Ответы на вопросы к зачету

Критериум- ОТВЕТЫК. Катамадзе, Ю. Щадилова (студенты 427гр, 2008г)1. Что такое случайный процесс? Статистический ансамбль?Случайная величина – количественная характеристика опыта в результате его проведения приодних и тех же условиях, принимающая одно из ряда возможных значений.Функция ξ (t ) называется случайной, если её значение в один и тот же момент времени примногократном повторении опыта в одинаковых условиях, является случайной величиной.Случайные функции являются математической основой описания случайных (стохастических)процессов. Случайные функции от нескольких аргументов описываю случайные поля.Статистический ансамбль – это совокупность или набор всех возможных реализацийслучайного процесса.2.

Стационарность случайного процесса (СП) в широком и узком смысле.Примеры стационарных и нестационарных СПСтационарным случайным процессом (в узком смысле) называют случайный процесс,произвольная n-мерная функция распределения которого не изменяется при одновременном сдвигевсех точек t1,…, tn на оси времени на одну и ту же величину, иначе говоря, многомерная функцияt1 ,...tn ) wn ( x1 ,..., xn ; t1 + t ,...tn + t ) .распределения не меняется со временем: wn ( x1 ,..., xn ;=Стационарным случайным процессом (в широком смысле) называют процесс, одномерноераспределение вероятностей которого не зависит от времени: w( x; t ) = w( x) , а двумерное зависитw2 [ x, xτ ;τ ] .только от интервала τ= t1 − t2 : w2 [ x(t ), x(t + τ ); t , t + τ ] =Примеры нестационарного процесса.

Процесс установления колебаний в генераторах радио- иоптического диапазона, в параметрических генераторах.Из статфизики. Броуновское движение само по себе – стационарный процесс, но если со временемизменяется, например, температура жидкости, то процесс становится нестационарным.3. Соотношения (теорема) Винера-Хинчина. Основные свойствакорреляционной функции и спектральной плотностиСпектральная плотность (или спектральная мощность) G (ω ) флуктуаций стационарногослучайного процесса ξ=(t ) x(t ) − x2, определяющая интенсивность ξ =+∞∫ G(ω )dω , связана с−∞корреляционной функцией B (τ ) = ξξτ преобразованием Фурье:+∞1G (ω ) =2π∫B(τ ) exp[−iωτ ]dτ ;−∞+∞B(τ ) =∫ G(ω ) exp[iωτ ]dω .−∞Свойства G (ω ) :1. четность: G (ω=) G (−ω )2. связь с измеряемым экспериментально спектром мощности G + (ω ) (спектром, взятым по2G (ω ), ω ≥ 0,положительным частотам): G + (ω ) = ω < 0. 03.

G (ω ) ≥ 0, ∀ω+∞4. сходимость: ∃ ∫ G (ω )d ω−∞Свойства B (τ ) :1. четность: B(−τ ) =B (τ )2. максимальное значение достигает в нуле и равно дисперсии: B(τ =) max B=(0) σ 23. ограниченность: −σ 2 ≤ B (τ ) ≤ σ 24. B (τ → ∞) → 05. удовлетворение свойствам G (ω )Вследствие четности функций B (τ ) и G (ω ) соотношения Винера-Хинчина можно записать так:G (ω )1π+∞∫0+∞+∞00B (τ ) cos(B (τ ) 2=ωτ )dτ ;=∫ G (ω ) cos(ωτ )dω∫G+(ω ) cos(ωτ )dω4.

Любую ли убывающую функцию можно выбрать в качествекорреляционной?Нет, она еще должна стремиться к нулю на бесконечности: B (τ → ∞) → 0 , а её Фурье- образ B , | τ |≤ τ 0удовлетворять свойствам G (ω ) . Например, функция B(τ ) =  0не удовлетворяет условию0, | τ |> τ 0G (ω ) ≥ 0, ∀ω .5. Физический смысл времени корреляцииВременем корреляции τ к называют характерный временной интервал, на котором происходитзаметный спад (в несколько раз) значение функции корреляции.Время корреляции характеризует временной интервал, на котором «распадается»корреляционная связь между значениями случайного процесса.Если ∆ω – ширина спектра случайного процесса, то τ k ≈ 1 ∆ω .26.

