Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 13

Допустим, мы измеряем2 мыкубит А, нросцирун ero на базис {IO) А• J!) л}· Тогда с вероятностьюполучим результатJO) А•Ja1а и.змерение пршотовит состояние(2.47)с вероятностью Jbl 2 мы получим рс:1ультат ll) А• а измерение приготовитсостояние(2.48)В каждом случае, в резуныате юмерения выбирается определенное состоя­JJ, то наверняка (с ве­n состоянии JO) 8 , если перед этимполучено JO) А• и- в состоянин ll) Н• если предыдущим резу.тыатомll) л- В этом смысле результаты измерений {!О) А' 11).4 } и {!О) 8 , Jl) 8 }ние кубита В.

Если мы сразу за этим измерим кубитроятностью единица) обнаружим егобьшобылополностью скоррелированы в состояпии IФ) АВ·62ГЛАВА 2Теперь я хотел бы рассмотреть более общие наблюдаемые, действу­ющие на кубнт А, и я хотел бы характеризовать резудьтаты измеренияТОJiы«> А (независимо от результатов любых измерений недоступноrо куби­та В). Наблюдаемую, действующую только на кубит А, можно представитьв виде(2.49)где М Адействующиii на А самосоnряженный оператор, а1в -дей­стаующий на В единичный оператор.

Ожидаемое значение наблюдаемойв состоянииI•M АВравноАв(w/МА ® lв/Ф}Ав ~ (а' А (OI ® в(ОI+ Ь* А (11 ® в(II)M,, ® ln(а/О} А® /О} в +Ь/1}А ® /l}в) == /а/ А (0/МА/0) А2+ /Ь/(где мы воспользовмись ортоrональноС1ъю2А (liMA/1) А/0) ви/1) в)-(2.50)Это выражениеможно переписать в формеаtr обозначает след.(МА} = tr(MAPA),(2.51)РА~ /а/ 2 /О)АА(О/1-/Ь/ 2 /1)АА(1/.(2.52)Oпeparup р А называетсяonepamopalt плоттюсти (ИJIИматрицей nлom/Юcmu) кубнта А. Он самосопряжев, подожителен (его соб­ственвые значения неотрицате.1Ьны) и имеет единичный след (посколь­куl-9)являются нормированными состояниями).(2.51) ДJJЯ любой наблюдаемой МА, дей­Поскольку (МА} имеет видствующей на кубит А,'IUлоrиtiНО интернре1·ировать РА.

как ансамбль воз­можных квантовых состояний. каж,цос из которых возникает с определен­ной вероятностью. Другими сJiовами, мы получиJrn бы для {М А) тот жесамый результат, если бы предпо;южи.:'IИ, что кубит А находится в О;::tном издвух квантовых состояний. Прпчем с вероЯ'пюстью р 0 .с ia/ 2 он нахОi\ИТСЯв состоянии /0) А• а с вероятностью р 1 = lbl 2 - в состояiши /1} А· HcJJИ насинтересует резудыа:!' любого возможного и.змерения, мы можем рассмат­ривать в качестве М А проекrор Е А (а) на соответстаующее собственноепространство наблюдаемой.

ТогдаProb(a)= Ро А (OIEA(a)!O} А+ Р1 А (1/Ел(а)/1) А•(2.53)что нрел.ставдяст собой вероятность результата а, взвешенную верояпю­стыо каждого квантовогосамб:tю.состояния и просуммированную по &сему ан­2.3. МАТРИЦА ПЛОПЮСТИ63Мы уже обращали внимание на существенное различие между mrе­ренпrой суперпозицией состояний /0) А и /1) А и вероятностным ансамблем,в котором каждое из состояний IO) А и II) А может появляться с конкретнойвероятностью. Например, для объекта со спином-l/2 мы видели, что еслимы измеряем а 1 в состоянии - 1-(1 iz);12+ 1iz)), то с единичной вероятно-iсrью поJJучим резуш,таr 1 х). Но ансамбль, в котором каждое из состояний1 i ,)и1 lz)появrurется ·с вероятностью 1/2, представляется операторомплотностиР= ~(/ iJ(Iz 1 1 llz}(lz 1) ~ ~1,(2.54)rmгда проекпия на 1 х) имеет ожидаемое значепие(2.55)Фактически мы видели, что любое представляемое лучом состояние одногокубита можно интерпретировать как спин.

