Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Ответы на вопросы к зачету

Ответы на вопросы к зачету, страница 2

Описание файла

PDF-файл из архива "Ответы на вопросы к зачету", который расположен в категории "к экзамену/зачёту". Всё это находится в предмете "математические модели флуктуационных явлений" из седьмого семестра, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 2 страницы из PDF

Функция распределения огибающей для суммы гармонического сигнала иузкополосного стационарного гауссовского шумаРассматривается случайный процесс вида: x=(t ) S (t ) + ξ (t ) , где ξ (t ) ― гауссов квазигармоническийСП, а S (t ) - регулярный сигнал вида: S (t ) = as (t ) cos ω0t − bs (t ) sin ω0t =ρ s (t ) cos[ω0t + ϕ s (t )] . a 2 + b2 exp − 2σ 2 2πσ 222 ρ − 2 ρρ S cos(ϕ − ϕ S ) + ρ S ρполучим совместное распределение:w( ρ , ϕ )=exp−.2πσ 22σ 21+ bS )Из совместного распределения для квадратурных компонент: w(a + aS , b=Отсюда можно =получить: w( ρ )ρ  ρρ SIσ 2 0  σ 2 ρ 2 + ρ S2 21 −µ2expи w (ϕ )1 + π ze z [1 + Φ ( z ) ]e− =22σ 2π{6}z=µ cos(ϕ − ϕ S ),2Φ( z ) =πz∫e−t 2ρ S2 (t ) I ( z ) = 1µ =2 .

02π2σ22π∫ex cos ϕdϕ ― модифицированная функция Бесселя, а0dt ― функция ошибок.016. Зависит ли спектр шума на выходе линейной и нелинейной систем отстатистики входного шума?Линейными называются системы или устройства, процессы в которых можно описать припомощи линейных уравнений. Линейные уравнения могут быть любыми: алгебраическими,дифференциальными (обыкновенными или в частных производных, с постоянными илипеременными параметрами), интегральными, разностными и т. п.Все линейные системы обладают следующим свойством: если на систему одновременно действуетнесколько внешних сил, то на каждую она откликается независимо.ЛС однозначно характеризуется передаточной функцией: K (ω , t ) , связывающей отклик сгармоническим воздействием и с суперпозицией таких воздействий: x ( t ) =+∞∫fω K (ω , t ) eiωt d ω−∞Спектр шума на выходе линейных систем однозначно связан со спектром входного шума и независит от конкретной его статистики.В нелинейных системах законы преобразования спектров и корреляционных функцийпринципиально изменяются.

Причиной этого оказывается то, что для колебаний в нелинейныхсистемах перестает выполняться принцип суперпозиции. При нелинейных преобразованияхвозникают новые спектральные компоненты шума и вся форма спектрального распределения,вообще говоря, кардинально меняется.

Кроме того, в нелинейных системах закономерностипреобразования спектров зависят от статистики процесса, в то время как в линейных системахтакой зависимости нет.17. Что такое согласованный фильтр?Согласованным фильтром называется линейная система, передаточная функция которого имеет(ω ) α s0 ( −ω ) e − iωt0 , где α и t0 ― произвольные постоянные, а s0 (ω ) ― спектр регулярноговид: K =сигнала, который вместе с шумом поступает на вход фильтра. Такой фильтр обеспечиваетмаксимальное соотношение сигнал/шум, но не воспроизводит форму сигнала. Так, например7прямоугольный импульс после прохождения через согласованный с ним фильтр преобразуется втреугольный.Параметр t0 отвечает моменту времени, когда амплитуда сигнала на выходе максимальна (а значитмаксимально и соотношение сигнал/шум).

