Бифуркационная диаграмма в задаче о движении неоднородного динамически симметричного эллипсоида вращения на гладкой плоскости

Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåòèìåíè Ì. Â. ËîìîíîñîâàÌåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåòÊàôåäðà Äèôôåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè è ïðèëîæåíèéÊàôåäðà Òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè è ìåõàòðîíèêèÑå÷êèí Ãåîðãèé Ìèõàéëîâè÷Êóðñîâàÿ ðàáîòà íà òåìó:Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììàâ çàäà÷å î äâèæåíèè íåîäíîðîäíîãîäèíàìè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî ýëëèïñîèäà âðàùåíèÿíà ãëàäêîé ïëîñêîñòè.Íàó÷íûå ðóêîâîäèòåëè:ä. ô. - ì. í., ïðîôåññîðÊàðàïåòÿí Àëåêñàíäð Âëàäèëåíîâè÷àêàäåìèê ÐÀÍ, ïðîôåññîðÔîìåíêî Àíàòîëèé Òèìîôååâè÷Ñîäåðæàíèå1Ââåäåíèå1.1 Èñòîðèÿ âîïðîñà . .

. . . . . . . . . .1.2 Ïîñòàíîâêà çàäà÷è . . . . . . . . . . .1.3 Ñîäåðæàíèå ðàáîòû . . . . . . . . . .2Òîïîëîãè÷åñêèé àíàëèç32.1 Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . .32.2 Ñèñòåìû óðàâíåíèé è ïåðâûå èíòåãðàëû 32.3 Ïîñòðîåíèå áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû 52.4 Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà . . . . . .82.5 Òåîðåìà 3. . .

. . . . . . . . . . . . . .113Èíâàðèàíòû Ôîìåíêî äëÿ ñëó÷àÿ ïðîèçâîëüíîãî s134Èíâàðèàíòû Ôîìåíêî-Öèøàíãà4.1 Èíâàðèàíòû äëÿ ñëó÷àÿ s = 0 . . . . .4.2 Èíâàðèàíòû äëÿ ñëó÷àÿ ïðîèçâîëüíîãî s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15155Èçâåñòíûå ñëó÷àè ýêâèâàëåíòíîñòè236Âûâîäû257Ïðîãðàììà äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé2512222181Ââåäåíèå1.1Èñòîðèÿ âîïðîñàÇàäà÷à î äâèæåíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîéïëîñêîñòè - ýòî îäíà èç êëàññè÷åñêèõ çàäà÷ ìåõàíèêè. Îíà â îïðåäåëåííîì ñìûñëå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáîáùåíèå çàäà÷è î äâèæåíèè òÿæåëîãîòâåðäîãî òåëà ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé. Åñòåñòâåííûì îáðàçîì âîçíèêàåòâîïðîñ îá èññëåäîâàíèè âîçìîæíûõ èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àåâ. Èçâåñòíî,÷òî â ýòîé çàäà÷å ñóùåñòâóþò àíàëîãè ñëó÷àåâ Ýéëåðà è Ëàãðàíæà.Íà ñåãîäíÿøíèé äåíü èçâåñòíî ìíîãî ñëó÷àåâ èíòåãðèðóåìîñòè: Êîâàëåâñêàÿ-ßõüÿ, ñëó÷àé Êîâàëåâñêîé â äâîéíîì ïîëå ñèë è äðóãèå. Ðàçðàáîòàí áîãàòûé àïïàðàò èññëåäîâàíèÿ ãåîìåòðèè è òîïîëîãèè òàêèõ ñèñòåì, ñîçäàíà òåîðèÿ òîïîëîãè÷åñêîé êëàññèôèêàöèè ñëó÷àåâ èíòåãðèðóåìîñòè ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.Íà îñíîâå ýòîé òåîðèè óäàëîñü îáíàðóæèòü ïàðû ñèñòåì, ñ÷èòàâøèåñÿäî ýòîãî ðàçëè÷íûìè, îäíàêî, îêàçàâøèìèñÿ òîïîëîãè÷åñêè (ëèóâèëëåâî) ýêâèâàëåíòíûìè.