ориентированный вдоль нското­роrо определеннОiо напраюення. Но, поскольку левая часть(2.55)не изме­rrястся при унитарном преобр<вовании ба3иса, а сосmяние IФ(В, 'Р)) можноподучить унитарным иреобразованием состояния 1р, 011ределяемоrо уравнениемt z),мы видим, что для(2.54),tr(/,P(B, 'Р))(ф(В,'Р)/р) ~ ~·Следовательно, если прюотоВJlено состояние IФ) АВ (2.46) с /а/ 2(2.56)/Ь/ 2 == 1 /2, то при измерении спина А вдоль любой оси мы получим совершеннослучайный результат; каждая из ориентаций спина, вверх или вниз, можетпоявиться с вероятностью1/2.Это обсуждение mррслированного двухкубитового сосmяния /Ф) Авочевидным образом распространяется на произволъное состояние любойбинарной квантовой системы (системы, состоящей из двух частей).

Гиль­бер10вым пространством бинарной системыяв.'!Яется Нл®Нв, где НА в-1ильбертово пространство одной из составляющих систему частей. 'Этоозначает, ч1u если {/i) А} - ор10нормированный базис в НА, а {IJ.L) в} ортанормированный базис в Н в, то {/i) А 0/J.L) в} - ортанормированный ба­зис в НА ®Н". Таким образом, произвольнос чистое сос10яние в НА ®Н вможет быть представлено в виде разложенияIФ)лв ~ I.>,.~\i)A 0/J.L)в.i,f.t(2 57)64гдеГЛАВА 2I: la,,"l 2~ 1. Ожидаемое значение наблюдаемой М л@ 1в, действую-'·"щей только на подсистему А, равно(М л)~ лв(Ф[Мл 0 lв[Ф)Ав =~L:::>;,v л(jl 0 в(v[МА 01в I:a,,l'li)л@ 11<) R =j,v=i,j.-1.I:aj,,.a;,,,A(jiMлli)A=i,j,p.(2.58)РА=tr 11 (1'1' ) АВАВ (,PI) ""'La,,,.aj)i) А А Ul-(2.59)i,j,p,Мы говорим, что оператор плотности Р.4.. подсистемы А нолучается юя­тием частичного следа от матрицы плотности (в рассматриваемом случаеот ч:истоru сос1uяния) состi:iВной снетемы АВ по персменным подсисте­мы В.Из определяющего уравнения(2.59)пспосре!lсmенно следует, что р Аобладает слелующими свойствами:1) РА- самосоиряженый оператор: Рл = р~;2) Рл~ L1'наложительный оператор: для любого I1Ь)л1Lа,," А (Ф[ i) А 12)л(ФIРлl~;)лО;'3) trpA = 1:мыимеемtгрл =нормировано.I;[a,,"[ 2 =1,посколькусостояние lФ)лв'·"Отсюда cлCJtyc·l~ что РА может быт1.

диагонализован, что все его собствен­ные значения вещественны и неотрицатСJfЫIЫ и что сумма его собственныхзначений равна единице.Если мы наблюдаем подсистему бощ,шей системы, то, даже еслисостоянием большей системы является J1уч:, состояние подсистемы тако­вьiМ не будет; в общем случае оно описывается оператором плотности.В том случае, ко1ла состояiШем подсистемы является луч, мы называ­ем его чисты)~t.

В противном случае-состояние яиляется сиешшты.м.652.3. МАТРИЦА ПЛОТНОСТИEcJJИ сос·юянисм яюястся чистое состояние IФ) А' то мюрица плотно­сти Рл = ~~~)А А (·1"1 нрсдстаВ-rяст собой проектор на одномерное про­странстно, натянуюе на 1-Ф) А' Следовате.1r~но, матрица плотности чисw­го состояния обладает свойством ~ = р.,. В общем случае матри­Iщ шютпости, раз.:юженная в базисе, в котором она л.иагональна, име­ет вид(2.60)r:ж~ О'(" Ра '(" 1 иLPa - - -,J. Если состояние не юшяется чистым, тоаэта сумма состоит кз л:вух ИJrn большего чисна слагаемых и р~ f РА;факrически tr р~ = l:P~ < L:i>" ~ 1.

Мы говорим, что р пред­став_~яет нетгере~~тпую су11ернозицию состояний Н<,")}; иекоrсрентиостr.означает, что отиоси·rслы•ыс фазы 1-ФJ экспериментально ненаблюдаемы.Поскольку ожидаемое :шаченне набОiю;щемой М, дейстl!уrощей на по;t­систему, может быть пре;-.,став~lепо R виде(2.61)).fЫ, как и преж,Г(е, види\1, что р можно интерпретировать как аисшиблъчистых квантовых состояний, в котором состояние I'Фа) появ.:rяется с веро­яnюстыо Ра. Таким образо.\1, мы прошли бо01ьшую часть пути к поннма­нию того, как в квантовой :\Iеханике возникают nсрояmости, когда кван­товая система А нзаимодействует с другой системой Я.

