Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Бифуркационная диаграмма в задаче о движении неоднородного динамически симметричного эллипсоида вращения на гладкой плоскости

Бифуркационная диаграмма в задаче о движении неоднородного динамически симметричного эллипсоида вращения на гладкой плоскости, страница 2

Описание файла

PDF-файл из архива "Бифуркационная диаграмма в задаче о движении неоднородного динамически симметричного эллипсоида вращения на гладкой плоскости", который расположен в категории "курсовые/домашние работы". Всё это находится в предмете "теоретическая механика" из седьмого семестра, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 2 страницы из PDF

Òàê êàê ìû ðàññìàòðèâàåì ïðîñòðàíñòâî îðòî êðèòè÷åñêèõ òî÷êàõ ãðàäèåíòûãîíàëüíîå ãðàäèåíòàì èíòåãðàëîâ, òî âûáåðåì â íåì áàçèñ:e1 = (sin t, − cos t, 0, 0, 0, 0),e2 = (0, 0, 0, sin t, − cos t, 0),g−kR33e3 = ( g−kRcost,XX sin t, 0, R3 cos t, R3 sin t, −X)Çíà÷åíèÿ Gλ íà (ei , ej ) çàïèñàííû â âèäå ìàòðèöû:kR3 −g01X  kR3−g kR3−g 20XX00XW 00(R3)Íàéäåì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, ò.ê. ìàòðèöà áëî÷íî äèàãîíàëüíîãî òèïà,00òî λ1 = XW (R3 ), â ñèëó ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ïåðâîé è âòîðîékR3 −g 2ñòðîê ìàòðèöû λ2 = 0, íàêîíåö λ3 = 1 +.XÏîäñòàâèì âûðàæåíèå äëÿ X èìååì:2pkR3 −gλ1 = 1 − R32W 00(R3), λ2 = 0, λ3 = 1 + √.1−R327Òðåòüå ñîáñòâåííîå çíà÷åíèå âñåãäà ïîëîæèòåëüíî, ðàâåíñòâî âòîðîãîíóëþ ãîâîðèò î âûðîæäåíèè ãåññèàíà ôóíêöèè H|P 3 âäîëü êàñàòåëüíûõ ê êðèòè÷åñêîé îêðóæíîñòè, à çíàê ïåðâîãî ñîáñòâåííîãî ÷èñëà òàêîé æå, êàê è çíàê âòîðîé ïðîèçâîäíîé ïðèâåäåííîãî ïîòåíöèàëà.

Ñëåäîâàòåëüíî, ó H|P 3 êðèòè÷åñêèå îêðóæíîñòè èëè ñåäëîâûå èëè ìèíèìàëüíûå. Ñåäëîâûì ñîîòâåòñòâóþò ëîêàëüíûå ìàêñèìóìû ôóíêöèèW 00(R3), à ìèíèìàêñíûì - ìèíèìóìû, ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ïðè0êàæäîì R3 îïðåäåëÿåìûì óðàâíåíèåì W (R3 ) = 0 ñèñòåìà (7) çàäàåò îäíó êðèòè÷åñêóþ îêðóæíîñòü. ðàáîòå Àíäðåÿ Àëåêñàíäðîâè÷à Îøåìêîâà [14] ðàññìîòðåí ñëó÷àéV 00 ≥ 0, äëÿ íåãî õàðàêòåðíûì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî W 00 > 0 ñëåäîâàòåëüíî ó W ðîâíî îäèí ëîêàëüíûé ìèíèìóì è íå èìååò íè îäíîãî ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà.

