Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 14

В этом состоитсодержание теоремы nилонаТеоремаl Лизона(1957).ИСХОДИТ ИЗ прСТJ.ПОСЬШКИ, ЧТО :щцачсй КВЗНТОRОЙ тео­рИИ является сопоставление соответствующих вероятностей всем возмож­ным ортоruнальным проекциям н шлr.берювом пространстве (;1рутими сло­вами, всем возможным измерениям набшодаемых).Тогда состоянием квантовой системы является отображение, котороекаждой проекцин (Е 2 ~ Е и Е - El) ставит в соответствие нсотрицатель­ное вещественное число, не иревосходящее единицу:U <;; р(Е) <;; l.Е~ р(Е),(2.71)Это отображение должно обладать свойствами:(1)р(О) = О.(2) p(l)(3)~1.Еспи Е 1 Е 2 =О, ю р(Е 1+ Е 2 ) = р(Е 1 ) + р(Е,).Решающим здесь является постулат(3).Он утвержлает, что (поскольку про­екции на взаимно ортогональные пространстпа могут рассматриваться каквзаимно исключающие альтернативы) вероятности, нринисываемые взаим­но ортогональным проеюtиям, должны быть аддитивны:ми.

Это очсш, си;н,­ное предположение, поскольку существует много различных способов вы­бора Е 1 н Е 2 . Грубо говоря, первые два предположения утверждают, что,какое бы измерение мы ни делали:(!)всегда естьeroрс:!)'JП;гат;(2)ве­роятность суммы всех возможных (взаимно орmгона.т,ных) исхоаов равнаединице.В этих прещюложсниях Глизон показал, что ес::ш размерность гиль­берюва пространства болыне двух, ю щrn любоru такоru оюбражения су­ществует эрмитовский, пшюжитс~1Ы1ый Olicpaтop р с единичным с.1едомtr р = 1такой, чтор(Е) =tr(pE).(2.72)Таким обра·юм, формализм матрицы шютности действительно являетсянеобходимым, если мы представляем наб~1юдаемые самосопряженнымиоператорами в гильбертовам пространстне и приписываем определенныевероятности кажлому возможному результату измерения.

Грубо 10воря, тре­бование аддитивности вероятностей взаимно исiсiючающих результатов на­столько сильно, что мы с необходимостью приходим к линейному выраже­нию(2.72).2.3. МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ69Случай двумерного гильбертона прос·rранства является особым, по­скош.ку именно в двух измерениях оказывается недостаточным взаимноискпючающих проскций. Все нетривиальные нроекции имеют видE(ii)=~(1+ ii д-),(2.73)ноE(ii)E(m)только при т-сфере функцияf(f1)~О(2.74)-i1.; слс;~овательно, любая ощ:>еделенная на двумернойтакая, чm f(ii) + f( -ii) = 1, удовлетворяет условиямтеоремы Глизона, а таких функций существует много.

Но в трех измерени­ях может быть больше альтернативных способов разбиения единицы, такчто пре;(положсния Г:rи:зона гораздо си.:1ьнее. Мы не приво;~им здесь дока­зательства теоремы. (Д."IЯ обсуждения см. книту Переса, стр. 190) 1•2.3.4.Эводюции оператора пдотностнДо сих пор мы пе обсуждали эноJJюцию во времени сметанных сос"Iuя­ний. В с.·тучае бинарной системы, подчиняющейся обычным аксиомам клан­товой теории, прелположим, что се гамилыони ан н. llpOC11Jaircтi\C 1-{ А !5!J 7-{. 8имеетвид(2.75)В ::>том прсiщоложении подсистемы..4 и n несвязаны между собой, так чтокажл.ая из них эволюционирует независимо. Оператор эволюции комбини­ровашюй системы(2. 76)расцеШIЯется на отдельные унитарные операторы эволюции, J(ейстнуrощиекаждый на свою систему.Т017Щ в шредингеровекай карпше динамики начальное чистое состоя­ние [;>(О)) лн бинарной системы, за,~анное уравнением (2.57), эво;поциони­рует как[1l}(t))л 13=I:ai ,[i(t))14е: il'(t))в,(2.77)i,j.tщс[i(t)) А = V л(t)fi(O)) А>fl'(t))в ~ Vв(t)[Jt(O))A1(2.78)А Peres, Quantum Тheory: Concept~ and Methods, Кluwer Academic Puhlisher:s, Ncw Yorket al (2002).70ГЛАВА 2определяют новый ортогональный базис в НА и }{ 8 [ таккак U A(t) иунитарны].

