Бифуркационная диаграмма в задаче о движении неоднородного динамически симметричного эллипсоида вращения на гладкой плоскости, страница 3

Òîãäà äëÿ ìåòîê ìîëåêóë õàðàêòåðíû äâå âîçìîæíîñòè: r = ∞, ε = −1 è r = 21 , ε = ±1. Âîâñåõ ðàññìîòðåííûõ ñëó÷àÿõ äëÿ ìíîãîîáðàçèé S 3 , RP 3 çíàê s-ìåòêèçàâèñèò îò îðèåíòàöèè ìíîãîîáðàçèÿ, òàê ÷òî ìîæíî âûáðàòü ε = +1.Ðèñ. 5: ñëó÷àé ñ>0Ñîîòâåòñòâóþùèå ìåòêè ïðèâåäåíû íà ðèñóíêàõ 6 è 7, ñïîñîá èçîáðàæåíèÿ àíàëîãè÷åí ñïîñîáó, ïðèìåíåííîìó â ïðåäûäóùåì ïóíêòå.16Ðèñ. 6: ïåðâûé ñëó÷àéÐèñ. 7: âòîðîé ñëó÷àé174.2Èíâàðèàíòû äëÿ ñëó÷àÿ ïðîèçâîëüíîãîsÑôîðìóëèðóåì äâà ïðåäëîæåíèÿ, äîêàçàííûõ Ìîðîçîâûì [13] ñòð. 57:Ïðåäëîæåíèå 1: Íà ðåáðàõ, ñîåäèíÿþùèõ äâà ñåäëîâûõ àòîìà êðóãîâîé ìîëåêóëû âûðîæäåííîé îäíîìåðíîé îðáèòû ìåòêè r ðàâíû ∞.Íà ðåáðàõ, ñîåäèíÿþùèõ àòîì À ñ ñåäëîâûì, ìåòêè r êîíå÷íû.  îáîèõñëó÷àÿõ ìåòêè ε ðàâíû +1.Ñëåäñòâèå: Ìàòðèöà ñëåéêè íà ðåáðàõ "ñåäëî-ñåäëî"êðóãîâîé ìîëåêóëû âûðîæäåííîé êðóãîâîé îðáèòû âñåãäà ðàâíà K, ãäå k ∈ Z1 0K = k −1Ïðåäëîæåíèå 2: Ïóñòü òî÷êà z ñîîòâåòñòâóåò âûðîæäåííîé îäíîìåðíîé îðáèòå, à å¼ îêðåñòíîñòè áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãëàäêóþ êðèâóþ ñ òî÷êîé âîçâðàòà â z , ìåíÿþùóþ ïðè ýòîìòèï 3-àòîìà ñ B íà A.

Òîãäà íà ðåáðå êðóãîâîé ìîëåêóëû B − A ìåòêàr = 0.Ïðèïèøåì ðåáðàì áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû ñëåäóþùèå èíäåêñû:α1 , α2 , α3 , β1 , β2 , θ1 , θ2 , θ3 , θ4 - îòâå÷àþò áèôóðêàöèÿì òèïà , γ1 , γ2 îòâå÷àþò áèôóðêàöèÿì òèïà B . K1 , K2 - âûðîæäåííûå äâóìåðíûå òî÷êè.Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ìîëåêóëà òèïà A − A âáëèçè îñîáûõ òî÷åê òèïàöåíòð-öåíòð èìååòr = 0, êàê ìîëåêóëà íèçêèõ ýíåðãèé, ò.ê. ÿâëÿåòñÿS 3.Çà r[x − y] óñëîâèìñÿ îáîçíà÷àòü r-ìåòêó ìåæäó x è y.Òîãäà r[α1 − β1 ] = 0 ïî 1, r[α2 − β2 ] = 0 ïî 2, r[β1 − α3 ] = 0.Àíàëîãè÷íî ìîëåêóëà A−A áîëüøèõ ýíåðãèé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé RP 3 ,ò.å.