Ò.å. ∀k 6= ±g H|P 3 èìååò îäíó ìèíèìàëüíóþêðèòè÷åñêóþ îêðóæíîñòü. Ñëåäîâàòåëüíî íà ïëîñêîñòè îáðàçà îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà ïðÿìûå âèäà k = const ïåðåñåêàþò áèôóðêàöèîííóþäèàãðàììó ðîâíî â îäíîé òî÷êå, ïðîîáðàçîì ýòîé ïðÿìîé ÿâëÿåòñÿ ïî3âåðõíîñòü P .2.4Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììàÁèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà áûëà ïîëó÷åííà Ì.Þ. Èâî÷êèíûì [2]Ñäåëàåì íåáîëüøîå îòñòóïëåíèå äëÿ ïîÿñíåíèÿ âàæíîñòè áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû äëÿ çàäà÷ ìåõàíèêè.Äèàãðàììà íà ðèñ. 1 ñíàáæåíà ñòðåëêàìè ñ óêàçàíèåì òèïà áèôóðêàöèè(àòîìà) íà äóãàõ äèàãðàììû. Ýòà èíôîðìàöèÿ âåñüìà âàæíàÿ.

Êàê èçâåñòíî èç îáùèõ òåîðåì [1] àòîì À ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷èâûì, à ñåäëîâîéàòîì  - íåóñòîé÷èâûì. Çíà÷èò, ðàññìîòðåâ èçîýíåðãåòè÷åñêèé óðîâåíüìû ìîæåì òî÷íî îïðåäåëèòü ñêîëüêî áóäåò óñòîé÷èâûõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ è ñêîëüêî íåóñòîé÷èâûõ. Òàêæå ðàññìàòðèâàÿ ýâîëþöèþ áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû (â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû îíà óêàçàíà ñòðåëêàìè)ìû ìîæåì ïðîñëåäèòü, êàê ìåíÿåòñÿ ÷èñëî ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ è èõõàðàêòåð.Íàïðèìåð, åñëè îñü âðàùåíèÿ òåëà ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè è öåíòðìàññ íàõîäèòñÿ íèæå öåíòðà êðèâèçíû, òî òàêîå ïîëîæåíèå äîëæíî áûòüóñòîé÷èâûì. Ñîãëàñíî ñäåëàííûì ïðåäïîëîæåíèÿì ìàëàÿ ïîëóîñü ýëëèïñîèäà èìååò äëèíó 1, à áîëüøàÿ b.

Çíà÷èò, ðàäèóñ êðèâèçíû â òî÷êå12ìàêñèìàëüíî óäàëåííîé îò öåíòðà ρ =b , âûñîòà öåíòðà ìàññ â îïèñûâàåìîì ñëó÷àå b − s, òàêèì îáðàçîì ñëó÷àé b − s < ρ îòâå÷àåò8Ðèñ. 1: Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà äëÿ ñëó÷àÿ s 6= 09s > b−1b= √c. Òà(c+1)êîìó äâèæåíèþ îòâå÷àåò ýâîëþöèÿ 1 → 6, êàê ìîæíî çàìåòèòü íè âîäíîé èç ýòèõ äèàãðàìì íåò ñåäëîâîãî àòîìà B, ò.å. íåò íåóñòîé÷èâûõïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì.óñòîé÷èâîìó ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ, ò.å.Êàê áûëî îòìå÷åíî â êíèãå Áîëñèíîâà, Ôîìåíêî [1] (òîì 2, ñòð.238, òåîðåìà 5.4):Èçîëèðîâàííàÿ îñîáàÿ òî÷êà áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû äëÿ ñëó÷àÿãàìèëüòîíèàíà Ëàãðàíæà (â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà îíà èìååòñÿ, ò.å. ïðè4g 2 < 4) îòâå÷àåò åäèíñòâåííîé îñîáåííîñòè òèïà ôîêóñ-ôîêóñ â M1,g,êîîðäèíàòû ýòîé îñîáîé òî÷êè (0, 0, g, 0, 0, 1). ż êðóãîâàÿ ìîëåêóëà10èìååò ìàòðèöó ìîíîäðîìèè 1 1 .

