Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2

Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 12

Описание файла

PDF-файл из архива "Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2", который расположен в категории "книги и методические указания". Всё это находится в предмете "квантовые вычисления" из седьмого семестра, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 12 страницы из PDF

Тогда~(1 1)1 j 11)1)1 1)2 ~ ~(1 1)1 -11)1)1(2.30)j),.Несмотря на отсутствие наблюдаемого влияния на состояние второго спи­на, состояние первого спина стало ортогональным с1о исходному состоя­нию~ что очень даже наблюдаемо.В повернутой системе отсчета поворотR(ii, В)превращается в поворотна тот же самый уrол, но вокруг повернутой оси. Отсюда следует, что трикомпонсiпът \1Омента КОJJичества движения при поворотах преобразуютсякак нсктор(2.31)Таким обра:юм. если состояниераюра .т,Im)является собственным состоянием опе­(2.32).T:Jm) = mlm),тоrдаU(R)Im)является собственным сосшянием оператораR.J 3с тем жесамым собственным значением:R.J 3 U(R)Irn)=V(R).J 3 V 1(R)V(R)Im)- U(R).J 3 1m)m(V(ll)lm)).(2.33)СледоватсJJЫЮ, мы можем воетроить собственные состояния операторапроекции момента импульса на ось ri =- (sin В со~ tp, siп fJ siп у, cos В), !Iри­меняя поворот на угол О вокру1· оси ii' _ :_._ _._ (- ~i11 <.р, со..~ tp, О) к собственно~состоянию онсратора .J 3 .

Для нашего прсдставленпя спипа-112 таким пово­ротом явдяетсяехр[-z.в.,""]п ·и2о:::..: ехр[в( eirpо -е~'~ ) ]2СО..'5-(2е-1- e+ir; sin--f'---iiffj_2eossln f!. )~2(2.34).572.2. i<УБИТПрименяя его к (Ь)- собсшснному состоянию оператора J 3 с собствен­+ 1, понучим (с точностью до общей фазы)ным значение"'(2.35)Мы можем непосрс11ственно про верить, чrо ~:пот вектор является собствен­ным сосrояние~ операrора·~ ~п-ет=(cosBe-ilfJsin8)r:i'PsinB -eos8+ 1. Итак,с собственны" значение"= е-i<т"'/ 2 cos ~· Ь -= e+i'f/ 2(2.36)"ы видим, что уравнение(2.

11)с а--sin ~ может интерпретироваться как состояниеспина, ориентированного вдюь направления (8, 'Р ).\1ы уже отмечали, что невозмож:но определить а и Ь с помощью одногои3мерения. БoJJCC того, даже имея ~ножество идентичных копий данногосостояния, мы не можем полностью его OJJpeдeJmть, и3меряя кажцую копиюlallbl,то~н.ко RJ!.OЛI· оси z. Это мосJ:Ю бы rюзвошпь нам ш~ени1ъино неда.по бы воз"южности подучить информацию об относительной фазе а и Ь.Эквивалентно мы могли бы найти значение проекции спина па ось z(2.37)но ничего не смогJШ бы узнать о его компонентах в плоскости ху.

Проблемаопределения 1·~·) путем ю"ерения спина аналогична пробпеж определенияединичного .вектора ii путем измерения его компонент вдоль раз.:шчныхR общем необхо;:щмы измерения вдоль трех раз~шчных осей. Напри­(u 3 ) и (0" 1 ) мы можем определить n 3 и п 1 , но знак n 2 останет­ся JJсопрс!\Сленны".

Измерение (и 2 ) "оrло бы устранИlъ эту J\вусмыс;-rен­осей.мер, износп~.Конечно, если мы позволи.1и поворачивать спин) тогда будет достаточ­но иJмерсний то;н~ко вдоль осиz.То есть измерение спина вдоль осиiiэк­вииа..ченпю предвар1псльному совершению поворота, совмещающего осьс осьюz,а затем- измерению nдо.:ть осиiiz.В частнш.1 случае О = к/2, <р =О (ось х) наше спиновое состояниеимеет видllx)= ~(ITJ+IL,)),(2.38)ГЛАВА 258(«спин пверх вдоль оси х>> ).

