Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 103

Когда вычисляются синдромы, мы инте­ресуемся именно эmu.JI-t, а не групповым коммутатором [а, Ъ] =аЪ- Ьа.ГЛАВА124Следовательно п' 'lr,s;t,u=wst-ur=7wCt,u)*(r,s) где'* обозначает определен-ное на лекциях симплектическое внутреннее произведение.с) Всякий раз, когда мы добавляем генератор к стабилизирующему коду длякудитов, мы сокращаем размерность его кодового подпространства на мно­житель, равный порядку генератора. Еслииметь генераторы порядкаПослеn- kdi,dне простое число, то возможноявляющегося делителемd,но не самимd.выборов генераторов размерность кодового подпространствастановитсяD=--п-kdп •=1'~ dk.Следовательно, такие коды могут кодировать болееkкудитов! Это под­нимает вопрос: что же тогда здесь закодировано? Чтобы ответить на него,исследуем два кодаd = 4.Первый код, который мы изучим, имеетn=1.Его стабилизатором являетсяМ1 =Х2размерность кодового подпространства равна dn /IM 1 1=4 1 /2 = 2.

Этоткод недостаточно велик, чтобы сохранять даже один кудит. Но он достаточ­но велик, чтобы вместить один кубит. Нормализатор кода содержит Х и Z 2 ,которые, мы подозреваем, имеют коммутационное соотношение[Х, Z 2 ] =xz 2 x- 1 z- 2 ==(J.)-2 == -1.Наше подозрение подтверждается- этот код[[1, О, 1]] 4 кодирует один ку­бит:IO)=~(IO) + 12/ ),II)=~(11) + IЗ)).7.18.УПРАЖНЕНИЯ125Теперь более интересный пример. Рассмотрим кодчи7.11.[[5, 1, 3]] 4 из зада­Квадраты всех генераторов образуют новый код со стабилизаторомх2z21х2х-21z-2х-2z-2 х-2 1z2 z-2 х-2х2z2 z-2х2z21Размерность кодового подпространства равна dn 1пi=IMil= 4 5 /2 4 = 43 =Он достаточно велик, чтобы сохранять три «кукварта», или два кук­64.нарта и два кубита, или один кукварт и четыре кубита и так далее. Какоерешение принять? Оказывается, что мы добавляем к коду по одному кубитудля каждого генератора возведенного в квадрат исходного кода куквартов.Таким образом, в первом примере, где стабилизатором был просто Х, мыимелиk=О куквартов.

Тогда возведение в квадрат этого генератора при­вело к одному закодированному кубиту. В этом примере после возведенияв квадрат четырех генераторов мы имеемk=1кукварт плюс четыре ку­бита. Доказательство этого общего факта увело бы нас даже еще дальшев сторону, но достаточно сказать, что для этого примера закодированнымиоперациями являются:один кудит:Х4 =ХХХХХ,Z4=ZZZZZ,x~i)=z 1 хх 1z~i)=z 1 1 z х + три перестановки.четыре кубита:7.9.+ три перестановки,Измерение синдрома для кудитаа) Измерение наблюдаемой @а z~a на @а Jja) дает собственное значение2:: sajaw а•Однако измерениеZна'\'16.SaJa)также дает собственное зна-ачение2:: 8 aJawа.fVI8Это подсказывает, что для того чтобы измерить '<Уа Zaa,мы должны применить sa копий схемы SUM между каждым кубитом IJa)и служебным кубитом, первоначально приготовленным в состоянии JO). То­гда мы можем измеритьZна служебном кубите, чтобы получить собствен-ГЛАВА 7126ноезначение наблюдаемой ®а z~a.

Соответствующая схема имеет видIJo) -.,...._...,.__,__ _ __ш -+--+--+~о---....--IJm) -+--+--+--+--+--+---о-10)Ь) Измерение наблюдаемой ®а Era,sa на ®аlja) дает такое же собствен­ное значение, какое дает измерение ®а Vra,sa Era,sa Vta,sa на ®а Vra,sa lja)·Но поскольку (только для простых d!)Q$}Vra,saEra,sa Vta,sa =z,ато все, что нам нужно сделать,- это модифицировать схему из части (а),предварительно умножая каждый кубитlja)наur8а>:а-о7.10.Коды детектирования ошибок в кудитаха) Да, генераторы коммутируют[ZZZ, ХХХ]=[Z, Х] 3=_"'з- ·JQ,l;l,O -= 1.Ь) Расстояние этого кода равно двум. Оно равно минимальному весу при­ведеиных ниже операторов нормализатора-2X=lXX,-2z=z z1.7.18.УПРАЖНЕНИЯ127Вместо того, чтобы доказывать, что эти представления имеют минималь­ный вес, равный двум, проще заметить, что расстояние кода должно бытьбольше единицы, так как все операторы с единичным весом антикоммути­руют (то есть имеют нетривиальный синдром) по меньшей мере с однимиз генераторов стабилизатора.Достаточно составить список представленных выше операторов Х иZ,чтобы точно определить полный нормализатор, поскольку любой другойлогический операторEr,sможет быть записан какxrzs.с) Ортонормированный базис для кодового подпространства можно nолу­чить, формируя сначалаIO),а затем необходимое количество раз применяялогические повышающие операторы Х.