Что такое белый? цветной шум?Белый шум – это случайный процесс, имеющий одинаковую спектральную мощность на всехчастотах, он дельта-коррелирован: G (ω ) = G0 (−∞ < ω < +∞), B(τ ) = 2π G0δ (τ ), σ 2 = ∞ .В природе и технике «чисто» белый шум не встречается (ввиду того, что такой сигнал имел быбесконечную мощность), однако модель белого шума используют, когда спектральная плотностьшума практически одинакова (или слабо отличается) в рассматриваемом диапазоне частот.Другими словами, ширина спектра шума должна быть гораздо больше спектральной полосыустройства.Шум с конечным временем корреляции иногда называют цветным.7.

Типичные характеристики спектральной плотности и корреляционнойфункции для а) низкочастотного СП, б) квазигармонического СП, в) белогошума и г) марковского СП G0 , ω ≤ h; B(τ ) = 2G0 h sin c(hτ )0,ωh>а) Низкочастотный СП: G (ω ) = б) Квазигармонический СП: G (ω ) = F (ω − ω0 ) + F (ω + ω0 ); B (τ ) = 2 F (τ ) ⋅ co (sω0τ ) , где F (τ ) –фурье-образ узкочастотной функции F (ω ) .В пределе при F (ω ) → δ (ω ) , σ 2 → ∞ , а B (τ ) → σ 2 cos(ω0τ ) .в) Белый шум: G (ω ) = G0 (−∞ < ω < +∞), B(τ ) = 2π G0δ (τ ), σ 2 = ∞ .г) Марковский СП:Случайный процесс ξ (t ) называется марковским, если для любого упорядоченного по возрастаниюнабора моментов времени t1 < t2 ... < tm < t выполняется равенство w(ξt | ξt1 , ξt 2 ,..., ξtm ) = w(ξt | ξtm ) .Свойством марковости обладают процессы, определяющиеся линейными и нелинейнымиуравнениями (или системами уравнений) первого порядка со случайными дельтакоррелированными коэффициентами.8.

Характеристическая функция, характеристический функционал, кумулянты+∞iuxiuxХарактеристическая функция процесса x(t ) по определению θ (u ) ≡ e =∫ w( x) e dx является−∞фурье-образом распределения вероятностей.Момент mn ≡ x n , центральный момент µn ≡ ( x − x ) n .∞(iu ) nmn ;θ (u ) = ∑n =0 n !∞(iu ) nkn , kn – кумулянты.ln θ (u ) = ∑n =1 n !3В случае многомерных распределений имеем wn ( x 1 ,..., x n ; t1 ,..., tn )→w({x(t )}) – вероятностныйn →∞функционал ( {x(t )} – все x при всех t).

Тогда характеристическим функционалом называется:()θ ({u (t )}) = exp i ∫ u (t )x(t )dt = ∫ exp i ∫ u (t )x(t )dt w({x(t )})d {x(t )} , d {x(t )} ≡ ∏ d ( x(t ))tМногомерная характеристическая функция:θ (u1=,..., un )exp[i (u1 x1 +  + u=n xn )]+∞∫ ...∫ exp[i(u x +  + u x )]w( x ,..., x )dx ...dx−∞1 1n n1n1nДля нее также справедливо разложение по многомерным кумулянтам:i ni2 nKuK p uqp uq + ln θ (u1 ,..., un ) =+∑ p p 2! p∑1! p 1 ==,q 19. Свойство эргодичности стационарного случайного процесса.Стационарный случайный процесс можно представить в виде суммы трех компонент:x(t=) x(t ) + ξ 0 + ξ (t ) :x(t ) – регулярная составляющая случайного процесса – его статистическое среднее,ξ 0 – постоянный параметр, случайно меняющийся от реализации к реализации, ξ 0 = 0 ,~ξ (t ) – случайная, изменяющаяся со временем флуктуирующая компонента, ξ (t ) = 0 , ξ (t ) = 0 ,1~где волной обозначается усреднение по времени: f (t ) = limТ →∞ Tt +T∫ f (t ′)dt ′ .tЭргодическим называется стационарный случайный процесс, для которого x(t ) = ~x (t ) и длякоторого ξ 0 ≡ 0 .10.