Ñðåäè ðàáîò, èñïîëüçóþùèõ òåîðèþ êëàññèôèêàöèè èíòåãðèðóåìûõ ñèñòåì, íàõîäèòñÿ ðàáîòà Èâî÷êèíà [2].1.2Ïîñòàíîâêà çàäà÷è äàííîé ðàáîòå ìû ðàññìîòðèì ýëëèïñîèä âðàùåíèÿ, äâèæóùèéñÿ ïîãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè, ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè. Ðàñïðåäåëåíèå ìàññ òàêîâî, ÷òî òåëî îáëàäàåò îñüþ äèíàìè÷åñêîé ñèììåòðèè, êîòîðàÿ ñîâïàäàåò ñ îñüþ ãåîìåòðè÷åñêîé ñèììåòðèè, ïðè÷åì öåíòðìàññ ëåæèò íà ýòîé îñè (àíàëîã âîë÷êà Ëàãðàíæà) íà ðàññòîÿíèè s îòöåíòðà òåëà.1.3Ñîäåðæàíèå ðàáîòû òåêñòå ïðåäñòàâëåí ðàçáîð è âîññòàíîâëåíèå íåêîòîðûõ äîêàçàòåëüñòâäèññåðòàöèîííîé ðàáîòû Ì.Þ Èâî÷êèíà [2], à òàêæå èõ îáîáùåíèå íàñëó÷àé ïðîèçâîëüíîãî ïàðàìåòðà s.Ïî áèôóðêàöèîííûì äèàãðàììàì, ïîëó÷åííûì â ðàáîòå [2], ïîñòðîåíûìîëåêóëû, òî åñòü èíâàðèàíò ãðóáîé ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè ñì.Áîëñèíîâ, Ôîìåíêî [1]. ðàçáèðàåìîé ðàáîòå âîïðîñ îá îïðåäåëåíèè ëèóâèëëåëà òèïà ýòîãî ñåìåéñòâà ñèñòåì (s=0 è äëÿ ïðîèçâîëüíîãî s) ðåøåí íå áûë.  íàñòîÿùåìèññëåäîâàíèè ìû âû÷èñëÿåì èíâàðèàíò Ôîìåíêî-Öèøàíãà (ìå÷åíàÿ ìîëåêóëà) äëÿ s=0.222.1Òîïîëîãè÷åñêèé àíàëèçÂâåäåíèå ýòîé ÷àñòè ìû ðàññìîòðèì çàäà÷ó î äâèæåíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëàâðàùåíèÿ, äâèæóùåãîñÿ ïî ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè, ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè.

Èìåþòñÿ ðàçëè÷íûå àíàëîãèè ìåæäó ýòîé çàäà÷åéè çàäà÷åé î äâèæåíèè òâåðäîãî òåëà ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé.  ÷àñòíîñòè, â îáåèõ çàäà÷àõ ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ îáëàäàþò òðåìÿ íå çàâèñèìûìè èíòåãðàëàìè, è, òàêèìîáðàçîì, äëÿ èíòåãðèðóåìîñòè óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òðåáóåòñÿ åùå îäèííåçàâèñèìûé èíòåãðàë, íàëè÷èå êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèÿìè íà ïàðàìåòðû ñèñòåìû.Îäíàêî, â îòëè÷èå îò çàäà÷è î òåëå ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé, ãäå ãåîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà òåëà íåñóùåñòâåííà, â çàäà÷å î äâèæåíèè òåëà ïî ïëîñêîñòè íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü âèä ïîâåðõíîñòè òåëà. Îáû÷íî íà ôîðìóïîâåðõíîñòè íàêëàäûâàåòñÿ óñëîâèå âûïóêëîñòè è óñëîâèå, ÷òî êàñàíèåïîâåðõíîñòè ñ ïëîñêîñòüþ ïðîèñõîäèò â îäíîé òî÷êå.Íà äàííûé ìîìåíò, â çàäà÷àõ î äâèæåíèè òåë ïî ãëàäêîé ïëîñêîñòè ñóùåñòâîâàíèå äîïîëíèòåëüíîãî èíòåãðàëà äîêàçàíî äëÿ äâóõ ñëó÷àåâ:1) êîãäà òåëî ÿâëÿåòñÿ íåîäíîðîäíûì øàðîì, öåíòð ìàññ êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ ãåîìåòðè÷åñêèì öåíòðîì, à ìîìåíòû èíåðöèè ïðîèçâîëüíû,2) äëÿ äèíàìè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî òåëà âðàùåíèÿ [6]. ïåðâîì ñëó÷àå çàäà÷à àíàëîãè÷íà çàäà÷å î âîë÷êå Ýéëåðà.