Чтобы образоватьствуют наэтого кодаIOOO)ZZZIO),обычно дей­суммой всех элементов стабилизатора. Но, поскольку длядействует наIOOO)как единица, нам на самом деле необхо­дима только сумма по элементам стабилизатора, порождаемым операторомХХХ. Выполняя это, мы находим логические закодированные состоянияIO) = }з(IООО)+ 1111) + 1222) ),ii) = }з(IО12) + 1120) + 1201)),12) = }з(IО21)+ 1102) + 1210)).Для быстрого запоминания заметим, чтоII)и12)представляют собой су­83соответственно.перпозиции четных и нечетных перестановак вd)Мы можем обобщить предыдущие результаты, чтобы создать квантовыйкод[[3m, 3m-2, 2]] 3 .Его стабилизатор генерируется операторамиМ1 = х®зm,М2=z®Зm.Они коммутируют между собой, поскольку r.u 3 m=1.

Я благодарен ДэвидуБэкману, нашедшему нормализатор этого кода:Х1 = Ixx- 1Х 2 = нхх- 1Х 3 = lllXX- 1ХЗm-2=1 ®(Зm-2Jxx-1Z1 =z2 =Z3 =zz- 1 zz- 2 zZz-зzzzЗm-2= z-(3m-2)z®(3m-2)ГЛАВА 7128е) Мы можем обобщить эти результаты еще дальше, рассматривая кудитывместо кутритов. Стабилизатор для квантового кода[[d, d- 2, 2]]dпредстав­ляет собойм1 = x®d,м2 = z®d,а его нормализатор генерируется операторамиz = z- 2zz2= z- zzХ 1 = 1ХХ- 1Х.

2 = нхх- 1Х 3 = 111ХХ- 1Z3 =xd-2 = 1 ®(d-2Jxx-17.11.11z-зzzzzd-2 =z-Cd-2) z®(d-2)Коды коррекции ошибок в кудитаха) Порядок каждого генератора кода[[5, 1, З]]d равен d. Это следует из того,r и s являются взаимно про­стыми с d. Следоват~льно, каждый генератор Mi не может иметь порядок,ЧТО для каждого Er s Е {Х, х- 1 'который является делителемd,z, z- 1 }но не равенбавления заметим, что поскольку тольковзаимно простыми слюбомd,d,1d.В качестве интересного до­иd - 1при всехdявляютсякаждый генератор кода, который справедлив прив своем разложении на тензорные произведения должен содер­жать оператор из следующего множества:{1 хz' ' 'х- 1'z- 1 xz xz- 1 x- 1z x- 1z- 1}''''.Все генераторы действительно независимы.

Приравнивая произведе­ния произвольных степеней генераторов единице, мы вынуждены положитьравными нулю все показатели степеней (это доказательство является муль­типликативным двойником обычного доказательства линейной независимо­сти):1 = М~ 1 М~ 2 м~з М~· ==(Xcl-czz-c•) ® (Zclxcz-c•) ® (zcz-clxcз) ®®(X-cl zcз-czxc•) @ (Xcz zcz-cl ),:::} с 1=с2=с3=с4=О.7.18.УПРАЖНЕНИЯ129Все генераторы также коммутируют, в чем можно убедиться непосред­ственной проверкой: всякий раз, когда элемент хаzь выстраивается междудвумя генераторами, еще один элемент z-ьх-а также выстраивается та­ким образом, что в общем генераторы будут коммутировать.Пятая циклическая пересталовка не является независимой от остальныхЬ) Код[[5, 1, З]]dневырожден. Чтобы понять это, заметим сначала, что егорасстояние не больше трех, так как закодированные операции в части с)имеют вес три.

Затем рассмотрим общий оператор Паули с весом ~2.Вследствие циклической природы кода этот оператор можно записать какЕа = Er,s ® Et,u ® 1 ® 1 ® 1 ИЛИ Еь = Er,s ® 1 ® Et,u ® 1 ® 1.В первом случае, чтобы коммутировать со стабилизатором, необходимо[Ml' Еа] = UJ-s+t = 1,[М2, Еа] = wи = 1,[Мз, Еа]= UJr = 1,[М4, Еа] = UJ-r+u ==?-r=s=1,t= и = О.Во втором случае, чтобы коммутировать со стабилизатором, необходимо[MI, Еь]UJ-s-t[М2,Еь]U)t= 1,= 1,[М 3 ,Еь) = UJr-u = 1,[М4,Еь] = UJ-r = 1,=?-r=s=t= и = О.В обоих случаях это возможно только для единичного оператора.

Следо­вательно, все операторы Паули с весом единица и два «антикоммутируют»с некоторым элементом стабилизатора и, следовательно, расстояние этогокода равно трем. Более того, это показывает, что не существует элементастабилизатора, который может иметь вес меньше трех (так как он не может130ГЛАВА7коммуrировать со всеми другими элементами стабилизатора), то есть кодтакже является невырожденным.с) Одним возможным представленнем закодированных операций является·х = zz=1z- 1 1 1,1 z- 1 1.х- 1х хМожно непосредственно проверить, что они имеют правильные ком­мутационные соотношения и коммутируют со всеми генераторами стабили­затора. Так как все сомножители включают толькоZ,Х и обратные к нимоператоры, эти закодированные операции справедливы при любомd.ГЛАВА8Топологические квантовые вычисления8.1.Анионы?Одной из главных идей квантовой теории является концепция нераз­личимости частиц (часто называемых тождественными частицами).

На­пример, все электроны во Вселенной в точности одинаковы. Следователь­но, для многоэлектронной системы операция перестановки двух электро­нов (обмена их положениями) является симметрией- она оставляет неиз­менной физику. Эту симметрию представляет унитарное преобразование,действующее на многоэлектронную волновую функцию.Для неразличимых частиц в трехмерном пространстве, о котором мыобычно говорим в физике, перестановка частиц представляется одним издвух различных способов. Если частицы являются бозонами (например,атомы4Не в сверхтекучей жидкости), то перестановку двух частиц пред­ставляет тождественный оператор: волновая функция инвариантна, то естьчастицы подчиняются статистике Бозе. Если частицы являются фермиона­ми (как, например, электроны в металлах), то перестановка представляетсяумножением на( -1):волновая функция меняет знак, то есть частицы под­чиняются статистике Ферми.В одномерном пространстве концепция статистики тождественных ча­стиц становится неоднозначной.

Дело в том, что в этом случае, обменива­ясь местами, две частицы должны пройти друг сквозь друга. Если при пе­рестановке двух тождественных частиц волновая функция меняет знак, томожно сказать, что они являются невзаимодействующими фермионами, нос тем же успехом можно сказать, что эти частицы являются взаимодейству­ющими бозонами, так что изменение знака обусловлено взаимодействиемпроходящих друг сквозь друга частиц. В общем случае перестановка можетизменить волновую функцию на мультипликативную фазу ei 0 , принимаю­щую значения, отличные от+ 1 и-1.Но даже такое изменение фазы можноучесть, описывая частицы или как бозоны, или как фермионы.Таким образом, в пространстве трех (и большего числа) измерений,а такжеводном измерении,статистика тождественных частиц довольноГЛАВА1328проста.

Но между этими двумя скучными случаями, в двумерном простран­стве, возможно замечательно богатое разнообразие типов статистик частиц,настолько богатое, что мы просто утонем в нем, прежде чем сможем датьполезную классификацию всех возможностей.Неразличимые частицы в двумерии, не являющиеся ни бозонами, нифермионами, называются анионами. Анионы- это удивительно красиваятеоретическая конструкция, но имеют ли они хоть какое-нибудь отношениек физике реальных, изучаемых в лаборатории, систем? Ответ замечателен:«Да!» Даже в нашем трехмерном мире можно создать двумерный электрон­ный газ, удерживая электроны в тонком слое между двумя полупроводнико­выми пластинами, так что при низких энергиях их движение в перпендику­лярном слою направлении будет заморожено. Если электроны в материаледостаточно подвижны, то в достаточно сильном магнитном поле и при до­статочно низкой температуре такой двумерный электронный газ переходитв исключительно запутанное основное состояние, отделенное от всех воз­бужденных состояний отличной от нуля энергетической щелью.