Ïðè ýòîì, åå òèï ñëåäóåò èç íåâûðîæäåííîñòè îñîáåííîñòè. Íà îñîáîì ñëîå îòîáðàæåíèÿ ìîìåíòà ëåæèòðîâíî îäíà êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà. À ò.ê. ó íàñ âñåãî äâå êðèòè÷åñêèå òî÷êè ñîîòâåòñòâóþùèå ±g , íî îíè ëåæàò íà ðàçíûõ óðîâíÿõ èíòåãðàëàK = S3 = ±g . Îäíàêî åñëè g = ±2, òî èçîëèðîâàííàÿ òî÷êà ïîïàäàåò íà ãðàíèöó áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû è ñòàíîâèòñÿ âûðîæäåííîé, à êîãäà |g| > 2 òî÷êà ìåíÿåò ñâîé òèï ñ ôîêóñ-ôîêóñ íàöåíòð-öåíòð.10Ðèñ.

2: Ëàñòî÷êèí õâîñò2.5Òåîðåìà 3.Åñëè öåíòð ìàññ íå ñìåùåí (s = 0), òî â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâåΣk,h,ω çàäàåò ëàñòî÷êèí õâîñò ñ äâóìÿ äîïîëíèòåëüíûìè ïîâåðõíîñòÿìè ïðè −1 < c < 0, è ïîâåðõíîñòü ñ äâóìÿ ëó÷àìè ïðè c > 0:Ðàâåíñòâî íóëþ îïðåäåëèòåëÿ, ñîñòàâëåííîãî èç êîýôôèöèåíòîâ òðåõïðîèçâîäíûõ ïðèâåäåííîãî ïîòåíöèàëà, â ñëó÷àå s 6= 0 âûãëÿäèò òàê:2s(cx2 + 1)2,5 = 0, áåç s ìû äåéñòâèòåëüíî2c2 x4 + 5cx2 + c + 4 + cxèìååì äåëî ñ áèïàðàáîëîé, íî åñëè s 6= 0 êà÷åñòâåííî â äîêàçàòåëüñòâå Èâî÷êèíà íè÷åãî íå ìåíÿåòñÿ. Ïðè c > 0 "âîçìóùåííàÿ áèïàðàáîëà"òàêæå ïîëîæèòåëüíà íà èíòåðâàëå (0;1).

×åòâåðòàÿ ïðîèçâîäíàÿòàêæå îòëè÷íà îò íóëÿ. Ìàòðèöà ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ áóäåò òàêîé æå,ò.ê. â ïðèâåäåííîì ïîòåíöèàëå s íå ÿâëÿåòñÿ ìíîæèòåëåì íè ïðè k íèïðè ω . Ðÿä Ëîðàíà äëÿ ôóíêöèè çàäàþùåé ãðàôèê "âîçìóùåííîé áèïàðàáîëû"â îêðåñòíîñòè íóëÿ âûãëÿäèò òàê:152s234c+x + c + 4 + 5sx + 5cx + 4 csx + o(x )  ñòàòüå Êóäðÿâöåâîéè Ëàêøòàíîâà [4] ðàññìîòðåíû îñîáåííîñòè òèïà An , êîòîðûå òàì íàçûâàþòñÿ êàóñòèêàìè. Ëàñòî÷êèí õâîñò â òåðìèíîëîãèè ýòîé ñòàòüè èìååòòèï A4 .Îïðåäåëåíèå: êàóñòèêîé íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ, ïðè êîòîðûõ F (x, λ̄) èìååò âûðîæäåííóþ (êðàòíóþ) êðèòè÷åñêóþ1Êîììåíòàðèèòî÷êó.

