Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Бифуркационная диаграмма в задаче о движении неоднородного динамически симметричного эллипсоида вращения на гладкой плоскости

Бифуркационная диаграмма в задаче о движении неоднородного динамически симметричного эллипсоида вращения на гладкой плоскости, страница 2

PDF-файл Бифуркационная диаграмма в задаче о движении неоднородного динамически симметричного эллипсоида вращения на гладкой плоскости, страница 2 Теоретическая механика (53140): Курсовая работа - 7 семестрБифуркационная диаграмма в задаче о движении неоднородного динамически симметричного эллипсоида вращения на гладкой плоскости: Теоретическая механика2019-09-18СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Бифуркационная диаграмма в задаче о движении неоднородного динамически симметричного эллипсоида вращения на гладкой плоскости", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теоретическая механика" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 2 страницы из PDF

Òàê êàê ìû ðàññìàòðèâàåì ïðîñòðàíñòâî îðòî êðèòè÷åñêèõ òî÷êàõ ãðàäèåíòûãîíàëüíîå ãðàäèåíòàì èíòåãðàëîâ, òî âûáåðåì â íåì áàçèñ:e1 = (sin t, − cos t, 0, 0, 0, 0),e2 = (0, 0, 0, sin t, − cos t, 0),g−kR33e3 = ( g−kRcost,XX sin t, 0, R3 cos t, R3 sin t, −X)Çíà÷åíèÿ Gλ íà (ei , ej ) çàïèñàííû â âèäå ìàòðèöû:kR3 −g01X  kR3−g kR3−g 20XX00XW 00(R3)Íàéäåì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, ò.ê. ìàòðèöà áëî÷íî äèàãîíàëüíîãî òèïà,00òî λ1 = XW (R3 ), â ñèëó ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ïåðâîé è âòîðîékR3 −g 2ñòðîê ìàòðèöû λ2 = 0, íàêîíåö λ3 = 1 +.XÏîäñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ X èìååì:2pkR3 −gλ1 = 1 − R32W 00(R3), λ2 = 0, λ3 = 1 + √.1−R327Òðåòüå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå âñåãäà ïîëîæèòåëüíî, ðàâåíñòâî âòîðîãîíóëþ ãîâîðèò î âûðîæäåíèè ãåññèàíà ôóíêöèè H|P 3 âäîëü êàñàòåëüíûõ ê êðèòè÷åñêîé îêðóæíîñòè, à çíàê ïåðâîãî ñîáñòâåííîãî ÷èñëà òàêîé æå, êàê è çíàê âòîðîé ïðîèçâîäíîé ïðèâåäåííîãî ïîòåíöèàëà.

Ñëåäîâàòåëüíî, ó H|P 3 êðèòè÷åñêèå îêðóæíîñòè èëè ñåäëîâûå èëè ìèíèìàëüíûå. Ñåäëîâûì ñîîòâåòñòâóþò ëîêàëüíûå ìàêñèìóìû ôóíêöèèW 00(R3), à ìèíèìàêñíûì - ìèíèìóìû, ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ïðè0êàæäîì R3 îïðåäåëÿåìûì óðàâíåíèåì W (R3 ) = 0 ñèñòåìà (7) çàäàåò îäíó êðèòè÷åñêóþ îêðóæíîñòü. ðàáîòå Àíäðåÿ Àëåêñàíäðîâè÷à Îøåìêîâà [14] ðàññìîòðåí ñëó÷àéV 00 ≥ 0, äëÿ íåãî õàðàêòåðíûì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî W 00 > 0 ñëåäîâàòåëüíî ó W ðîâíî îäèí ëîêàëüíûé ìèíèìóì è íå èìååò íè îäíîãî ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà.

Ò.å. ∀k 6= ±g H|P 3 èìååò îäíó ìèíèìàëüíóþêðèòè÷åñêóþ îêðóæíîñòü. Ñëåäîâàòåëüíî íà ïëîñêîñòè îáðàçà îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà ïðÿìûå âèäà k = const ïåðåñåêàþò áèôóðêàöèîííóþäèàãðàììó ðîâíî â îäíîé òî÷êå, ïðîîáðàçîì ýòîé ïðÿìîé ÿâëÿåòñÿ ïî3âåðõíîñòü P .2.4Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììàÁèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà áûëà ïîëó÷åííà Ì.Þ. Èâî÷êèíûì [2]Ñäåëàåì íåáîëüøîå îòñòóïëåíèå äëÿ ïîÿñíåíèÿ âàæíîñòè áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû äëÿ çàäà÷ ìåõàíèêè.Äèàãðàììà íà ðèñ. 1 ñíàáæåíà ñòðåëêàìè ñ óêàçàíèåì òèïà áèôóðêàöèè(àòîìà) íà äóãàõ äèàãðàììû. Ýòà èíôîðìàöèÿ âåñüìà âàæíàÿ.

