Дж. Прескилл - Квантовая информация и квантовые вычисления. Тома 1-2, страница 10

Они также отметили, ч·rо некоторые квантовые алгоритмы (в томчисле апгоритм фапоризации Шора) можно разработать в детерминист­ской форме (так что, по крайней мере большая часть компьютеров будетдавал~ один и тот же результат); тогда усреднение по многим вычислениямне нанесет ущерба резу;п,тату.Совсем нел;авно методы ЯМР были испо.'IЬ.Зованы л;ля приготов.JJениямаксимально запуrаннш"О состояния трех кубитов, чего не удавалось до­биться раньше.ОчеВИI\НО, разработки квантового вычис;тителыюго «железа>> находят­ся в мпадсrrческом состоянии. Необходимо на много порЯI\КОВ величины(как по ко:mчеству храняшихся кубитов, так н по коднчеству операций,которые могут бьгrь примсиены) уве;:rичить возможносш существующеП)аппарuтного обеспечения, нрежде чем можно будет пытаrъся реализоватьвычислительные амбиции.

В случае метода ЯМР существует особенно се-ГЛАВА 146рьезное ограничение, которое возникает как принципиалъный вопрос, nо­скольку отношение когерентноm сиmала к фону экспоненциально спадаетс ростом количества спинов, приходящихся на одну молекулу. На практике6Ы.i10 бы очень заманчиво выполнить квантовое ЯМР-вычисление с боаеечем десятью кубитами.

Возможно, для того чтобы квантовые компьюте­ры в конце концов стали реальными приборами, поЧJебуются новые идеив рюработке квантового аппаратного обеспечения.1.10.Резюме:Этим завершается наш вводный обзор квантовых вычислений. Мыувидели, что здесь соединшmсъ три фактора, сделавшие захватывающимэтот предмет.1)Квантовые компьютеры моrут решать сложные задачи.

Представим,что построена новая классификация сложности, лучше опирающаясяна фунда..м:ентадьные законы физики, чем традиционная теория слож­ности. (Тогда остается более строго охарактеризовать к:шсс задач, в ко­торых квантовые компьютеры имеют большое преимущества перел,классическими компьютерами.)2)Квантовые ошибки можно корректировать. С nомощью подходящихметодов кодирования мы можем защитить сложную квантоRую систе­му от рюрушительного действия декоrерентизации. Мы Iшкогда несможем увидеть настоящего полуживого-полумертвого кота, но, веро­ятно, сможем приготовить и сохранить в таком состоянии закщtиро­ванного кота.Кванrовое аппаратное обеспечение можно сконструировап>.

У нас есть3)привилегия быть свидетелями начала зпохй когеренrnых манипуляцийс квантоной информацией в лаборатории.ЦсJiью этого курса будет углубление нашего понимания пункта в(2)и(3).(1 ),ГЛАВАОсновы2.1.1:2Состояния и ансамблиАксиомы квантовой механикиВ предыдущих лекциях я говори:r.r то одно, то другое о квантовом, хотянигде не давал оnределения, что такое кванrовая теория.

Пришло времяВОСПОJПIИТЬ ЭТОТ пробел.Квантовая теорияэто математическая модель физического мира.Чтобы охарактеризовать модель, необходимо опредеJПiть, как она будетпредставяять состояния, наблюдаемые, измерения и динамику.1.Состояния. Состояния представляют поJшое описание физической си­стемы. В квантовой механике состояниями являются лучи в гильбер­товам простраНстве.Что такое гильбертово пространство?1)Это векторное пространство над полем комплексных чисел <С. Вдальнейшем векторы будут обозначаться как(кет-вектор ДИ­I.P)рака).2)В нем определено внутреннее произведение('1'11/>).Оно пред·став.аяет собой отображение упорядоченной пары векторов па С,определяемое свойствами:а) положительность: (.РIФ) >О для любого IФ)б) линейность: ('!'l(alv' 1) + Ьlv'2)) =в) эрмитовская симметрия: ('l'lv') =3) Оно по.шо по норме 111/,11 =a(<pl1/1 1 )(v'l'l')*.'1 О;+ Ь('l'lv'2 );.,J (v'lv').(В бесконечномерных функпиональных пространствах полпотаявляется важным условием, обеспечивающим сходимость разJю­жений но определенным базисам собственных функпий, напри­мер, рядов Фур1>с.

Однако, как прав1ыо, нас вполне удовлетво­рит работа с внутренними произведениями в конечномерных про­страпствах.)ГЛАВА482Что такое луч? Это класс эквивалентности векторов, отличающихсядруг от друга иенулевым комш1ексным скалярным множителем. В ка­честве представители такого класса (для любого иенулевого вектора)можно выбрать вектор, нормированный на единицу(2.1)(.pj,P) = 1.Будем также говорить, чтоj1/1)игдеe'aj,p),je'al~ 1, описывают однои то же физическое состяпис.[Заметим, что :каждый луч соответствует возможному состоянию, тоесть из двух 11анных состояний j<p) и j,P) можно сформировать другоесостояние aj<p)bj,P) {<<принцнп суперпозиции»).

Физический смысл+в этой суперпозиции имеет относител.ьная фаза; мы отождествляемaj<p) + bj,J;) с е'а( aj<p) + ЬjФ) ), но отличаем его от aj<p) + e'abj,P).]2.Наблюдаемые. Наблюдаемой является свойство физической системы,которое н принципс может был. измерено. В квантовой механике на­блюдаемая представ.!Яется самосопряженным оператором. Операторопределяет линейное о-rображение одного век-rора в друл)йА:jw) ....., Aj"c·),A(aj,P) + Ьi'Р)) ~ aAj,P)+ bBj<p).(22)Оператор, сопряженный к А, опредеЛSJ.ется соотношениемд.<я :~юбой пары векторовj<p)иj,P)(здесь я обозначил Аjф) симво­;юм jA~1) ).