å¼ r-ìåòêà ðàâíà 21 .Ñîãëàñíî òåîðåìå Ìîðîçîâà êðóãîâàÿ ìîëåêóëà âáëèçè òî÷åê âîçâðàòàèìååò âèä êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 9, òàì æå óêàçàíû ìåòêè r è ε.Òàêèì îáðàçîì äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìåòîê îñòàëîñü âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðàâèëîì ñëîæåíèÿ ìåòîê ñôîðìóëèðîâàííûì â êíèãå Áîëñèíîâà, ÔîìåíêîÈíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû [1].Óòâåðæäåíèå 1:r−ìåòêè äëÿ âñåõ âîçìîæíûõ ìîëåêóë èçîáðà-æåíû íà ðèñ.

11Äîêàçàòåëüñòâî:Ïðè íèçêèõ ýíåðãèÿõ èçîýíåðãåòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå18S 3 , åìó ñîîòâåò-Ðèñ. 8: ÍàçâàíèÿÐèñ. 9: Êðóãîâàÿ ìîëåêóëà òî÷êè âîçâðàòàñòâóåò ìîëåêóëà A − A è êàê áûëî îòìå÷åíî âûøå äëÿ íåå r-ìåòêà ðàâíà 0. Àíàëîãè÷íî áîëüøèì çíà÷åíèÿì ýíåðãèè ñîîòâåòñòâóþò ìîëåêóëûA − A ñ r-ìåòêîé 1/2, ò.ê.äàííûå ìíîãîîáðàçèå ÿâëÿåòñÿ RP 3 . Íà ðèñ.11.7 ïîÿâëÿåòñÿ ìåòêà ∞, ò.ê. äëÿ äàííîé ìîëåêóëû A − A ãðàíè÷íûåòîðû ïðèíàäëåæàò îäíîé è òîé æå äóãå.

Çíàÿ ìåòêó, ìîæíî îïðåäåëèòü,÷òî èçîýíåðãåòè÷åñêèå ìíîãîîáðàçèÿ â äàííîé îáëàñòè ÿâëÿþòñÿ ïðîèçâåäåíèåì S 1 × S 2 . Äâèãàÿñü ïî óâåëè÷åíèþ ýíåðãèè òðåõìåðíîå ìíîãîîáðàçèå ïåðåñòðàèâàåòñÿ â S 3 , ò.ê. âñòðå÷àåò íà ñâîåì ïóòè ôîêóñíóþîñîáåííîñòü (òî÷êà ôîêóñ-ôîêóñ îáëàäàåò ìàòðèöåé ìîíîäðàìèè 10k1 ,êàê ýòî îòìå÷àëîñü âûøå), ïîëüçóÿñü ïðàâèëîì ñëîæåíèÿ, èìååì ìåòêóðàâíóþ 0.Òàêèì îáðàçîì íåðàññìîòðåííûìè îñòàëèñü ëèøü ìîëåêóëû, ñîäåðæà19Ðèñ.

10: Êðóãîâàÿ ëàñòî÷êèíà õâîñòàùèå àòîìû B è "ñðåäíÿÿ"ìîëåêóëà íà ÷åòâåðòîé äèàãðàììå. Ìåòêè íàêîðîòêèõ ðåáðàõ A − B ðàâíû íóëþ ïî ïðåäïîëîæåíèþ 2 è íà äëèííûõîíè òàêæå ðàâíû íóëþ. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìû âîñïîëüçîâàëèñü ïðàâèëîìñëîæåíèÿ ìåòîê. Ðàññìîòðèì ðèñ.10 ïðàâûé, òàì âèäíî, ÷òî äëèííîå ðåáðî A−B ïîëó÷àåòñÿ ñëèÿíèåì äâóõ êðóãîâûõ ìîëåêóë, îäíà èç êîòîðûõèìååò r-ìåòêó 0, à âòîðàÿ áåñêîíå÷íîñòü, â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì r-ìåòêóðàâíóþ íóëþ.Íà ðåáðå B − B ìåòêà ðàíà áåñêîíå÷íîñòè, ò.ê. ãðàíè÷íûå òîðû ñîâïàäàþò ñëåäîâàòåëüíî ìàòðèöà ïåðåõîäà - åäèíè÷íàÿ.