Основные свойства гауссовского СП; некоррелированность истатистическая независимостьОдномерное распределение:221w( x) =e − ( x − x ) / 2σ нечетные моменты равны нулю, а четные центральные моменты:2πσµ=2n( 2n − 1)!!σ 2 n(n=1,2,…)Многомерное распределение: 1 n1−1exp,)w(=x1 ,..., xn )D det( Apq− ∑ Apq ( x p − x p )( xq − xq ) =n/2n/2(2π ) D2p , q =1Корреляция: ( x p − x p )( xq − xq ) = x p xq − x p xq = B p ,q || B pq || − корреляционная матрица,Apq - элементы матрицы, обратной корреляционной.Корреляционные функции высших порядков выражаются через низшие (см.12).4Если величины x1 ,..., xn некоррелированы, то распределение w( x1 ,..., xn ) распадается напроизведение одномерных гауссовых распределений: w( x1 ) ⋅ w( x2 ) ⋅⋅⋅ w( xn ) .

То есть изнекоррелированности гауссовых СП следует их статистическая независимость.Из вида многомерного распределения следует, что для ГСП стационарность в широком смыслеобеспечивает стационарность и в узком смысле+∞1Спектральные амплитуды ГСП xω =x(t )e − iωt dt также будут гауссовыми СВ.∫2π −∞d 2d 2 . Для гауссовыхЕсли x(t ) – стационарный СП, то для негоx = 0= 2 xx ,x = 0= 2 xxdtdtпроцессов это означает статистическую независимость временных производных разной четности:w( x=, x , x) w( x, x) ⋅ w( x ) . Спектральное условие стационарности СП:=xω xω∗ 'G (ω )δ (ω − ω ') независимость спектральных компонент.11.Чему равно среднее <ехр ах>, если х - случайный гауссовский процесс?Использовать известное выражение для характеристической функции ГСП (8) θ ( u ) и сделатьзаменуu=−ia → exp ( ax ) =θ ( −ia )12.

Как вычислить коррелятор вида x(t1 )x(t2 )x(t3 )x(t4 ) , если x(t) -гауссовскийстационарный случайный процесс с <x(t )=0Из вида многомерного распределения ГСП следует, что высшие корреляторы выражается черезпарные :=B p...s 0;=B p...s2 m+12m∑ B pq ⋅Brs.суммирование по всемпарным сочетаниям индексов13. Что такое диффузионный (винеровский) СП? Как зависит от времени егодисперсия?tДиффузионным называется СП вида ξ (t ) = ∫ η (t ')dt ' , где η (t ') – некоторая случайная функция.0ξ (t ) удовлетворяет уравнению ξ = η (t ) .

ДСП существенно нестацонарен.Если=η 0, =η 2 σ 02 , ηη=B=τ0 (τ )+∞2iωτ(t )∫ G0 (ω )e dω , то σ =−∞t22 ∫ (t − τ ) B0 (τ )dτ .ξ=0В частном случае, когда η(t ) - белый шум, B0 (τ ) = 2 Dδ(τ ) ДСП называют винеровским, для негоσ2 (t ) = 2 Dt линейно растет со временем. Пример – флуктуации фазы в установившемся режимегенераторов.514. Функции распределения для квазигармонического стационарногогауссовского СП: его огибающей, фазы, интенсивностиКвазигармоническим называют СП, если ширина его спектра гораздо меньше несущей частоты.Аналитически его можно записать в виде: ξ (t ) = ρ (t ) cos[ω0t + ϕ (t )] = a (t ) cos ω0t − b(t ) sin ω0tρ (t ) ― огибающая, ϕ (t ) ― фаза, a(t ) и b(t ) ― квадратурные компоненты (все эти параметрыявляются медленно меняющимися)Если a (t ) и b(t ) являются гауссовыми случайными функциями, то такой квазигармонический СПназывается гауссовым. В этом случае ξ (t ) также будет гауссовой, как их линейная комбинация.Такой процесс еще называют узкополосным гауссовым шумом.Далее рассмотрен случай стационарных a (t ) и b(t ) .Тогда для любых a (t ) и b(t ) : =aξ= 0,=b2a=2b=2ξ=σ 2,= 0.abИз некоррелированности и гауссовости a (t ) и b(t ) следует их независимость, их совместноераспределение распадается на произведение распределений, и отсюда легко получаютсяраспределения для фазы и для огибающей:w( ρ , ϕ ) =w(a =ρ cos ϕ , b =ρ sin ϕ ) ρ2 ∂ ( a, b)1 ρ=⋅ 2 exp  − 2  .2π σ∂( ρ ,ϕ )  2σ  w(ϕ ) ρw( ρ )Распределение для интенсивности:I = I 1 2∂ρ1.=exp −ρ = σ 2 , w( I ) = w ρ = 2 I2∂III()15.