Параметр α связан с коэффициентом усиления системы.18. Статистика многочастотного случайного процесса(t )Многочастотным (многомодовым) называется СП вида: ξ=Nϕn )∑ an cos (ωnt +=N∑an=n 1=n 1cos ( Φ n ) ,в котором амплитуды an постоянны, а фазы ϕn равномерно распределены от −π до π истатистически независимы.Характеристическая функция этого СП:Nθ (ν ) = exp(iξν ) = ∏θ (νan ),n =1где θ (νan ) = exp(iνan cosΦ n ) = J 0 (νan )J 0 ( z ) ― функция Бесселя нулевого порядка от действительногоаргумента.В результате функция распределения многочастотного СП имеет вид:+∞N∞π kξ 11 πk − ivξ=+=θθw (ξ ) =vedvAan .12cos,()∑∑∫A 2π −∞2 A  A =k 1=n 1 ξ2 1Na 22wexp,,(an =a, ∀n)ξ=−σ=При N → ∞ ( ) 2σ 2 22πσВ случае, когда еще и ω=ξ ( t ) ρ cos ( Φ ) , и дляω0 , ∀n , СП можно представить в виде =nогибающей мы получим распределение Рэлея:=w( ρ ) ρ2 ρexp − 2σ 2  .σ219.

Пуассоновский процесс, пример его реализации. Чем определяется егоспектр?Пуассоновский процесс является примером случайной импульсной последовательности.Случайной импульсной последовательностью называется СП вида:=x (t )∑ F ( t − t ) , где F ( t )np =1p― регулярная функция времени, описывающая форму одиночного импульса, а t p и n ― случайныевеличины.Пуассоновским процессом называется такая импульсная последовательность, для которой8w ( n, t1 , t2 ,...,имп t n )= w ( n ) w ( t1 ) w ( t 2 ) ⋅⋅⋅ w ( t n ) ,−αоткуда следует, что w ( n ) = ew ( t1 )= w ( t2 )= ...= w ( tn )= w ( t )=1,TT ταn2, и n= σ=α.nn!Примеры пуассоновского процесса: фотоэмиссия электронов с катода, фотоотсчёты прирегистрации стабилизированного по интенсивности лазерного излучения и т.дДля пуассоновской импульсной последовательности:среднее значение: x = ν+∞∫=B (τ ) νF ( t ') dt ' , коррфункция:+∞∫ F ( t ') F ( t '+ τ ) d't,−∞−∞2α nспектральная плотность: G (ω ) = 2πν F (ω ) , где ν= =― средняя частота следованияT Tимпульсов (интенсивность потока импульсов), а F (ω ) ― фурье-образ функции F ( t ) ,описывающей одиночный импульс.20.

Формула Найквиста для теплового шумаИз общих термодинамических рассуждений можно показать, что спектр теплового шума в элементецепи GT (ω ) = u (ω , T ) Re Z (ω ) , где u (ω , T ) ― неизвестная, но универсальная для всех элементовфункция, а Z (ω ) ― импеданс элемента. В классической области при kT ≈ ω спектр теплового+(ω )шума определяется формулой Найквиста: GT =2πkT ⋅ R (ω ) , где R (ω ) ≡ Re Z (ω ) , или+f ) 4kT ⋅ R ( f ) .. GT (=21. Формула Шоттки для дробового шумаВажным примером импульсного случайного процесса является дробовой шум электронных ламп.Анодный ток электронной лампы представляет собой случайную последовательность импульсов,обусловленную статистическим характером электронной эмиссии.Статистика импульсов анодного тока полностью аналогична статистике термоэлектроннойэмиссии. Поскольку последняя является пуассоновской (различные термоэлектроны эмиттируютсянезависимо), определение статистики анодного тока сводится к расчету характеристикпуассоновских импульсов.Отсюда легко получить выражение для спектра дробового шума: G (ω ) = 2πν i (ω ) , где i (ω ) ―2фурье-образ импульса тока i ( t ) , возбуждаемого в анодной цепи отдельным электроном, а ν = I 0 / e- средняя частота следования импульсов ( I 0 ― средний ток, е ― заряд электрона).2md2Импульс i ( t ) имеет треугольный=вид: i ( t ) 2etτ пролета,, 0 ≤=t ≤ τ пролетаeEгде d ― межэлектродное расстояние, E ― внешнее поле, m ― масса электрона.92 e2  , θ ωτ пролета .