 äàííîéðàáîòå ðàññìàòðèâàåòñÿ âòîðîé ñëó÷àé: â êà÷åñòâå ïîâåðõíîñòè áåðåòñÿ äèíàìè÷åñêè ñèììåòðè÷íûé ýëëèïñîèä âðàùåíèÿ, ïðè ýòîì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, ôàêòè÷åñêè, ñõîäíû ñ óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ äëÿ âîë÷êàËàãðàíæà.Ñëåäóÿ îðèãèíàëüíîé ðàáîòå Èâî÷êèíà, ìû âñå æå ñäåëàåì ðÿä çàìåí âñèñòåìå óðàâíåíèé, îïèñûâàþùåé äâèæåíèå òåëà, êîòîðûå íà íàø âçãëÿäïîçâîëÿò óïðîñòèòü äàëüíåéøèé àíàëèç. Ýêâèâàëåíòíîñòü çàìåí áóäåòäîêàçàíà.Òàêæå â ýòîé ÷àñòè ìû äàäèì íåêîòîðûå êîììåíòàðèè, êîòîðûå, ïî ìíåíèþ àâòîðà, äîïîëíÿþò äîêàçàòåëüñòâà èç âòîðîé ãëàâû ðàáîòû [2].2.2Ñèñòåìû óðàâíåíèé è ïåðâûå èíòåãðàëûÑâîáîäíîå òâåðäîå òåëî èìååò øåñòü ñòåïåíåé ñâîáîäû: òðåìÿ êîîðäèíàòàìè çàäàåòñÿ ïîëîæåíèå íåêîòîðîé åãî òî÷êè, íàïðèìåð öåíòðà ìàññ,â íåïîäâèæíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò è åùå òðè íåîáõîäèìû äëÿ îïðåäåëåíèÿ îðèåíòàöèè ãëàâíûõ îñåé.

Ïîäðîáíåå ïðî ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû3ñì. [7, 8] ðàññìàòðèâàåìîì íàìè ñëó÷àå èìååòñÿ îäíà ãîëîíîìíàÿ ñâÿçü: âûñîòà öåíòðà ìàññ íàä ïëîñêîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ îðèåíòàöèåé öåíòðàëüíûõ ãëàâíûõ îñåé. Òàêèì îáðàçîì, ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû ïîíèæàåòñÿäî ïÿòè.Ðàññìîòðèì íåïîäâèæíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò Oxyz , ñâÿçàííóþ ñ ãëàäêîé ïëîñêîñòüþ, è Se1 e2 e3 - ãëàâíûå öåíòðàëüíûå îñè.

Ââåäåì íåêîòîðûåîáîçíà÷åíèÿ:v̄ = (vx, vy , vz ) - ñêîðîñòü öåíòðà ìàññ â ñèñòåìå Oxyz ,ω̄ = (ω1, ω2, ω3) - âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè â îñÿõ Se1e2e3 ,γ̄ = (γx, γy , γz ) - åäèíè÷íûé âåêòîð âîñõîäÿùåé íîðìàëè â Se1e2e3 ,(b1, b1, b3) - ãëàâíûå ïîëóîñè ýëëèïñîèäà, m - ìàññà òåëà,A = diag(A1, A1, A3) - äèàãîíàëüíûé òåíçîð èíåðöèè, r̄(γ̄) ðàäèóñ-âåêòîð èç öåíòðà ìàññ â òî÷êó êàñàíèÿ ñ ïëîñêîñòüþ, N̄ = N γ̄ .Èç âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà ñëåäóåò mv̄˙ = N̄ − mgγ̄ . Ñïðîåöèðóåì ýòî óðàâíåíèå íà îñè Ox è Oy , ïîëó÷èì v˙x = v˙y = 0,çíà÷èò, ñóùåñòâóåò èíåðöèàëüíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì â öåíòðåìàññ, äâèæóùàÿñÿ âäîëü Oxy .