Ортогональным ему состоянием («спин внизвдоль оси х») являетсяДля этих обоих состояний, измеряя СIШН вдоль осис вероятностью 112 и llz) с вероятностью 1/2.z,мы получим11z)Рассмотрим теперь комбинаiШЮ~(ltx) + ll,))(240)Это состояние О6."1адаст тем свойством, что если мы измеряем спин вдольоси Х, то с вероятностями, равными1/2,подучаем1r,)илиllx)·Можноспросить, что мы получим, измерия состояние (2.40) вдоль оси z?Если бы это бьши к.:Iассические вероятностные биты! то ответ был быочевиден. Состояние(2.40)представляет собой одно из двух состояний,и для каждого из них вероятность направ!1ения вверх и.1и вниз вдоль осиравна1!2.Таким образом, измеряя состояниено, должны с вероятностью1/2 обнару-.пшть(2.40)вдодь осиz,zмы, конеч­спин, наnравденным вверх.Но для кубншв это не так! Складывая уравнения(2.38) и (2.39), мы об­(2.40), в дсйстви­наруживаем, что в состоянии, описываемом уравнениемrJ.тельностн замаскировано состояние 1Измеряя его вдоль осит;щ будем ПОдучать2 ) И НИКОГда~ llz).1lz, мы все­Таким образом, д.:'IЯ кубнто в, в противоположность Юiассическим веро­ятностным битам, вероятности моrут сюшдываться дово.1ыю неожиданнымобразом.

В этом и состоит (в его простейшсй форме) явление, нюываемое((квантовой интерференцией>), важная особенность квюповой информации.Следует подчеркнуть, что, хотв формальная эквивалентность объектусо спином-1/2 применяма к нюбой двухуровневой квантовой системе, ко­нечно, не каж,1ая двухуровневая система преобразуется при поворотах какспипор.2.2.2.Поляризации фотонаДругую важную систему, имеющую два состояния, представляет фо­тон, который может иметь одну из днух: независи:мых поляризаций. Со­стояния поляризалип фотона тоже прообразуются при поворотах, однакофо·юны оыичаются от объектов со спином-1/2 в двух важных отношениях:КУБИТ2.2.(1)59Фотоны являются безмассовыми частицами.(2)Фотоны имеют спин-1(эrо не спинорные частицы).Мы не располагаем временем для детального обсуждения унитарныхпрсдставлеиий 1руnпы Пуаикарс. Достаrочио сказать, чrо спин частицыопределяет, как uреобра3уется ее состояние под действием преобра:юваиийлщлой 1руппы-- сохраняющей импупьс частицы подrруппы 1руппы Лорен­ца.

В случае массивной частицы мы всегда можем перейти в ее системупокоя и тогда малой rрупiюй является rpynпa вращений.Для безмассовых частиц не существует системы покоя. Конечномер­ные унитарные представления малой rруппы иревращаются в представле­ния tруппы вращений в деумерlЮМ пространстве, вращений вакрут направ­ления имnудьса.

Конечно. в случае с фотоном это соответствует знакомомусвойству классического света-волны поляризованы перпендикулярно на­нравлеиию распространения.llpи новороте вокруг направлсиив распространенив два сосrояния ли­нейной полврнзации(lx)иIY)для горизонтальной и вертиюыьной поляри­зации) преобразуrотся какlx)---> +cosOix) +sinOiy),(2.41)IY) ---> - sin Blx) + eos е IY).Это двумерное пре;1ставлеиие в действительности приводимо. Матрицаcose еiн е( - siнe cos8)(2.42)имеет собственные состоянияIR)=_1V2 ( 1)1IL) = _1V2,(i)1,(2.43)отвечающие собственным значениям е-тi& и е--ш, состояния правой и левойциркулярной поляризации. То есть они являются собственными состояния­ми генератора поворотовJ=с собственными значениямины±1(а не±1/2),(о+i±1.-i)О=иу(2.44)Посюыьку собственные значения рав­мы говорим, чrо фотон имеет спин-!.ГЛАВА 260В зтом контексте явление кванrовой интерференции .может быть опи­сано с.Jедующим образом.