Äëÿ îñòàâøåéñÿ ìîëåêóëû r-ìåòêà îïðåäåëÿåòñÿ ïî íåïðåðûâíîñòè: ðàññìîòðèì ïåðåõîä îòäèàãðàììû 4 ê äèàãðàììå 5, êàê ìû ìîæåì çàìåòèòü "ñðåäíÿÿ"ìîëåêóëàíà ÷åòâåðòîé äèàãðàììå ïåðåõîäèò â ìîëåêóëó áîëüøèõ ýíåðãèé íà ïÿòîé, ò.ê. ìàëûé òðåóãîëüíèê, îòäåëèâøèñü îò áîëüøîãî (ñì. äèàãðàììó3), óõîäèò íà áåñêîíå÷íîñòü è òàì ïðîïàäàåò.Óòâåðæäåíèå 2:ε−ìåòêè äëÿ âñåõ âîçìîæíûõ ìîëåêóë èçîáðà-æåíû íà ðèñ. 12Äîêàçàòåëüñòâî:Êàê áûëî ïîêàçàíî â êíèãå Áîëñèíîâà, Ôîìåíêî [1] ε−ìåòêà äëÿ òåõ ñëó÷àåâ, êîãäà èçîýíåðãåòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå Q3h ÿâëÿåòñÿ S 3 èëè RP 3çàâèñèò îò âûáîðà îðèåíòàöèè, ïî ýòîìó áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ïîëàãàòü ε−ìåòêó ðàâíóþ +1.À äëÿ ìíîãîîáðàçèé S 1 × S 2 ðàâíà -1.Íà ðåáðàõ A − B ìåòêà ðàâíà +1 ïî ïðåäëîæåíèþ 1.Óòâåðæäåíèå 3: n-ìåòêè ñóùåñòâóåò òîëüêî äëÿ òåõ èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ìîëåêóë, ìíîãîîáðàçèå êîòîðûõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé RP 320Ðèñ. 11: r-ìåòêè äëÿ âñåõ ñëó÷àåâ21Ðèñ. 12: ε-ìåòêè äëÿ âñåõ ñëó÷àåâ22Ðèñ.

13: n-ìåòêè äëÿ âñåõ ñëó÷àåâÄîêàçàòåëüñòâî:Ïî îïðåäåëåíèþ n-ìåòêè ñóùåñòâóþò äëÿ ñåìåé, ò.å. òàêèõ ìîëåêóë, ãäår-ìåòêà íà ðåáðàõ A − B ðàâíà íóëþ, à ìåòêà íà ðåáðå B − B , åñëèòàêîå èìååòñÿ, ðàâíà áåñêîíå÷íîñòè.Ìåòêà ñ÷èòàåòñÿ ïî ôîðìóëå Òîïàëîâà, äëÿ äàííîãî ñëó÷àÿ îíà ðàâíà 2.Òàêèì îáðàçîì ïîñòðîåíû âñå èíâàðèàíòû Ôîìåíêî-Öèøàíãà, òåïåðüâîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé î ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè è óêàæåì íåñêîëüêî ñèñòåì ýêâèâàëåíòíûõ íàøåé.5Èçâåñòíûå ñëó÷àè ýêâèâàëåíòíîñòè äàííîì ðàçäåëå ìû ïîñòàðàëèñü ñîáðàòü âñå èçâåñòíûå íàì ñèñòåìû,êîòîðûå ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíû íàøåé. Ñðàâíåíèå ïðîâîäèëîñü ñ ïðèìåðàìè, ñîäåðæàùèìèñÿ â êíèãå Èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû[1], à òàêæå â ðàáîòàõ ó÷åíèêîâ Àíàòîëèÿ Òèìîôååâè÷à Ôîìåíêî.

Âåñüìà âåðîÿòíî, ÷òî ñïèñîê äîëæåí áûòü êóäà áîëüøå ïðèâåäåííîãî çäåñü.Æóêîâñêèé îáíàðóæèë îáîáùåíèå èíòåãðèðóåìîãî ñëó÷àÿ Ýéëåðà, ñ ãàìèëüòîíèàíîì2+λi )H = Σ (Si2A, i ∈ 1, 2, 3. Äîïîëíèòåëüíûé èíòåãðàëi23òàêîé æå, êàê è â ñëó÷àå Ýéëåðà K = S12 + S22 + S32 . À.À. Îøåìêîâïîñòðîèë áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû [14], à Ï.É. Òîïàëîâ ïîñ÷èòàë èíâàðèàíòû Ôîìåíêî-Öèøàíãà ðåçóëüòàòû ïðèâåäåíû â êíèãå À.Â. Áîëñèíîâà è À.Ò. Ôîìåíêî [1].Òåîðåìà 1: Ñèñòåìà îäíîðîäíîãî äèíàìè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî ýëëèïñîèäà íà ãëàäêîé ïëîñêîñòè ïîëíîñòüþ âêëàäûâàåòñÿ, â ñìûñëå ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè, â ñèñòåìó òÿæåëîãî ãèðîñòàòà Æóêîâñêîãî. Ò.å.äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ çàäà÷è ýëëèïñîèäà ñóùåñòâóåò òàêèåïàðàìåòðû ñèñòåìû Æóêîâñîãî äëÿ êîòîðûõ èíâàðèàíòû ñîâïàäàþò.Äëÿ ïðîâåðêè äàííîé òåîðåìû ïðåäëàãàåì âçãëÿíóòü íà ñïèñîê òîïîëîãèè ëèóâèëëåâûõ ñëîåíèé äëÿ ñëó÷àÿ Æóêîâñêîãî (ñì.

[1] òîì 2, ãëàâà 5,ñïð 281-283, òàáëèöà 5.6) è ñðàâíèòü åãî ñ ïðèâåäåííûì â äàííîé ðàáîòå.Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ãåîäåçè÷åñêèõ ïîòîêîâ íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ âR3 , îíà ÿâëÿåòñÿ âïîëíå èíòåãðèðóåìîé ïî Ëèóâèëëþ. Ôóíêöèÿ r cos φïîñòîÿííà âäîëü êàæäîé ãåîäåçè÷åñêîé, ò.å. ÿâëÿåòñÿ ïåðâûì èíòåãðàëîì.Å.Êàíòîíèñòîâà îïðåäåëèëà èíâàðèàíòû äëÿ ñèñòåìû íà ïîâåðõíîñòèâðàùåíèÿ,pçàäàííîé ïàðîé ôóíêöèé (f (r), V (r)), ãäå V (r) = r,f (r) =(1 − r2 )(0.3 + 20r2 ).Ñèñòåìà ýëëèïñîèäà íà ãëàäêîé ïëîñêîñòè ïðè íåêîòîðûõçíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíà ñèñòåìå ãåîäåçè÷åñêèõïîòîêîâ, ðàññìîòðåííûõ Åëåíîé Êàíòîíèñòîâîé.Çàìå÷àíèå: Îòìåòèì, ÷òî ñèñòåìû íå âêëàäûâàþòñÿ äðóã â äðóãà, ò.å.ïðè íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ îíè ýêâèâàëåíòíû, íî äëÿ êàæäîéñèñòåìû åñòü "óíèêàëüíûå"óðîâíè - òàêèå, êîòîðûõ íåò â äðóãîé ñèñòåìå.Èç òåîðåì 1 è 2 ïî òðàíçèòèâíîñòè èìååì:Ñëåäñòâèå: Ñèñòåìà ãåîäåçè÷åñêèõ íà ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ ïðè íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ èíòåãðàëîâ ëèóâèëëåâî ýêâèâàëåíòíà ñèñòåìå ãèðîñòàòà Æóêîâñêîãî.Òåîðåìà 2:246ÂûâîäûÏîäâåäåì èòîãè ïðîäåëàííîé ðàáîòû.