Опера-rор А самосоиряжен, если А~ А t.Если А и В-самосоиряженные опера-rоры, то А+ В-10же самосо­пряжен [поскольку (A+IЗ)t = At +Bt], ио (АВ)!- вtAt и поэтомуАВ-самосопряженный оператор только в -rом случае, кота А и Вкоммутируют. За".етим, что АВ+ ВА ипряженные~ec.Jllii(AB- ВА) всегда самосо­таковыми являются А и В.Для самосопряженного оператора в гильбертоном пространствеществует спектральное представление-1tсу­его собственные состоянияобра'J}'Ют полный, ортанормированный базис в1t.Мы можем предста­вить самосоиряженный опера-rор А в виде(24)n492.1. АКСИО\1Ы КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИЗдесь каждое an -собственное зпаченнс оператора А, а Р n -со­ответствующий орюгоналЫiый нроекюр (нроекционвый операюр) напространство собственных вскrоров, отвечающих собственному значе­нию an. (Если "п не вырождена, тоР n ~ ln) (nl- проекюр на соответ­ствующий собственный векюр.) Н роекторы Р n обладают свойствамир~ = Pn.(2.5)(Определение самосопряжсшюсти и формулировка спектральной тео­ремы ,rvтя неоrраниченпых операторов в бесконечномерном нростран­ствс бoJice тонкие, но 1дссь это не должно нас беспокоитi •.

)3.Измерение. В кнанювой механике численным розультатом измерениянабmодаемой А является одно из ее собственных значений; сра~у но­еле измсрспия квантовым состоянием является собственное состоя­ние А, соответствующее измеренному собственному ·шачению a.n. Ес­ли непосредственно нсрс,т~ измерением квантовое состояние описыва­лось вектором IФ), то результатa.n получается с вероятностью(2.6)Ьсли полученным результатом является а", то (нормироваmшм) кван­товым СОС'lоянием становится(2.7)(Заметим, чrоec.wтотчас повторить измерение, тогда согпасно этомуправилу ~~новь, с вероятностью единица, будет получен ·ют же самыйрезультат.)4.Динамика.

::Эволюция во времени кванювоrо сосюяния унитарна; она!Юрождастся самосопряженным оператором, называемым гамильтони­шюм сиетс'-'ы. В шредиигеровской картипе динамики вектор, описы­нающий систему, и3мснястся во времени сошасно уравнению Шредин­гера~ IФ(t))ще Н-iНIФ(tJ),(2.8)t·амшJьтониюr. Мы можем переписать зто уравнение в нервомпорядке по бесконечно малой величинеI1Ь(t+ dt))=dt:(1- iHdt)I..P(t)).(2 9)ГЛАВА 250Оператор U(dt) = 1 - iHdt унитарен, поскольку Н самосопряжен;в :швейном порядке по dt он удовлетворяет соотношению= 1.utuПоскольку произведение унитарных операторов унитарно, эволюцияв конечном интервале времени также уннтарна:IФ(t)) = U(t)IФ(O)).(2.10)Если гамнльmниан Н не зависит от времени, то можно записатье~;юU(t) =Этим завершается математическая форм)'Ш1ровка кванrопой механики.Мы непосредственно за.'4:ечаем ее некоторые необычные черты. Одна еестранность состоит в том, что уравнение Шредингера Jшнейно, тогда какмы прнвыКJШ к нелинейным динамическим уравнениям кл-ассической фи­зики.

Очевидно, зто свойство требует объяснения. Однако гораздо болееСiранным представляется таинственный дуализм; два совершенно разныхспособа изменения квантовых состояний. С одной стороны, существует де­терминистская унитарная оволюция. Если мы точно определили IФ(О)), тотеория предсказывает состояние IФ(t)) в нюбой более поздний момент вре­мени.С другой стороны, имеется вероятностное измерение. Теория не да­ет определенных предсказаний относительно результатов измерения; оналишь приписывает вероятности разШIЧНым альтернатива.\оf.Jroвызываетбеспокойство, поскольку неясно, почему, в отличие от других процсссов,измерение должно управляться иными физическими законами.Начинающие изучать квантовую механику,впервые столкнувшисьс .этими правилами, редко спрашивают «почему?})_ В этом есть определен­ная мудрость.

Но я надеюсь, что может быть полезно спросить: почему?В будущих лекциях мы вернемся к этому вызывающему замешательство ду­ализму между унитарной эвотоцией и измерением и найдем его разреше­ние.2.2.КубитНеделимой единицей классической информации является бит, при­нимающий одио из двух возможных значений {0, 1}. Соответствующуюединицу кваитовой информации называют <<квантовый бит>> или кубит.Он описывает состояние простейшей квантовой системы.Минимальное нетриниа;Iьное гильбертово пространство 01ву:мерно.

Бу­дем обозначить ортогона.Тhный базис в двумерном всКiорном пространстне2.2.как{10), IJ) }.51КУБИТТогда наиболее общее нормированное соС'fОяние может бытьпредставлено в видеaiO)где а., Ь~-+ bfl),(2.11)комплексные числа, удоюстворяющие условиюlal +2IЬI' =а общая фаза физически несущественна.