À ïðîåêöèÿ íà Oz äàåò íàì vz = żè mv̇ = N − mg ⇒ N = m(v̇ + g), ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèåN â çàêîí ñîõðàíåíèÿ êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà îòíîñèòåëüíî òî÷êè S èó÷èòûâàÿ ïîñòîÿíñòâî åäèíè÷íîãî îðòà γ , èìååì:Aω̄˙ + [ω̄; Aω̄] = [r̄; m(v˙z + g)γ̄],γ̄˙ + [ω̄; γ̄] = 0(1)Ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ, íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè Ýéëåðà-Ïóàññîíà.Ñèñòåìà, çàïèñàííàÿ â êîîðäèíàòàõ (ω̄; γ̄), îáëàäàåò ðÿäîì ïåðâûõ èíòåãðàëîâ:21) Γ = γ - ãåîìåòðè÷åñêèé èíòåãðàë, âûðàæàåò ïîñòîÿíñòâî ñóììûêâàäðàòîâ ïðîåêöèé åäèíè÷íîãî âåêòîðà.2) G = (Aω̄, γ̄) - "èíòåãðàë ïëîùàäåé ïðîåêöèÿ êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà íà âåðòèêàëüíóþ îñü ñâÿçàíà ñ èíâàðèàíòíîñòüþ âðàùåíèé òåëàîòíîñèòåëüíî âåðòèêàëè.13) E = (Aω̄; ω̄) + U - èíòåãðàë ýíåðãèè, ãäå U - ïîòåíöèàë.24HÇàïèøåì óðàâíåíèå â ôîðìå Ýéëåðà èñïîëüçóÿ f˙ = {f ; H}, ãäå∗- ãàìèëüòîíèàí íà e(3) .

Òîãäà â ñèñòåìå êîîðäèíàò (S, R) èìååìṠi = {Si, H}, Ṙi = {Ri, H}∂H∂H ∂H ∂H ∂H∂H ∂H ∂H=(,,),=(,,)∂S∂S1 ∂S2 ∂S3 ∂R∂R1 ∂R2 ∂R3(2)(3)Òîãäà èç (1) ñëåäóþò óðàâíåíèÿ Êèðõãîôà:∂HṠ = [ ∂H∂S ; S] + [ ∂R ; R],Ṙ = [ ∂H∂S ; R]Çàìåòèì, ÷òî îòîáðàæåíèå ϕôîðìóëàìèn(4): R6(ω, γ) → R6(S, R) çàäàíîåSi = −Aiωi,Ri = γi(5)óñòàíàâëèâàåò èçîìîðôèçì (1) è (4) ñ ãàìèëüòîíèàíîì:1 21 21 2S1 +S2 +S + U,(6)2A12A12A3 3pU = mg( b21 + (b23 − b21)R32 + sR3)ïðè äàííîìèçîìîðôèçìå èíòåãðàëû γ è G ïåðåõîäÿò âΓ = R12 + R22 + R32 è G = S1R1 + S2R2 + S3R3,H=à èíòåãðàë ýíåðãèè â ãàìèëüòîíèàí.Äàííûå èíòåãðàëû åñòåñòâåííû äëÿ çàäà÷è î äâèæåíèè òâåðäîãî òåëà,îíè ïîëó÷àþòñÿ áåç îãðàíè÷åíèé íà ôîðìó è äèíàìèêó ðàññìàòðèâàåìîãî îáúåêòà.

Îäíàêî, äëÿ ïîëíîé èíòåãðèðóåìîñòè íàì íåäîñòàåò îäíîãî íåçàâèñèìîãî èíòåãðàëà, êîòîðûé â äàííîé ïîñòàíîâêå ñóùåñòâóåòK = S3 - èíòåãðàë Ëàãðàíæà.2.3Ïîñòðîåíèå áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììûÎòîáðàæåíèå ìîìåíòà ïåðåâîäèò êàñàòåëüíîå ðàññëîåíèå ê ñôåðå Ïóàñ22ñîíà íà ïëîñêîñòü F = H × K : T S → R (h; k). Îáðàç5êðèòè÷åñêîãî ìíîæåñòâà åñòü áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà Σ îòîáðàæåíèÿ F . Ïî òåîðåìå Ñàðäà Σ èìååò ìåðó íóëü íà ïëîñêîñòè, à ïî òåîðåìå2î íåÿâíîé ôóíêöèè íàä êàæäîé ñâÿçíîé êîìïîíåíòîé R \Σ îòîáðàæåíèå ìîìåíòà ÿâëÿåòñÿ ðàññëîåíèåì.