Ò.å.1 Äàäèìê äîêàçàòåëüñòâó2F́ (x, λ̄) = 0 ×òîáû A4 áûëà âåðñàëüíîé äåôîðìàöèåé âáîëåå ïîäðîáíîå äîêàçàòåëüñòâî, ò.ê. â ðàáîòå Èâî÷êèíà îíî áûëî ïðåäëî-æåíî âêðàòöå.2 Ðàçáîðòåîðåìû ïðîâåäåí ïîä ðóêîâîäñòâîì Å.À.Êóäðÿâöåâîé11ñìûñëå ñòàòüè [4] íåîáõîäèìà ëèíåéíàÿ íåçàâèñèìîñòü ñëåäóþùåé ñè2∂(V −h) 3(V −h) 3∂ 3 (V −h) 3}i=1 , { ∂ ∂x∂λ},{i=1∂ 2 x∂λi }i=1 , ãäåiñòåìû: { ∂λiïîòåíöèàë(k−Jωx)22Íàïîìíèì: Vk,ω = 2(1−x2 ) + J 2ωÏîñ÷èòàåì ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå:+√V - ïðèâåäåííûécx2 + 1 + sx222∂(V −h)∂(V −h)−Jkx= J ωx+ J2 , ∂(V∂k−h) = k−Jωx= 1.∂ω1−x21−x2 ,∂h22∂ (V −h)J2kx−Jω ∂ 2 (V −h)2 ∂ (V −h)==(2Jωx−k−kx),22∂x∂ω(1−x )∂x∂k(1−x2 )2 , ∂x∂h333∂ (V −h)2J(ω−2kx) ∂ (V −h)2(k−Jωx) ∂ (V −h)∂ 2 x∂ω = (1−x2 )3 , ∂x2 ∂h = (1−x2 )3 , ∂x2 ∂h = 0.=0Ïîñëå íåêîòîðûõ óïðîùåíèé ìàòðèöà, ñîñòàâëåííàÿ èç ïðàâûõ ÷àñòåéïðèìåò òàêîé âèä:J2k−Jωx J 2 ωx2 −Jkx+121−x21−x2det J(2Jωx − k − kx2 ) 2kx − Jω 0 =J(ω − 2kx)(k − Jωx) 0Jk−Jωx Jωx2 −kx11−x2 + 21−x2= J · det (2Jωx − k − kx2 ) 2kx − Jω 0 =(ω − 2kx)(k − Jωx) 0= −J((Jωkx − k 2 )(1 + x2 ) + Jω 2 (1 − 2Jx2 ) + 2kx(2kx − ω)) 6= 0Òàêèì îáðàçîì, ìû äåéñòâèòåëüíî èìååì îñîáåííîñòü òèïà A4 - "ëàñòî÷êèí õâîñò".

Òàê æå, êàê áûëî çàìå÷åíî, èçìåíåíèå ïàðàìåòðà s íàêà÷åñòâåííûé âèä äîêàçàòåëüñòâà íå âëèÿåò. Ò.å. ìû áóäåì íàáëþäàòü"ëàñòî÷êèí õâîñò"ñî ñìåùåíèåì.123Èíâàðèàíòû Ôîìåíêî äëÿ ñëó÷àÿ ïðîèçâîëüíîãîs ýòîé ÷àñòè ìû ïîñòðîèì ìîëåêóëû (èíâàðèàíòû ãðóáîé ëèóâèëëåâîéýêâèâàëåíòíîñòè) äëÿ äèàãðàìì ïðèâåäåííûõ â ðàáîòå Èâî÷êèíà [2]. Íàðèñóíêàõ 1-6 ïðåäñòàâëåíû âñå òèïû áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì, âîçíèêàþùèõ â äàííîé çàäà÷å, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçíûì ïàðàìåòðàì ýëëèïñîèäà. Íàìè áûëè ðàññìîòðåíû èçîýíåðãåòè÷åñêèå ìîëåêóëû, îíèïðåäñòàâëåíû ïîä áèôóðêàöèîííûìè äèàãðàììàìè.