Êàê èçâåñòíî èç îáùèõ òåîðåì [1] àòîì À ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì, à ñåäëîâîéàòîì  - íåóñòîé÷èâûì. Çíà÷èò, ðàññìîòðåâ èçîýíåðãåòè÷åñêèé óðîâåíüìû ìîæåì òî÷íî îïðåäåëèòü ñêîëüêî áóäåò óñòîé÷èâûõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ è ñêîëüêî íåóñòîé÷èâûõ. Òàêæå ðàññìàòðèâàÿ ýâîëþöèþ áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû (â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû îíà óêàçàíà ñòðåëêàìè)ìû ìîæåì ïðîñëåäèòü, êàê ìåíÿåòñÿ ÷èñëî ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ è èõõàðàêòåð.Íàïðèìåð, åñëè îñü âðàùåíèÿ òåëà ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè è öåíòðìàññ íàõîäèòñÿ íèæå öåíòðà êðèâèçíû, òî òàêîå ïîëîæåíèå äîëæíî áûòüóñòîé÷èâûì. Ñîãëàñíî ñäåëàííûì ïðåäïîëîæåíèÿì ìàëàÿ ïîëóîñü ýëëèïñîèäà èìååò äëèíó 1, à áîëüøàÿ b.

Çíà÷èò, ðàäèóñ êðèâèçíû â òî÷êå12ìàêñèìàëüíî óäàëåííîé îò öåíòðà ρ =b , âûñîòà öåíòðà ìàññ â îïèñûâàåìîì ñëó÷àå b − s, òàêèì îáðàçîì ñëó÷àé b − s < ρ îòâå÷àåò8Ðèñ. 1: Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà äëÿ ñëó÷àÿ s 6= 09s > b−1b= √c. Òà(c+1)êîìó äâèæåíèþ îòâå÷àåò ýâîëþöèÿ 1 → 6, êàê ìîæíî çàìåòèòü íè âîäíîé èç ýòèõ äèàãðàìì íåò ñåäëîâîãî àòîìà B, ò.å. íåò íåóñòîé÷èâûõïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì.óñòîé÷èâîìó ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ, ò.å.Êàê áûëî îòìå÷åíî â êíèãå Áîëñèíîâà, Ôîìåíêî [1] (òîì 2, ñòð.238, òåîðåìà 5.4):Èçîëèðîâàííàÿ îñîáàÿ òî÷êà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû äëÿ ñëó÷àÿãàìèëüòîíèàíà Ëàãðàíæà (â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà îíà èìååòñÿ, ò.å. ïðè4g 2 < 4) îòâå÷àåò åäèíñòâåííîé îñîáåííîñòè òèïà ôîêóñ-ôîêóñ â M1,g,êîîðäèíàòû ýòîé îñîáîé òî÷êè (0, 0, g, 0, 0, 1). ż êðóãîâàÿ ìîëåêóëà10èìååò ìàòðèöó ìîíîäðîìèè 1 1 .

Ïðè ýòîì, åå òèï ñëåäóåò èç íåâûðîæäåííîñòè îñîáåííîñòè. Íà îñîáîì ñëîå îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà ëåæèòðîâíî îäíà êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà. À ò.ê. ó íàñ âñåãî äâå êðèòè÷åñêèå òî÷êè ñîîòâåòñòâóþùèå ±g , íî îíè ëåæàò íà ðàçíûõ óðîâíÿõ èíòåãðàëàK = S3 = ±g . Îäíàêî åñëè g = ±2, òî èçîëèðîâàííàÿ òî÷êà ïîïàäàåò íà ãðàíèöó áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû è ñòàíîâèòñÿ âûðîæäåííîé, à êîãäà |g| > 2 òî÷êà ìåíÿåò ñâîé òèï ñ ôîêóñ-ôîêóñ íàöåíòð-öåíòð.10Ðèñ.

2: Ëàñòî÷êèí õâîñò2.5Òåîðåìà 3.Åñëè öåíòð ìàññ íå ñìåùåí (s = 0), òî â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâåΣk,h,ω çàäàåò ëàñòî÷êèí õâîñò ñ äâóìÿ äîïîëíèòåëüíûìè ïîâåðõíîñòÿìè ïðè −1 < c < 0, è ïîâåðõíîñòü ñ äâóìÿ ëó÷àìè ïðè c > 0:Ðàâåíñòâî íóëþ îïðåäåëèòåëÿ, ñîñòàâëåííîãî èç êîýôôèöèåíòîâ òðåõïðîèçâîäíûõ ïðèâåäåííîãî ïîòåíöèàëà, â ñëó÷àå s 6= 0 âûãëÿäèò òàê:2s(cx2 + 1)2,5 = 0, áåç s ìû äåéñòâèòåëüíî2c2 x4 + 5cx2 + c + 4 + cxèìååì äåëî ñ áèïàðàáîëîé, íî åñëè s 6= 0 êà÷åñòâåííî â äîêàçàòåëüñòâå Èâî÷êèíà íè÷åãî íå ìåíÿåòñÿ. Ïðè c > 0 "âîçìóùåííàÿ áèïàðàáîëà"òàêæå ïîëîæèòåëüíà íà èíòåðâàëå (0;1).