Вычисляя, как и раньше, частичный след, находимPA(t) =L a,~aj,.li(t))A A(j(t)l=U A(t)pA(O)U~(t).U в(t)(2.79)i,j,IJ,Таким образом, U А ( t) определяет эвотоцию матрицы плотности.В частности, в базисе, в коrором РА (О) диагональна, имеем(2.80)аУравнение(2.80)говорит о том, что эволюция РА полностью согласуетсяс интерпретацией ансамбля. Эвоmоция во времеяи каждого сос·Iояния в ан~самбде управляется операторомU А (t).ностьюРа возникает н момент времениЕсли состояние I·Ф. (О)) А с вероят­t=О, 10 с той же вероятностьюРасосrояние IФ.(t)) А возникаст в последующий момент времспиС друтой стороны, должно быть ясным, что уравнениеt.(2.80)снравед­ливо только в предположении о том, что снетемы А и В динамически несшпаны между собой. Ниже мы исследуем, как эволюционирует матрицаплотности при более общих условиях.2.4.РаЗJJожение ШмидтаЧисrое двухкубитовое состояние может быть представлено в стандарт­ной форме (разложение Шмидта), mторая час-rо оказывается полезной.Чтобы прийти к этой форме, заметим, что произвольвый вектор из1iА ® 1i вможет бъm, раздожен как(2.81)i,pЗдесь{li) "}и {IJ.L) в}- ортогональные базисы в НА и Н в соответственно.Чтобы получить второе равенсrво вli) в =Заметим, что векторынормированньr,\fи.li) в(2.81),мы ноложили по определениюL а,,.

IJ.L) в·"(2.82)не обязаны быть взаимно ортоrональнrО>JМи или2.4. РАЗЛОЖЕНИЕ ПIМИДТАПредположим теперь, что{ 1i) А} -71базис, в котором рА диагональна(2.83)Мы можем также вычислить р А' RЫполняя операцию взятия частичногоследаРл ~ trв (IФ) АВ Ав<ФI) ~~trв (Lii)AA(jl®li)ввGI)ijПоследнее равенство в=LвGii)в(li)AA(jl).(2.84)ij(2.84)получено с учетом того, чтоk-~ LвGik)вв(k!t)в ~ вGii)в,(2.85)kгде {ik) в}-· ортанормированный базис в Н в- Сравнивая уравнения (2.83)и(2.84),мы видим, что(2.86)Слеловательно, в конце концов оказалось, что {li) в} взаимна артогональ­иы. Соответствующим изменением масштаба мы получаем ортанормиро­ванные векторыli') в ~ p;-' 12 li) в[мы можем полагать р;(2.87)fo О, поскольку уравнение (2.87) необходимо толькодля фигурирующих в сумме(2.83) слагаемых]IФ) АВ=и, следовательно, разложениеL #,li) Ali') в(2.88)в специальных ортанормированных базисах в 'Н.

л и 1iв.Уравнение(2.88)представляет собой разложение Шмидта чистогодвухкубитового состояния IФ) Ав 1. Любое чистое двухкубитовое состояниеможет быть представлено в этой форме, но, естественно, используемые при1Р33Ложение lllмидта было получено задошо до поивлении кванювоit механики:Schmidt, Zur lheorie der linearr:n and nichtlinearen integra/gleichungen, МаtЬ. Annalen, 63,433-476 (1906).- Прим. ред.Е.ГЛАВА 272'лом базисы зависят от разлагаемого сос1uяния.

В общем случае мы не мо­жем одновременно разложить IФ) АВ и 1'1') АВ Е Н. 1 0 1iв в ви,~с (2.88),исполr,зуя де~я этого одни и те же ортонормированные бащсы в 1i А и 1i в.Используя уравнениеслед ПО1fА(2.88),мы можем также вычислить частичныйИ ПОЛ)"ШТЬРв =trA(IФ)AвAв(>PI)=LР;Ii')ввИ(2.89)iМы ви;щм, что р л и р в имеют одинаковые иенулевые собственные числа.Конечно, при зтом совсем не обя:штслыю, чтобы 'НА и 'Н в имели одина­ковые размерности, так ч1о количество нулевых собственных значений РАи Рп может раз.аичаться.Ес;ш РА (и, следовательно, Рв) не имеет других вырожденных соб­ственных значений, кроме нулевых, тогда разложение Шмидта состояния111>) л в сущестнспно одно1начно определяется матрицами плотности р Аи Рв· Мы можем ;~иаптали~ювать р_4 и Рв• чтобы найти векторы li) Аи li') в· Пос.1е зтоru мы объединим в пары собственные состояния Рл и р 13 ,отвечающие одинаконым собственным значениям, чтобы по:1учить (2.Х8).Мы выбра.rш фазы наших базисных сосп)япий так, чтобы они не но:шика­ли в коэффициентах в суммах; сохранилась :Iишь свобода переопределе­ния векrоров /i) л и /i') R нутем умножения их на противоположные фазы(что, конечно, оставляет неизменным выражение (2.88)).По сели р А имеет вырожденные нсну;[свые собственные значения, то­Г..lа нам необхщщмо больше информации, чем та, которая позnолила О1Jрс­де.;шть разложение Шмидта состояния I'Ф) АВ поРА и Рв; тшм 11ужно знать,какое состояние li') 8 объединяется в пару с li) А- Например, ссJш НА и 1-lвN-мерны, аUiJ ·нроизволышя унитарная .ГV х .!У-матрица, тоN11>).4в ~ ~ ,~ li)AUiJij')л1бу;J.Ст ;щвать р А=(2.90)Рв .....:.

~ 1 после вычисдсния нщщиа.;тьных частичныхследов. Более того, мы можем вытюлнить олповременно унитарные преоб­ра:JОвания в1iАи1-l в:11;) Ав= ~L li)Aii') в~ }м LV:11j) .,V,klk') п;~это сохраняет состояние(2.91)tJkIФ) АВ• но иллюстрирует имеющуюся :щесьпеоднозначностr, базиса, используемого в разложении Шмидта состоя­ния IФ)Ав·732.4.