если припповим состояния илиля:ющисся с нсроятностью1j ,), или llz), появ­1каждое.

Но также мы имеем(2.101)r-акос р мы rюлу•rнм, ес;rи приrотовим сосюяния и;шявляющисся с верuятJЮС'JЪЮ1j х),илиllx),uо­4каждое. Эта нроцсдура приrотовления, бес­спорно, другая. Тем не менее, наб;подая за одним спином, разницу междуними обнаружить невозможно.И вообще, центральная точка шара Блоха является суммой mобых двухдиаме1рально противоноложных точек на сфере. поэтому, прИL'О1uвив или11л), или llл), появляющиеся с вероятностью~ каждое, мы тем самымприготовим состояние р = ~ 1.Раз.;ш.чные способы приrоrовления риз ансамбля взаимно ортогиналь~иых чистых состояний существуют IOJJЬКO тогда, когда р имеет два (илиболее) вырожяеппых собственных значения. Однако у нас нет серьезныхоснований ограничивать наше внимание зтими ансамблях. Мы можем рас­смотреть точку внутри шара Блоха,р(Р) =с О < jPj1~2 (1 + Р . а)(2.102)< 1; это состояние таюке можно выразить как(2.1 03)ГЛАВА78ес;ш Р = Лn 1+ (1 -2Л)n 2 (или, другими сдовами, f3 i!ежит ще-пибудь иаi>, 1 и n2 ).

Очевидно, что дляотрезке нрямой, соединяющей точки сферылюбопJ Р существует такое рещение, связанное с ;rюбой хордой сферы,проходящей через точку Р; все такие хорды образуют двухпараметрическоесемейство.Эта высокаястепень неоднозначности приготоn.пениясмешанногоквакrовоrо состояния явJiяется одной из характерных особешюстей кванто­вой информации, коrорая резко контрастирует с классическими вероятност­ными распре11елениями. Рассмотрим в качестве примера распределение ве­роятностей одного классического бита. С.,'уществует 11ва крайних распреде­ления таких, в которых О или1возникают со100%вероятностью. Любоераспределение вероятностей для бита явоmется выпуклой суммой этих 11вухкрайних точек. Аналогично, если имеется N возможных состояний, то су­ществует N крайних распределений, а любое распределение вероятностейимеет единственное разложение по этим крайним распределениям (выпук­;юе множество распределений вероятностей образует си,wплекс) .