Для низких частот отсюдаОтсюда i=(ω )  2   2 + θ 2 − 2θ sin θ − 2 cos θ= πθ e+получаем формулу Шоттки: G (ω ≈ 0 ) =I 0 или G + ( f ≈ 0) =2eI 0 .2π22. Производящая и характеристическая функции пуассоновского процесса.Одним из способов задания вероятностных распределений является задание производящей∞функции. По определению производящая функция распределения P (n) есть Q ( z ) = ∑ zP(n) .n =0Производящая функция используется для нахождения факториальных моментов:n!dk= n(n − 1)...(n − k + 1) =Q( z)k!dz kz =1α ( z −1)Для пуассоновского распределения производящая функция имеет вид: Q (α , z ) = e.

ОтсюдаdkQ( z)α k , < n >= α ,− k + 1)=имеем n(n − 1)...(n=kdzz =1< n 2=> α 2 +α,Характеристическая функция пуассоновской случайной вличины∞ ∞ ( iu )m iuniuneθ= , т.е. все кумулянты равны α .(u ) =( n ) exp α ∑∑0 e w= m =1 m ! Характеристическая функция импульсного процесса равна:=θ (u ) nexp iu ∑ F ( t − t p )  p =1θ ==eα ( β −1) , где βw(t )==1Tβ n , а в случае пуассоновского процесса:+T / 21exp iuF ( t − t ')  dt 'T −T∫/ 223. Корреляционная функция случайного телеграфного сигнала.Телеграфным сигналом называют случайную последовательностьпрямоугольных положительных и отрицательных импульсов сослучайными длительностями и детерминированными амплитудами:x ( t ) = a ⋅ ( −1)n (ν ,t ), где n распределена по Пуассону: P ( n )∞Среднее: x ( t ) =a ∑ ( −1) P ( n ) =ae −2ν t ,nn =010(ν t )=n!ne −ν t .(τ )а коррфункция: B=x ( t ) x ( t +=τ ) a2 =n∑P ( n, τ ) −τ )∑ P ( n,=0,2,4...=n 1,3,5...a 2 e −2ντ24.

Распределение Манделя. При каком условии оно переходит враспределение Пуассона?Есть случайный поток импульсов. Из него убираем случайно некоторые импульсы. Начальные(n )nимпульсы распределены по Пуассону:PH (n)exp [ −n ] . Такую статистику имеет излучение=n!лазера с постоянной амплитудой. Взаимодействие фотона с атомом – случайный процесс – некаждый фотон выбивает электрон. P (n) ―вероятность зарегистрировать n фотоэлектронов.=+ ...P(n) p n PH (n) + p n q HPn( + 1)Cnn+1=,PH (n + k ) nCn + kPH (n)k =0( p - вероятность поглощения фотона и вылета электрона, q=1-p)(n )n + kexp [ −n ]nk ( n + k )!p PH (n)∑ (1 − p )Cnn+ k ==n(n )k =0exp [ −n ]n!n !(n ) k (n + k )!p n PH (n)∑ (1 − p ) k==(n + k )! n !k !k =0= p n PH (n)∑ q k( pn ) n((1 − p )n ) kn=exp {− pn } .

Тоже распределение Пуассона,p PH (n)=p PH (n) ex p(1{ − p)n )}∑n!k!k =0но с другим средним N = pn .Рассмотрим неоднородный Пуассоновский процесс. Выведем распределение числа фотоотсчетов вполе светового источника с флуктуирующей интенсивностью. dP (t ) = pdt , p = β I (t ) , где β ―коэффициент, характеризующий чувствительность фотодетектора, а I (t ) - интенсивность света.Если источник имеет постоянную интенсивность, то статистика является пуассоновскойt +T(α ) nα (t ) β==exp [ −α ] .

Свежие статьи
Популярно сейчас