Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 11

](убитом является состояние1,в двумерном гильбертовом пространстве, которое может принимать любоезначение, описываемо~ уравнением(2.11). Мы можем выполнить измере­ние, проецирующее кубит на базисII}}. Тогда с вероятностью 2мы получим рез)"!ыатIO},{IO},а с вероятностью IЬI 2 -результатго, за искточением случаев а =О и Ь =lal11}.Более то­О измерение неизбежно ведетк возмущению состояния. Если начальное значение :кубита неизвестно,ro-rдa нет способа определить а и Ь ·с помощью одного такого юш любогодpyruro мыслимого измерения. Однако после измерения кубит оказываетсяв извесm1Юм состоянии--IO}или11} -отличающемся (вообще говоря) отего предыдущего состояния.В зwм отношении кубит отличается от классического бита; мы можемизмерить ютассический бит, не возмущая его, и расшифроватrJ всю закоди­рованную в нем информацию.

Донустим, мы имеем классический бит, кото­рый в действительности и:мест определенное, но неизнестное пам значение(О или1).Опираясь па ;(оступную информацию, мы можем только сказать,что с вероятностью р 0 бит имеет значение О, а с верояnюсn.ю р 1 чение1,причем р 0+ р1= 1.зна­Измеряя бит, мы получаем дополнительнуюинформацию, позволяющую узнать Cl'O зпачсние со100% уверенностью.Важный вопрос: в чем суть различия между кубитом и верояml/ост­ным классическим биrом? По разным причипам, коrорые мы с вами изу­чим, это действительно не одно и то же.2.2_1,Спив-1/2Прежде всего заметим, что коэффициенты а и Ь в уравнении(2.11)содержат нечто большее, чем просто вероятности результатов измеренияв базисе{10}, \1}}.В частности, оm1Юситепьная фаза а к Ь также имеетфизическое значение.Дня физика естественно интернреrировать уравнение(2.11) как спино­вое состояние объекта со спином-1/2 (типа электрона). Тогда состоянияиll}11редставляют собой состояния спин вверх1Т} и спин вниз11}IO}вдольнекоюрой оси, например, оси z.

,l1,ва вещественных числа, характеризую­тих кубит (комплексные числа а и Ь, без учета их общей фазы и нор­мы), описывают ориентацию спина в трехмерном пространстве (полярныйугол0И !LЗИмутальный YJ'OJl <р).!'ЛАВА522\1ы не имеем возможносm утлубляться здесь в теорию симметриив квантовой механике, напомним лишь кратко ее некоmрые элеменn,t, ко­торые окажутся полезными в дальнейшем.

Симметрия представляет собойпреобра1ование, действие которого на состояние системы оставляет низ­менными все наб.ilюдаемые свойства системы. В квантовой механике на­блюдениями являются измерения самосопряженных операторов. ЕсШI Аизм~'])яетея в состоянии l·ф), то с вершmюстью l(aiФ)I 2 будет получен ре­зультатla)(собственный вектор оператора А). Симметрия до.1жна остав­лять неизменпы\iи эти верояnюсти (если мы «поворачиваем)} систему вме­сте с приборами).Операция симметрии представляет собой отображение векторов в гиль­бертовам нространстве(2.12)сохраняющее абсолютные значе1шя внутренних произведенийl(?l~i·)l = 1(·/IФ')Iмя любых11")(2.13)и IФ). Сошаснu знаменитой теореме Вигнера, отображениес таким свойством всегда может быть выбрано (принимая соответствую­щее соглашение относительно фазы) унитарным или антиунитарным. Важ­ная )1..'1Я.

дискiJеruых симметрий антиунитарная а.;IЬтернатива может бытьисключена в случае непрерывных сим~етрий. Тш·да преобразовапие сим­метрии лсйствует какIФ)где__,IФ')=UIФ),(2.14)U - унитарный оператор (и, в частности, линейный).Симметрии образуют группу: преобра.wвание симметрии можно обра­тить, а произведеimе )~иух симметрий, R свою очередь, является симметри­ей_ Каждой операции симметрии R, действующей на нашу систСJ\.fУ, соот­ветствует унитарное преобразование U (R).

Пере:множение этих унитарныхоnераторов должно соответствовать t])упгювому закону перемножения сим­метрий ~ при).о{енениеR 1 о R 2 до;1жно быть эквивалентно пос;Iедоватеш~­ному применению сначала R 2 , а затем R 1 . Таким образом, мы требуем(2.15)В уравнении(2.15)допускается фазовый миожитеш, поскольку кванто­выми состояниями являются лучи; нам нужно требовать JШПiь того, что­бы U(R 1 о Н.,) дейС'Iвоиал так же, как и U(R 1 )U(R2 ), на лучи, а не навекторы.

U ( R) обеспечивает унитарное (с точностью 110 фазы) представле­ние группы симметрии.532.2. КУБИТДо сих пор наше понятие симметрии не имело связи с динамикой.Обычно мы требуем от симметрии:, чтобы она сохраняла динамическуюэволюцию системы. Это означает, что не должно иметь значения, преобра­.зусм ли мы сначала систему, а затем она эвотоционирует, или наоборот,сначала происходит эволюция системы, а затем мы преобразуем се.