ГLредположим, что мы имеем ана.;Iизатор поляри­зации, ко1орый позволяет пройти через нсJо фотону толыrо с одной и~J дпухдипейных ПОJ1Яри.1ацнй. Тогда вероятность прохождения х- или у-nоляри­зованного фоrона через навернутый наанаJJизвюр равна45°рапна и вероятность прокаждения поляризованного под углом1/2: 1/2-ой,15° фотоначере1 :с- или у-анализатор. Однако х-фотон 1tuкогда не пройдет через у-ана­лкзатор. Если мы поместим [Ювсрнутый на45°анwшзатор между х- и у­ананизаторами~ тшда через каждый ана.Jшзатор прой.LJ.ет полоиина падаю­щих на него фотонов. Но если мы удалим нром.сжуточный анализатор, 1'0 ниоди11 фотон не иройдет через у-ананизаrор.Очеви,;що.можносконструироиюъприбор, который поворачиваетмоекость полярl!Зации фотона и, следовательно, применяет нреобразова­ниек нашему кубпту Как уже отмечалось, зrо пс самое общее уни­(2.41)тарное прсобразование. Но если мы имеем также и прибор, коюрый IIЗ­\1'сняст о·пюсительную фа.зу днух ортогональных, линейно поляризованныхсостоянийlx)-+ e+iw/21x),(2.45)IY) -+е iw/21y),то зти два прибора моожно исполиовать вместе, чтобы соnсрmить прои3волыюс2 х 2 унитарноенрсобразование (с онределитеJJем, равным е;щии­не) состояния поляризации фоюна.Матрица плотиости2.3.2.3.1.Бинарная кван'l'овая системаПосJJсдняя лекция была об одном кубнтс.

Эта лекцня-о дв}:х кубнтах.(Догалайтесь, о чем будет слеJJУЮщая лекция!) Переход от одного кубитак двум-более серьезный шаг, чем вы моrnи бы ожи)1ать. Мнш"Ос из то­го, что есть странного и чудесного в кванrовой механике, можно rюнять,рассма-гриная свойства квантовых состояний двух кубиюв.Аксиомы§ 2.1дают впшшс приемлемую общую формулировку кван­товой теории. Тем не менее при многих обстоятельствах мы обнаруживаем,что они кажутся нарушенными. Бе11;а в том, что наши аксиомы нацелены нато, чтобы характеризовать поведение всей Вселенной. Но, как прави;ю, унас нет таЮiх амбиций, как пытаться понять физику всей Вселенной; мыдовольстнус\fСЯ и·Jученисм только нашего маненькшо уiолка. На практи-2.3.

МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ61ке наши исс.'Iедования всеtда ограничены малой частью гора.1до большейквантовой системы.В CJICJJYIOЩИX нескольких лекциях мы увидим; что если мы ограничи­ваем наше внимание то.·1ы<0 на части бо.'lьшой системы, то (в противопо­ложность аксиомам1)§ 2.1 ):состояния не являются лучами.2) измерения не являются ортогональными нроекюрами.3)эволюция не унитарна.Мы сможем JJучшс понять эти моменты, рассматривая простейшийпример: мир двух кубитов.

в котором Мы набшодаем только один из них.Итак, рассмо1рим систему двух кубитов. Кубит А ттахОi'l,Ится ЗiJ;Ссь,в комнате вместе с нами, и мы вольны паблЮi.Щ'JЪвать им по своему усмотрению. Но кубитRCJUили манипулиро­заперт в подвале, где мы неможем до него добраться. Имея некоторое состояние двух кубитов, мы хо­тели бы найти простой способ описания наблюдений, которые мы можемлелать только на кубите Аliудсм ис•юль:юкать {)О) л, ll)л} и {!О) в, Jl)в} лля обозначения орто­нормированных базисов для кубитов А и В соответственно. Рассмотримследующее квантовое сос·1ояпие /tнухкубитовой Вселенной:(2.46)В этом состоянии кубиты А и В коррелированы.

Свежие статьи
Популярно сейчас