Åñëè âñå ñëîè ñëîåíèÿ êîìïàêòíû, òîòèï èíòåãðàëüíûõ ìíîãîîáðàçèé ìîæåò èçìåíèòüñÿ ëèøü ïðè ïåðåõîäå÷åðåç Σ.  ýòèõ ñâÿçíûõ êîìïîíåíòàõ èíòåãðàëüíûå ìíîãîîáðàçèÿ, êàêèçâåñòíî èç òåîðåìû Ëèóâèëëÿ, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îáúåäèíåíèå äâóìåðíûõ òîðîâ, êàê âñÿêîå ñâÿçíîå, îðèåíòèðóåìîå, êîìïàêòíîå äâóìåðíîå ìíîãîîáðàçèå, äîïóñêàþùåå êàñàòåëüíîå âåêòîðíîå ïîëå áåç îñîáûõòî÷åê (ò.ê.

îñîáûå òî÷êè ëåæàò íà îñîáûõ ñëîÿõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ).Íàéäåì êðèòè÷åñêèå òî÷êè ýòîãî îòîáðàæåíèÿ (ìû ïðîäåëàåì ýòî ëèøüäëÿ ãàìèëüòîíèàíà ñ ôèêñèðîâàííîé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé, îáùèéàíàëèç åñòü â [1, 14]).3Ðàññìîòðèì Pk,g = {K = k, G = g, Γ = 1} - íåîñîáàÿ ïðè44k 6= ±g è M1,g= {Γ = 1, G = g}.

Òî÷êà x0 ∈ M1,gêðèòè÷åñêàÿ äëÿ H|P 3 , åñëè ñóùåñòâóþò òàêèåñîîòíîøåíèÿ:µ1, µ2, µ3, ÷òî âûïîëíÿòñÿngradH = µ1gradΓ + µ2gradG + µ3gradK,(7)K = k, G = g, Γ = 1Äëÿ ïðîñòîòû âû÷èñëåíèé îáåçðàçìåðèì ýëëèïñîèä èíåðöèè A1 =1, A3 =A.Ðàñïèøåìpp(7) ïî êîîäèíàòàì:2R1 = 1 − R3 cost, R2 = 1 − R32sint,g−kR3g−kR3√S1 = √cost,S=sint, S3 = k2221−R31−R3Ïàðàìåòðû ïðè ýòîì ïîëó÷àþòñÿ òàêèå:23)3)3µ1 = − (g−kR, µ2 = g−kR, µ3 = Ak3 − R3(g−kR.22(1−R3 )21−R321−R323 )(gR3 −k)R3 âû÷èñëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ U 0 + (g−kR= 0, ãäå ïðî(1−R32 )2èçâîäíàÿ áåðåòñÿ ïî R3 . Òàê êàê Γ = 1, òî |R3 | < 1.Ïðè ôèêñèðîâàííîì R3 óðàâíåíèÿ (7) çàäàþò îäíó êðèòè÷åñêóþ îêðóæíîñòü ôóíêöèè H|P 3 , ïðîèíòåãðèðóåì âûðàæåíèå äëÿ R3 :(g−kR3 )2k2+2(1−R3 )2 + U = W (R3 ), W (R3 ) ∈ [−1; 1] òåì ñàìûìïîëó÷èì çíà÷åíèå îãðàíè÷åíèÿ ãàìèëüòîíèàíà íà êðèòè÷åñêîé îêðóæíîñòè. È â ñèëó îáîçíà÷åíèé óñëîâèå ïîëó÷àåòñÿ â áîëåå êîìïàêòíîì âèäå6W 0(R3) = 0.Ôóíêöèþ W íàçûâàþò ïðèâåäåííûì (ýôôåêòèâíûì) ïîòåíöèàëîì.Ðàññìîòðèì ìàòðèöó Gµ = GH − µ1 GΓ − µ2 GG − µ3 GK , ãäåGff , îãðàíè÷èìñÿ íà ïðîñòðàíñòâî îðòîãîíàëüíîåê ãðàäèåíòàì òðåõ èíòåãðàëîâ Γ, G, K èìååì:100 −µ200100−µ20 01 000−µ02JGλ = −µ0 −2µ1 00 2 00 −µ2 00 −2µ1000 −µ2 00 U 00 − 2µ1- ãåññèàí ôóíêöèèΓ, G, K òîãäà çàïèñûâàþòñÿ òàê:gradΓ = (0, 0, 0, 2X cos t, 2X sin t, 2R3),g−kR33gradG = (X cos t, X sin t, R3, g−kRcost,XX sin t, k),gradK =p(0, 0, 1, 0, 0, 0).Ãäå X =1 − R32.