×åòâåðòàÿ ïðîèçâîäíàÿòàêæå îòëè÷íà îò íóëÿ. Ìàòðèöà ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ áóäåò òàêîé æå,ò.ê. â ïðèâåäåííîì ïîòåíöèàëå s íå ÿâëÿåòñÿ ìíîæèòåëåì íè ïðè k íèïðè ω . Ðÿä Ëîðàíà äëÿ ôóíêöèè çàäàþùåé ãðàôèê "âîçìóùåííîé áèïàðàáîëû"â îêðåñòíîñòè íóëÿ âûãëÿäèò òàê:152s234c+x + c + 4 + 5sx + 5cx + 4 csx + o(x )  ñòàòüå Êóäðÿâöåâîéè Ëàêøòàíîâà [4] ðàññìîòðåíû îñîáåííîñòè òèïà An , êîòîðûå òàì íàçûâàþòñÿ êàóñòèêàìè. Ëàñòî÷êèí õâîñò â òåðìèíîëîãèè ýòîé ñòàòüè èìååòòèï A4 .Îïðåäåëåíèå: êàóñòèêîé íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ, ïðè êîòîðûõ F (x, λ̄) èìååò âûðîæäåííóþ (êðàòíóþ) êðèòè÷åñêóþ1Êîììåíòàðèèòî÷êó.

Ò.å.1 Äàäèìê äîêàçàòåëüñòâó2F́ (x, λ̄) = 0 ×òîáû A4 áûëà âåðñàëüíîé äåôîðìàöèåé âáîëåå ïîäðîáíîå äîêàçàòåëüñòâî, ò.ê. â ðàáîòå Èâî÷êèíà îíî áûëî ïðåäëî-æåíî âêðàòöå.2 Ðàçáîðòåîðåìû ïðîâåäåí ïîä ðóêîâîäñòâîì Å.À.Êóäðÿâöåâîé11ñìûñëå ñòàòüè [4] íåîáõîäèìà ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü ñëåäóþùåé ñè2∂(V −h) 3(V −h) 3∂ 3 (V −h) 3}i=1 , { ∂ ∂x∂λ},{i=1∂ 2 x∂λi }i=1 , ãäåiñòåìû: { ∂λiïîòåíöèàë(k−Jωx)22Íàïîìíèì: Vk,ω = 2(1−x2 ) + J 2ωÏîñ÷èòàåì ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå:+√V - ïðèâåäåííûécx2 + 1 + sx222∂(V −h)∂(V −h)−Jkx= J ωx+ J2 , ∂(V∂k−h) = k−Jωx= 1.∂ω1−x21−x2 ,∂h22∂ (V −h)J2kx−Jω ∂ 2 (V −h)2 ∂ (V −h)==(2Jωx−k−kx),22∂x∂ω(1−x )∂x∂k(1−x2 )2 , ∂x∂h333∂ (V −h)2J(ω−2kx) ∂ (V −h)2(k−Jωx) ∂ (V −h)∂ 2 x∂ω = (1−x2 )3 , ∂x2 ∂h = (1−x2 )3 , ∂x2 ∂h = 0.=0Ïîñëå íåêîòîðûõ óïðîùåíèé ìàòðèöà, ñîñòàâëåííàÿ èç ïðàâûõ ÷àñòåéïðèìåò òàêîé âèä:J2k−Jωx J 2 ωx2 −Jkx+121−x21−x2det J(2Jωx − k − kx2 ) 2kx − Jω 0 =J(ω − 2kx)(k − Jωx) 0Jk−Jωx Jωx2 −kx11−x2 + 21−x2= J · det (2Jωx − k − kx2 ) 2kx − Jω 0 =(ω − 2kx)(k − Jωx) 0= −J((Jωkx − k 2 )(1 + x2 ) + Jω 2 (1 − 2Jx2 ) + 2kx(2kx − ω)) 6= 0Òàêèì îáðàçîì, ìû äåéñòâèòåëüíî èìååì îñîáåííîñòü òèïà A4 - "ëàñòî÷êèí õâîñò".