Áûëè ðàçîáðàíû è óòî÷íåíû òåîðåìû èç êàíäèäàòñêîé äèññåðòàöèè Ì.Þ.Èâî÷êèíà [2]. Ïî âñåì ïîëó÷åííûì Èâî÷íèíûì áèôóðêàöèîííûì äèàãðàììàì ïîñòðîåíû ìîëåêóëû.Ïîñòðîåíû èíâàðèàíòû Ôîìåíêî-Öèøàíãà, à òàêæå îáíàðóæåíû ñèñòåìû ëèóâóëëåâî ýêâèâàëåíòíûå íàøåé.7Ïðîãðàììà äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèéÍåîáõîäèìû èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè áèôóðêàöèè Õîïôà, êîòîðàÿíàáëþäàåòñÿ â çàäà÷å. Òàêæå ñëåäóåò ðàññìîòðåòü ñâÿçü çàäà÷è ñ äðóãèìè ìåõàíè÷åñêèìè ïðîáëåìàìè, â òîì ÷èñëå, è íåèíòåãðèðóåìûìè,íàïðèìåð, ñ äâèæåíèåì ýëëèïñîèäà ïî øåðîõîâàòîé ïëîñêîñòè (ñëó÷àéíåãîëîíîìíûõ ñâÿçåé).

Ïðîôåññîð Àëåêñåé Âèêòîðîâè÷ Áîëñèíîâ ãîâîðèë îá îòñóòñòâèè òîïîëîãè÷åñêèõ ðàçëè÷èé â ýòèõ çàäà÷àõ. Ôèíàëüíûìýòàïîì èññëåäîâàíèÿ ìîæíî ñ÷èòàòü ñîñòàâëåíèå ñïèñêà óñòîé÷èâûõ èíåóñòîé÷èâûõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ, à òàêæå èõ ìåõàíè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ.Èíòåðåñíî áóäåò ïîíÿòü â ñâÿçè ñ ÷åì ñèñòåìà, ðàññìîòðåííàÿ íàìè,âêëàäûâàåòñÿ â çàäà÷ó î äâèæåíèè ãèðîñòàòà Æóêîâñêîãî. Âîçìîæíî,óäàñòñÿ îáíàðóæèòü îáúÿñíåíèå ýòîìó ôàêòó, à òàêæå êðàñèâûå ñëåäñòâèÿ èç íåãî.25ÁëàãîäàðíîñòèÕî÷ó âûðàçèòü ãëóáî÷àéøóþ áëàãîäàðíîñòü ñâîèì íàó÷íûì ðóêîâîäèòåëÿì Àíàòîëèþ Òèìîôååâè÷ó è Àëåêñàíäðó Âëàäèëåíîâè÷ó çà ïîñòàâëåííóþ çàäà÷ó, ìíîãî÷àñîâûå îáñóæäåíèÿ, ïîäáîð ëèòåðàòóðû, ïðîÿâëåííîåâíèìàíèå, à òàêæå çà ìîðàëüíóþ ïîääåðæêó.Åëåíå Àëåêñàíäðîâíå Êóäðÿâöåâîé çà âàæíûå êîììåíòàðèè, ïîìîùü âðàçáîðå äîêàçàòåëüñòâ.Àíäðåþ Àëåêñàíäðîâè÷ó Îøåìêîâó çà ïîìîùü â ïîäáîðå ëèòåðàòóðû, àòàêæå çà öåííûå çàìå÷àíèÿ.Àíòîíó Ìèõàéëîâè÷ó Èçîñèìîâó çà ïîìîùü â ïîäáîðå ëèòåðàòóðû, â òîì÷èñëå íà èíîñòðàííûõ ÿçûêàõ.Ñîòðóäíèêàì êàôåäð Äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè è Òåîðåòè÷åñêîéìåõàíèêè çà îáñóæäåíèÿ è êîììåíòàðèè.26Ñïèñîê ëèòåðàòóðû[1]Áîëñèíîâ À.Â., Ôîìåíêî À.Ò.ìû, ò.1, 2, ÐÕÄ, Èæåâñê, 1999Èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòå-[2]Èíòåãðèðóåìîñòü è íåèíòåãðèðóåìîñòü óðàâíåíèéäâèæåíèÿ òÿæåëîãî òåëà ýëëèïñîèäàëüíîé ôîðìû íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè[3]Îñîáåííîñòè äèôôåðåíöèðóåìûõ îòîáðàæåíèé, 2-å èçä., ÌÖÍÌÎ, Ì., 2004[4]Êëàññèôèêàöèÿ îñîáåííîñòåé èáèôóðêàöèè êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ÷åòíûõ ôóíêöèé[5]Áîëñèíîâ À.Â., Ðèõòåð Ï.