Состояпия..4и Нстанонятся эапутаннъz.,ии, то есть корре;шрованными. Запутывю1ие разру­шает когереитиость суперпозиil,ИИ сос·юяний, так что некоторые фюыстаношпся ненаб.Juо;tаемыми, если мы следим за одной rолько А. Мы мо­жем онисыnать ~1у ситущию, говоря, чго происходитсостояния системы АKWlllanc(редукция)она находится в одном из множества альтерна­тинных сос'Тояний, каждому из которых может бъrтъ приписана вероят­tюсть.2.3.2.Сфера БлохаВернемся к с.ilучаю, в котором системой А яв.Jяется один кубит, и рас­с\lотрим общую форму матрицы тшопюсти.

Паиболее общая самосопря­женная 2 х 2-матрица зависит от четырех вещественных параметров и мо­жет быть ра:з,южсна в бюисс {1, и 1 , и 2 , и,}. Поскольку каж)1ая из мат­риц и i является бссследовой, коэффициент перед1н разложении матрипы66ГЛАВА 2tшопюсти р должен быть равен1/2(так чтобыtr р~1),а р может бытьразложена как~р(Р) =1z(1+~~Р·и) =о= ~(1 + Р1 и 1 + Р2 и 2 + Г3 и3 ) =~l( l+P32P 1 +iP2Мы можем вычислить det р ~i (1 -P 1 -iP2)1-Рз.(2.62)Р 2 ).

Оlедовательно, необходимымус.:rтовием неотрицательности собственных значений р является перавея­ство det р ;3 О и:ш Р 2 ~ 1. Это условие также и достаrочно; поско~1ькуtr р = 1и р не может иметь два отрицательных собственных значения.Таким образом, имеется взаимно однозначное соответствие между возмож­ными матрицами IL'Ioтнocm одиночного кубита и точками единичного трех­мерного шара О ,;;IPI ,;; 1. Этот шар обычно называют сферой Блоха (хотя,конечно, это в действительности шар, а не сфера).l'раннна(IPI - l) шара (котораякак ра1 и является сферой) содержитt1· р = 1, этисобственные значения О и 1.

Они пред­матрицы плотности с нулевым детерминантом. Носколькуматрицы шютности должны иметьставляют собой одномерные проекторы и, следовательно, чистые сос1оя­ния. Мы уже видели, что каждое чистое состояiПiе o;HIOI"O кубита имеетвид1•/J{B,'f'))и может рассматриваться как ориснтания спина в (В,'f')-на­иравлении. Действительно, используя свойство(2.63)гдеn-единичный вектор, мы можем легко убедиться в том, что матрицаплотности чистоrо сосrоянияp(ii) =~(1+ п . .Т)(2.64)обладает свойством(i>.. O')p(ii) ~ p(n)(ii. а)= p(it)(2.65)н, следовате;rьно, является проекторо:мp(ii) ~ IФ(ii))(w(ii)l:(2.66)2.3.

МАТРИЦА ПЛОТНОСТИто есть67n представляет собой направ.Jiение, вдоль которого ориентируетсяспин. И наоборот, из выраженияIФ(О, р))e-i<P/2=(еcos 1!. )+i<P/2 •Sln2(2.67)2можно непосредственно-найти, что(2.68)nгде= (sin В cos l.f\ sin 6 siн tp, cosB). ПрияniЫМ свойством блохопекой па­раметризации чистых состояний является то, что, хотя IФ(О, 'Р )) имеет фи­зически несуrцественпую пронзвольную общую фазу, в матрице плотно­сти р(О, р) ~lw(O, р)) (ф(О, p)lэтой неоднозначности нет; вес nараметрыв р имеют физический смысл.И.1 свойства(2.69)следует, что(n· a)J5 = tr (п. dp(F))=r,.?.(2.70)Таким образом, вектор Р в уравнении (2.62) параметрнзует поляризациюспина.

Если в нашем распоряжении имеется множество идентично вриго­товленных систем, мы можем определить Р [и. следовательно, полностьюматрицу 1ыотности р(Р)], юмеряя (h · d) вдоль каждой нз трех линейнонезависимых осей.2.3.3.Теорема ГнизонаОшравляясь от аксиом квантвой механики и рассматривая описаниечасти большей квантвой системы, мы припmи к понятию матрицы шютно­сти р и выражению tr(Mp) дня ожидаемого значения наблюдаемой М. Темболее нриятно узнать, что формализм матрицы плотности является оченьГЛАВА 268общим и применим в гораздо более широких преде;Iах.