Ïóíêòèðîì îòìå÷åíû ðàçäåëÿþùèå çíà÷åíèÿ ýíåðãèè, òî åñòü îáëàñòè ìåæäó ñîñåäíèìèïóíêòèðíûìè ëèíèÿìè ñîîòâåòñòâóþò ðåãóëÿðíûì çíà÷åíèÿì ýíåðãèè.13Ðèñ. 3: Ìîëåêóëû.1444.1Èíâàðèàíòû Ôîìåíêî-ÖèøàíãàÈíâàðèàíòû äëÿ ñëó÷àÿs=0 ýòîì ðàçäåëå ìû ïîñòðîèì ïîëíûé èíâàðèàíò Ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè ìå÷åíóþ ìîëåêóëó Ôîìåíêî-Öèøàíãà. Îïðåäåëåíèå ìåòîê îïèñàíî â êíèãå "Èíòåãðèðóåìûå ãàìèëüòîíîâû ñèñòåìû"[1].Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìåòîê áóäåò èñïîëüçîâàí ìåòîä êðóãîâûõ ìîëåêóë, îïèñàíèå åãî ìîæíî íàéòè â ðàáîòàõ [1, 5]. Ïîñëå òîãî, êàê ìåòêè äëÿ êðóãîâûõ ìîëåêóë áóäóò íàéäåíû áóäåò ïðîèçâåäåíà ñêëåéêà.

Òàê êàê ïðèc > 0, k 2 > √4c , à òàêæå ïðè −1 < c < 0 äëÿ ñëó÷àÿ íåñìåùåííîãîc+1öåíòðà ìàññ òî÷êè γ3 = ±1 èìåþò îñîáåííîñòü òèïà öåíòð-öåíòð, òî,ñîãëàñíî òåîðåìå 9.1 êíèãè [1], êðóãîâàÿ ìîëåêóëà èìååò ìåòêó r = 0.Òàêèì îáðàçîì, íà äèàãðàììàõ, ãäå ïðèñóòñòâóåò ëèøü îäíà îñîáàÿ òî÷êà òèïà öåíòð-öåíòð, èçîýíåðãåòè÷åñêèå ìîëåêóëû òèïà A − A èìåþòr-ìåòêó ðàâíóþ íóëþ. Òî åñòü, ïî ïðåäëîæåíèþ 4.3 èç [1], 3-ìíîãîîáðàçèåñ òîïîëîãè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ÿâëÿåòñÿ òðåõìåðíîé ñôåðîé S 3 .Êàê ñëåäóåò èç òåîðåìû 5 ðàáîòû Èâî÷êèíà ñâÿçíûå êîìïîíåíòû èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé ìîãóò áûòü òîëüêî âèäà: S 3 , RP 3 , S 1 × S 2 ,òàêæå â òàì ïðèâåäåíû áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû íà ïëîñêîñòè (h, k)äëÿ ñëó÷àÿ −1 < c < 0, J > 1 îíà ïðåäñòàâëåíà íà ðèñóíêå 4 ñïðàâà.

Çíà÷èò, äèàãðàìì íà ïëîñêîñòè (h, ω) èìååò ìåñòî ïåðåõîä îò S 3 êRP 3 .Ðèñ. 4: ñëó÷àé -1<ñ<0Çíàÿ ýòî, èç ïðåäëîæåíèÿ 4.3 êíèãè [1] çàêëþ÷àåì, ÷òî ìåòêè r = 0, ε =±1 è r = 12 , ε = ±1.Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ äëÿ ñëó÷àÿ c > 0, 0 < J < 1 ïðèâîäÿò15íàñ ê ñëåäóþùèì âûâîäàì. Ðàññìîòðèì áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû íàðèñóíêå 5, ïðè äâèæåíèè ïî âîçðàñòàíèþ çíà÷åíèÿ èíòåãðàëà ýíåðãèè,èìååò ìåñòî ïåðåõîä îò S 1 × S 2 ê RP 3 .

Свежие статьи
Популярно сейчас