Òàê æå, êàê áûëî çàìå÷åíî, èçìåíåíèå ïàðàìåòðà s íàêà÷åñòâåííûé âèä äîêàçàòåëüñòâà íå âëèÿåò. Ò.å. ìû áóäåì íàáëþäàòü"ëàñòî÷êèí õâîñò"ñî ñìåùåíèåì.123Èíâàðèàíòû Ôîìåíêî äëÿ ñëó÷àÿ ïðîèçâîëüíîãîs ýòîé ÷àñòè ìû ïîñòðîèì ìîëåêóëû (èíâàðèàíòû ãðóáîé ëèóâèëëåâîéýêâèâàëåíòíîñòè) äëÿ äèàãðàìì ïðèâåäåííûõ â ðàáîòå Èâî÷êèíà [2]. Íàðèñóíêàõ 1-6 ïðåäñòàâëåíû âñå òèïû áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì, âîçíèêàþùèõ â äàííîé çàäà÷å, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçíûì ïàðàìåòðàì ýëëèïñîèäà. Íàìè áûëè ðàññìîòðåíû èçîýíåðãåòè÷åñêèå ìîëåêóëû, îíèïðåäñòàâëåíû ïîä áèôóðêàöèîííûìè äèàãðàììàìè.

Ïóíêòèðîì îòìå÷åíû ðàçäåëÿþùèå çíà÷åíèÿ ýíåðãèè, òî åñòü îáëàñòè ìåæäó ñîñåäíèìèïóíêòèðíûìè ëèíèÿìè ñîîòâåòñòâóþò ðåãóëÿðíûì çíà÷åíèÿì ýíåðãèè.13Ðèñ. 3: Ìîëåêóëû.1444.1Èíâàðèàíòû Ôîìåíêî-ÖèøàíãàÈíâàðèàíòû äëÿ ñëó÷àÿs=0 ýòîì ðàçäåëå ìû ïîñòðîèì ïîëíûé èíâàðèàíò Ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè ìå÷åíóþ ìîëåêóëó Ôîìåíêî-Öèøàíãà. Îïðåäåëåíèå ìåòîê îïèñàíî â êíèãå "Èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû"[1].Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìåòîê áóäåò èñïîëüçîâàí ìåòîä êðóãîâûõ ìîëåêóë, îïèñàíèå åãî ìîæíî íàéòè â ðàáîòàõ [1, 5]. Ïîñëå òîãî, êàê ìåòêè äëÿ êðóãîâûõ ìîëåêóë áóäóò íàéäåíû áóäåò ïðîèçâåäåíà ñêëåéêà.

Òàê êàê ïðèc > 0, k 2 > √4c , à òàêæå ïðè −1 < c < 0 äëÿ ñëó÷àÿ íåñìåùåííîãîc+1öåíòðà ìàññ òî÷êè γ3 = ±1 èìåþò îñîáåííîñòü òèïà öåíòð-öåíòð, òî,ñîãëàñíî òåîðåìå 9.1 êíèãè [1], êðóãîâàÿ ìîëåêóëà èìååò ìåòêó r = 0.Òàêèì îáðàçîì, íà äèàãðàììàõ, ãäå ïðèñóòñòâóåò ëèøü îäíà îñîáàÿ òî÷êà òèïà öåíòð-öåíòð, èçîýíåðãåòè÷åñêèå ìîëåêóëû òèïà A − A èìåþòr-ìåòêó ðàâíóþ íóëþ. Òî åñòü, ïî ïðåäëîæåíèþ 4.3 èç [1], 3-ìíîãîîáðàçèåñ òîïîëîãè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ÿâëÿåòñÿ òðåõìåðíîé ñôåðîé S 3 .Êàê ñëåäóåò èç òåîðåìû 5 ðàáîòû Èâî÷êèíà ñâÿçíûå êîìïîíåíòû èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé ìîãóò áûòü òîëüêî âèäà: S 3 , RP 3 , S 1 × S 2 ,òàêæå â òàì ïðèâåäåíû áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû íà ïëîñêîñòè (h, k)äëÿ ñëó÷àÿ −1 < c < 0, J > 1 îíà ïðåäñòàâëåíà íà ðèñóíêå 4 ñïðàâà.

Çíà÷èò, äèàãðàìì íà ïëîñêîñòè (h, ω) èìååò ìåñòî ïåðåõîä îò S 3 êRP 3 .Ðèñ. 4: ñëó÷àé -1<ñ<0Çíàÿ ýòî, èç ïðåäëîæåíèÿ 4.3 êíèãè [1] çàêëþ÷àåì, ÷òî ìåòêè r = 0, ε =±1 è r = 12 , ε = ±1.Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ äëÿ ñëó÷àÿ c > 0, 0 < J < 1 ïðèâîäÿò15íàñ ê ñëåäóþùèì âûâîäàì. Ðàññìîòðèì áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû íàðèñóíêå 5, ïðè äâèæåíèè ïî âîçðàñòàíèþ çíà÷åíèÿ èíòåãðàëà ýíåðãèè,èìååò ìåñòî ïåðåõîä îò S 1 × S 2 ê RP 3 .

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее