Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 100

Он имеет генераторы стабилизатораМ1 =М2 =ZZl,lZZ.Выбор представления закодированных операторов в видеХ=ХХХ,z = zzzотбирает базис кодовых слов/0)11)==/000),jlll).Другое представление закодированных операторов привело бы к дру­гому базису. Данный выбор делает этот код наиболее похожим на его клас­сический аналог.Ь) Квантовый код коррекции обращения фазы также представляет собойклассический код повторения, хотя и в другом базисе. Он имеет генераторыстабилизатораМ1=XXl,М 2 = lXX.Выбор такого же, как и выше, представления закодированных операторовХ=ХХХ,Z= zzzотбирает базис кодовых слов/О)= }s(IO) + /1))® 3 ,11) = _.1_(/0) -11))® 3 .vГs1Решения выполнены Эндрю Лэндалом.ГЛАВА1067Заметим, что если мы локально совершим адамаронекий поворот бази­са каждого кубита [ЩО) = (\0) + \1)) 1-12, Щ1) = (JO) -\1)) 1J2] и операто­ров стабилизатора [HZH- 1 = Х, НХН- 1 = Z], то получим тот же самыйкод, что и в части (а). По этой причине можно сказать, что квантовые ко­ды инвертирования бита и обращения фазы эквивалентны с точностью долокальных унитарных преобразований [ер.

задачу 7.2(Ь)].7.2.Коды детектирования ошибока) Код[[3, О, 2]]можно построить, дополняя один из кодов из задачи7.1за­кодированной операцией (коммутирующей со стабилизатором). Чтобы со­хранить расстояние кода, эту закодированную операцию следует выбратьс минимальным весом не ниже двух. [Имея в виду то, как в задаче 7.3(Ь)определяется расстояние кода сk= 0.]Одним из таких выборов являетсяМ1= ZZl,М2= lZZ,М 3 =ХХХ.Закодированным состоянием [то естьXjO) из 7.1(а)] является знакомоетрехкубитовое кот-состояние, также известное как состояние Гринбергера­Горна- Цайлингера (ГГЦ):~(\000) + \111)).Ь) Да, в этом смысле все стабилизирующие коды[[3,0,2]]эквивалентны.Покажем, что это так, различными способами конструируя их генераторыстабилизаторов.

Такой подход ведет к ответу, который больше похож нарешение «логической загадки».Начнем с того, что стабилизатор содержит всегоn - k = 3 генератора,которые в самом общем случае имеют видМ 1 = ±АВС,М2 =±DEF,M 3 =±GHJ.С помощью локальных унитарных преобразований (ЛУП) всегда можноизбавиться от общих фаз генераторов.7.18.107УПРАЖНЕНИЯКод должен антикоммутировать со всеми ошибками единичного веса(чтобы детектировать их!), то есть А,DиGне могут быть все одинако­выми. Следовательно, без потери общности можно считать А#того, используя ЛУП, преобразовать А ---+ Х,D---+Z.М 3 операторами М 1 или М 2 (или обоими) до тех пор покав единичный1,D,болееТогда, действуя наGне обратитсяполучимМ 1 =ХВС,М2 =М3=ZEF,1HJ.=Все генераторы должны коммутировать, следовательно либо {В, Е}Олибо {С, F} = О. Вновь без потери общности (при необходимости поменявместами второй и третий кубиты) можно положить {В, Е}= О и, применяяЛУП, выбрать В = Х и Е =Z.Теперь генераторы выглядят какМ 1 =ХХС,М2 =М3 =ZZF,1HJ.Так как ошибка с единичным весомсо стабилизатором, операторы С иными единичномудва иk=О1.не должна коммутироватьКак мы увидим в задаче 7.3(Ь) код с расстояниемне может иметь элементов стабилизатора с меньшим, чем два,весом.

(В этом смысле все коды сошибка11Jне могут одновременно быть рав­F11Jk =О невырождены.) Следовательно,не может принадлежать стабилизатору, то есть Нпоскольку [М 1 , М 2 ]=О, то [С,F] =О. Следовательно, или С#= F1.#Но1,или только один из них равен единичному оператору. Так как мы всегдаможем применить ЛУП Х ~Zодновременно к первым двум кубитам, тобез потери общности можно выбрать оператор С не равным единичному.Подействовав другим ЛУПом на третий кубит, можно положить С =Х.F равен или Х, или 1. Если F = Х, то, выполняяотображение М 2 ---+ М 1 М 2 = УУ1, а затем применяя к первым двумкубитам ЛУП У ~ Z, второй генератор М 2 можно преобразовать в ZZ1.Следовательно, не теряя общности, можно выбрать F = 1. Теперь генера­Следовательно, операторторы выглядят какМ 1 =ХХХ,М2 =М3 =ZZ1,1HJ.108ГЛАВА7= О и (М 1 ,М 3 ] = О следует, чтоJ не может быть равным 1, посколькутогда ошибка с единичным весом 1Z1 коммутировала бы с М 3 (фактиче­ски, в этом случае 1Z1 совпадает с М 3 ).

Следовательно, J = Z и, значит,наиболее общий стабилизирующий код [[3, О, 2]] имеет генераторыН=Наконец, из равенств (М 2 ,М 3 ]Z,аJравен илиZ,или1.НоМ 1 =ХХХ,=М2М3 =с) Нет, стабилизирующий кодZZ1,1ZZ.[[3, 1, 2]]не существует. Для того чтобы та­кой код детектировал все возможные однокубитовые ошибки, каждый стол­бец генераторов стабилизатора должен содержать как оператор Х, так и(или У). Однако код[[3, 1, 2))Zимеет только два генератора стабилизатора,и нет возможности сделать коммутирующими произведение трех пар анти­коммутирующих операторов.Замечание.

То, что код[[3, 1, 2]]не существует, может показаться удиви­тельным, поскольку, как мы видели в задаче 7.1(а), коды сn= 3, k = 1, де­тектирующие ошибку инвертирования бита и обращения фазы, существу­ют. Дело в том, что не существует кода сn = 3, k = 1,способного детек­тировать все возможные ошибки; такие коды могут только корректироватьошибки, возникающие в пекотором базисе. Поскольку кубиты весьма доро­ги, то, стремясь максимизировать эффективность квантового кода коррек­ции ошибок сn= 3, важно знать, в каком базисе предпочитает действоватьокружение.7.3.

Максимальное запутываниеа) Пусть jф) обозначает закодированное состояние. Мы должны найти n- k =б линейнонезависимых фиксирующих jф) операторов. Данное в за­даче разложение типа Шмидта для IФ) делает ясным, что это состояниефиксируется всеми операторами вида 1М, где М принадлежит стабили­затору кода([5, 1, 3)].Более того, поскольку IФ) имеет ту же природу, чтои кот-состояние, то оно фиксируется и операторами ХХ иZZ.Поэтомуполный список генераторов стабилизатора этого кода выглядит следующимобразом:М1 =1XZZX1,7.18.М2УПРАЖНЕНИЯ109= llXZZX,М3 =lXlXZZ,lZXlXZ,М4 =М 5 =ХХХХХХ,М6= zzzzzz.Ь) Расстояние кода равно четырем, и он невырожден. Эти выводы зависятот того, как интерпретируется расстояние и вырождение квантового кодасk =о.Замечания о расстоянии приДля кодов сk=k=ОО ·стандартное понятие расстояния определено недо­статочно четко.

Обычно мы говорим, что расстоянием кода является наи­больший вес представлений минимального веса для закодированных опе­раторов Х иZ.Но для кодов с k = О не существует закодированных опе­раторов! Следовательно, мы должны вернуться к самым основам, чтобыпонять, что означает расстояние в этом случае.1)Расстояние на языке корректированияОдин способ состоит в определении расстояния кода сk=О с помо­щью его свойств, корректирующих ошибки. Однако это ведет к выводу,что расстояние всегда равноn,так как закодированное состояние из­вестно. «Восстановлением» является просто приготовление состояниязаново! Эта интерпретация не выглядит достаточно ясной и, фактиче­ски, является не лучшим способом думать о том, что здесь происходит.2)Расстояние на языке детектированияd>изически более мотивированным понятием расстояния является то,которое количественно определяет, сколько изnфизических кубитоввзаимодействовало с окружением если было приготовленоkлогиче­ских кубитов.

Эта интерпретация фокусируется скорее на детектиро­вании, чем на коррекции. Тогда расстояние может быть разумно опре­делено как число, превышающее на единицу максимальное количестводетектируемых взаимодействий кубитов(d= t+l). Мы можем исполь­зовать это определение расстояния, чтобы поставить разумный вопросо декогерентизирующей силе окружения и экспериментально ответитьна него, используя коды сk= О.Напомним, что ошибка является детектируемой, если и только еслиона аитикоммутирует с некоторым генератором стабилизатора. Одна-ГЛАВА110ко для кодов сk =7О стабилизатору принадлежат только элементы,коммутирующие со всеми его же элементами.

По этой причине макси­мальное количество детектируемых ошибок равно минимальному извесов нетривиальных элементов стабилизатора. Это позволяет найтирасстояние кода (во второй из приведеиных трактовок), лишь посмот­рев на его стабилизатор. Воспользуемся этим результатом, чтобы найтирасстояние кода, предложенного в части (а) этой задачи.Будем использовать определение[[б, О,4]].(2),чтобы найти расстояние кодаПоскольку его стабилизатор достаточно мал, мы можем обсле­довать его явно, чтобы найти элемент с минимальным весом. Его стабили­затором является1XZZX1,ZY11YZ,-,1УХХУ1,-ZXYYXZ,-1ZYYZ1,-Z1XX1Z,111111,zzzzzz,Х1УУ1Х,YZXXZY,-XZ11ZX,-УХ11ХУ,-XYZZYX,-Y1ZZ1Y,хххххх,УУУУУУ,плюс перестановки.Непосредственная проверка показывает, что минимальный вес элемен­тов стабилизатора равен четырем.Замечания о вырожденииВ применении к коду сk=О вырождение также является не четкоопределенным понятием.