Ôîìåíêî À.Ò. Ìåòîä êðóãîâûõ ìîëåêóëè òîïîëîãèÿ âîë÷êà Êîâàëåâñêîé Ìàòåì. ñáîðíèê, 2000, ò. 191, N 2, ñ.3-42Èâî÷êèíÌ.Þ.Àðíîëüä Â.È., Âàð÷åíêî À.Í., Ãóñåéí-Çàäå Ñ.Ì.Êóäðÿâöåâà Å.À., Ëàêøòàíîâ Å.Ë.[6]Áðþíî À.Ä.[7]Ïîëü À.[8]ãîä.Òåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà, ò.1,2, èçäàòåëüñòâî Ôèçìàòëèò, 1960Âèëüêå Â.Ã.1991 ãîä.[9][10]Òåîðèÿ íîðìàëüíûõ ôîðì óðàâíåíèé Ýéëåðà-ÏóàññîíàÒåîðåòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà, Ìîñêâà, èçäàòåëüñâòî ÌÃÓ,Êîðîáîâ Ì.Â.Ñìåéë Ñ.Âûâîä èìåííûõ óðàâíåíèéÒîïîëîãèÿ è ìåõàíèêà ÓÌÍ, 27:2(164) (1972), 77133[11] Ìèùåíêî À.Ñ., Ôîìåíêî À.Ò. Êóðñ ëåêöèé ïî äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè è òîïîëîãèè. Ìîñêâà, Èçäçäàòåëüñòâî ¾ÔàêòîðèàëÏðåññ¿, 2000. 448 ñ.

ISBN 5-88688-048-8.[12]Ãóðåâè÷ Â., Âîëìýí Ã.Òåîðèÿ ðàçìåðíîñòè[13] Ìîðîçîâ Ï.Â. Òîíêàÿ ëèóâèëëåâà êëàññèôèêàöèÿ íåêîòîðûõ èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àåâ ìåõàíèêè òâåðäîãî òåëà[14] Îøåìêîâ À.À. Âû÷èñëåíèå èíâàðèàíòîâ Ôîìåíêî äëÿ îñíîâíûõ èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àåâ äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà, Òðóäû ñåìèíàðà ïî âåêòîðíîìó è òåíçîðíîìó àíàëèçó, âûï. 25, ÷àñòü 2, èçäàòåëüñòâî Ìîñêîâñêîãî óíèâåðñèòåòà, 1993 ãîä, 23-109.27.