Други­ми словами, диаграммадина.,uикаНача;rьноеКонечноесостояниесостояниеповоротповоротдинамикаНовое начальноеНовое конечноесостояниесостояниекоммутативна. Э-ю означает, '!;по оператор зволюr~и во времени долженкоммутировать с преобразованиями симметрииU(R)e-itH=еU (R)itHU(R).Разла1·ая зто уравнение до mшейного порядка поU(R)H~HU(R).В с:тучае непрерывной симметрии операцияутодно бJшзкой к единицеоператоруR= 1t,получаем(2.17)R+ tT, тоiДа U(2.16)может быть выбрана скольтакже бпизок к единичному1:U(R) ~ 1- ieQ + О(е 2 ).(2.18)Из унятарности (в иинейном порядке но е)U сдедует, что Q является на­блюдаемой Q = Qt. Ра-сшгая уравнение (2.17) до ииuейных по t слагае-мых, находим(Q,н]~о;наблюдаемаяQУравнение(2.19)коммутирует с гамильтонианом.(2.19)прс,!Ставляет собой .закон сохранения. Он говорит,например, что если мы приготовили собственнос состояние оператораQ,то упраюяемая уравнением Шредингера эволюция во времени будет со­хранять.

это собственное состояние. Таким образом, симметрии влекут 'Ш54ГЛАВА 2собой законы сохранения. И наоборот. по заданной сохраняющейся вели­чине Q, удовлетворяющей уравнению (2.19), можно построить соответству­ющее преобразование симметрии. Конечное преобраmвапис может бытьпостроено как произведение множества ифинитезимальных преобразова­ний(2.20)(в пределеN->оо). Выяснив, как выглядит унитарное представление ин­финитезимальпых преобразований, мы тем самым определили прс;tставле­ние конечных преобразований; они могуr быть построены как произnеде­пия инфинитезимальных преобразований.

Мы говорим, чтоQ- геиераторсимметрии.Кратко напомним, как эта общая теория применяется к пространствеи­ным поворотам и моменту количеСТIIа днижения (импульса). Бесконечномалый новорот на уголJЮМdlJ вокруг оси, определяемойii = (n 1, п 2 , n 3), может быть предстаи:Iеп в Rидеединичным векто­V(ii,de) ~ 1- ideii .i,где(J 1 , J 2 , J 3 ) - компоненты момента(2.21)импульса. Конечный поворот выра-жается какV(ii, 8)= ехр( -iO ii· i).(2.22)Новороты во крут разных осей не коммутируют между собой. Из их злемен­тарных свойств вытекают I<Оммутационные соотношения(2.23)гдее klm(.s 123 = 1),~nоmюстъюантисимметричныйединичныйпсевдотензора по повторяющимся индексам предполагается суммирование.Чтобы совершать повороты квантовой системы, найдем удовлетворяютискоммутационным соотношениямJ 2, J 3(2.23)н гильбертоном пространстве.самосонряженные операторыJ 1,<<Определяющее>> представление группы поворотов трехмерно, однакопростейшее нетривиальное веприводимое представ..1ение явпяется двумер­ным и задается генераторами(2.24)2.2.55КУБИТгде(1'2=( оi -i)о(2.25)tматрицы Паули.

С точностью до унитарного прообразования базисаэто единственное двумерное неnриводимое представление. Поскольку соб­J k раины ± l/2, мы называем его представлепи­J с моментом импульса, мы неявно выбрал.и1). Матрицы Паули также обладают свойствамиственные чис.:та операrоровсм спина-1/2. (Отождес.твляяединицы, в которыхh~взаимной антикоммутации и идемпотентности(2.26)Таким образом, (ii ·if) 2 = nkn,".k".t= nknkl =1. Разлатая экспонентув ряд, мы видим, что конечный поворот представпяется как~ е) =U( n,схр( - t..е n.~ ·)2и=1 cos е2-.( n.•~~J sm. о.·и(2.27)2n такой форме можно представить наиболее общую унитарную 2 х 2-матри­цу с единичным онредеmпслем.

Это позво:Iяст думать о кубите как о состо­янии объекта со спииом-1/2, а о произвольлом унитарном прсобразовании(кроме возможного поворО!·а общей фазы), действующем на это состояние(кубит),- как о повороте спина.Необычным свойством прсдстав.аспияU(ii,О) является его двузнач­ность. В частности, нетриоиально представляется поворот на угол2r.во­крут любой оси:U(ri,O= Z1r)=-1.(2.28)Наше представление группы вращений в действительности является пред­став.:Iением «с точностью до знака»(2.29)Но. как уже отмечалось, зто вполне приемлемо, посmльку rpynnoвoe умно­жение относится к лучам:, а не к векторам. Эти двузначные представлениягруппы вращений называются спинорными представлениями.

(Существова­ние спиноров слелуст из топологического свойс-mа труппы-она не одно­снязна.)Несмотря на то. что поворот на угол211действительно не ведет к на­блюдаемому изменению состояния объекта со спином-1/2, бьmо бы ошиб­кой считать, что спинорное свойство не имеет набтодаемых следствий.ГЛАВА562Допусти", у меня естъ машина, которая дейе>вует на пару спинов. Ьслинервый спин направлен вверх, то она ничего не мепяе1~ но сс.-!и первыйспин напранлен вниз, она поворачивает второй спин на угол2w.Ilусть те­перь зта машина )tсйствует на состояние, в котором вервый спин находитсяв суперпозиции состояний «вверю> и «вниз».