1 (Ю.Л. Словохотов - Материалы по курсу кристаллохимии (2011)), страница 4

Проверить, присутствуют ли плоскости зеркального отражения. Если найденынесколько плоскостей – определить, под каким углом они пересекаются.3. Проверить, есть ли у фигуры центр симметрии.4. Если у фигуры есть главная ось порядка выше 2, определить:(а) нет ли перпендикулярной к ней («горизонтальной») зеркальной плоскости,(б) нет ли «горизонтальных» поворотных осей 2-го порядка,(в) нет ли «вертикальных» зеркальных плоскостей.Первый пункт этой схемы позволяет установить категорию симметрии фигуры.Отсутствие поворотных осей выше 2-го порядка указывает на низшую категориюсимметрии (включая тривиальную группу C1=1) либо на точечные группы среднейкатегории4 (S4) или42m (D2d). (У фигур, относящихся к двум последним группам,проекция вдоль одной из осей 2 вписывается в квадрат).

Фигуры, имеющие больше однойповоротной оси 3-го, 4-го или 5-го порядка, относятся к высшей категории. Поворотнаяось порядка 6 или выше однозначно указывает на среднюю категорию симметрии.Если фигура относится к низшей категории симметрии, п.п. 2 и 3 устанавливают ееточечную группу. Три взаимно перпендикулярные плоскости m указывают на группуmmm (D2h), две перпендикулярные плоскости m (либо ось 2, лежащая в плоскости m) – нагруппу mm2 (C2v), одна плоскость m и центр инверсии (или ось 2, перпендикулярная к m)– на группу 2/m (C2h). Одной плоскости m без других элементов симметрии отвечаетгруппа m (Cs). Трем взаимно перпендикулярным осям 2 без других элементов симметрииотвечает группа 222 (D2), одной-единственной оси 2 – группа 2 (C2), центру инверсии бездругих элементов симметрии – группа1 (Ci), отсутствию элементов симметрии – группа 1(С1).Также однозначно по п.п.

1 – 3 устанавливается точечная группа высшейкатегории. Если у фигуры нет поворотных осей 4 или 5 (а только четыре оси 3), онаотносится к семейству тетраэдра, если есть оси 3 и 4, но нет оси 5 – к семейству октаэдра,если есть оси 3 и 5, но нет оси 4 – к семейству икосаэдра. Фигуры без плоскостейсимметрии в семестве тетраэдра принадлежат к группе 23 (T), в семействе октаэдра – кгруппе 432 (О), в семействе икосаэдра – к группе 235 (I). Наличие хотя бы однойплоскости m в семействе октаэдра означает группу m3 m (Oh), в семействе икосаэдра –группу m35 (Ih). В семействе тетраэдра плоскости симметрии указывают на группу43m(Td), если у фигуры нет центра симметрии, и на группу m3 (Th), если фигурацентросимметрична.Точечные группы фигур и молекул, принадлежащих к средней категориисимметрии, можно определить по п.п.

1-4, используя соотношения между элементамисимметрии:(А) Если найдена хотя бы одна плоскость m, в которой лежит поворотная ось порядка n,по данной оси пересекаются n таких плоскостей. Обратно, если две плоскости mпересекаются под двугранным углом 180о/n, линия их пересечения – поворотная осьпорядка n. (Так, две взаимно перпендикулярные плоскости зеркального отраженияпересекаются по поворотной оси 2).(Б) Если найдена хотя бы одна «горизонтальная» ось 2, перпендикулярная главной, уфигуры есть n «горизонтальных» осей. Обратно, если две оси 2 пересекаются под углом180о/n, через точку пересечения перпендикулярно к ним проходит поворотная ось порядкаn.

(В частности, через точку пересечения двух взаимно перпендикулярных осей 2проходит третья ось 2, перпендикулярная им обеим).(В) Если ось 2 и плоскость m пересекаются под углом 180о/n, в плоскости mперпендикулярно оси 2 проходит инверсионная осьN порядка N=n (при n=4k) или N=n/2(при n=4k+2). Если же перпендикулярно плоскости m проходит поворотная ось нечетногопорядка n=2k+1, с ней совпадает инверсионная ось порядка N=2n (3/m =6, и т.д.).14(Г) Если перпендикулярно плоскости m проходит поворотная ось четного порядка, точкаих пересечения является центром инверсии1.Пример 1.Пользуясь п.п.

1-4 схемы и соотношениями (А) – (Г), определим точечную группупрямого параллелепипеда: трехмерной фигуры, основаниями которой служат два равныхпараллелограмма, а боковыми гранями – четыре попарно равных прямоугольника.(Рис. 1.9 а–в).1. Фигура целиком проектируется на свое основание, т.е. на параллелограмм. Черезцентры оснований проходит поворотная ось 2-го порядка: вращение вокруг нее на 180оприводит к самосовмещению фигуры. Других осей симметрии нет, т.к. отрезки,соединяющие центры противоположных прямоугольных граней, не перпендикулярны кплоскостям этих граней, а соседние грани не равны (и значит, ни через боковые грани, ничерез ребра нельзя провести поворотные оси).2.

Плоскость, проходящая через середины боковых ребер перпендикулярно к оси 2,разрезает фигуру на равные половины, переводимые одна в другую отражением, т.е.является зеркальной плоскостью m. Других плоскостей симметрии нет.Мы видим, что прямой параллелепипед не имеет элементов симметрии выше 2-гопорядка, т.е. его группа относится к низшей категории симметрии. Если в декартовойсистеме координат ось 2 совместить с осью z, а плоскость m – с координатной плоскостьюxy, расположение элементов симметрии будет соответствовать полному символу ГерманаМогена 1 1 2/m, т.е.

группе 2/m (краткий символ), или C2h (по Шенфлису). А посколькувзаимодействие поворота вокруг оси 2 и отражения в перпендикулярной плоскости mпорождает инверсию1, прямой параллелепипед – центросимметричная фигура.(а)(б)(в)(г)(д)Рис. 1.9 Вид прямого параллелепипеда (а) и его проекции на основание (б) и боковуюгрань (в); (г) правильная тригональная призма, (д) молекула С6Н3(ОН)3.Пример 2.Определим точечную группу прямой тригональной призмы (Рис.

1. 9 г)1. Через центры оснований призмы проходит ось 3. Через центры прямоугольных боковыхграней фигуры и середины противолежащих им боковых ребрер проходят поворотные оси2.1а. Других поворотных осей высшего порядка у тригональной призмы нет. Такимобразом, ее точечная группа принадлежит к средней категории симметрии.1б. Проекция фигуры вдоль ее оси 3 – правильный треугольник (см. Рис. 1.4 б). Такимобразом, у этой призмы нет инверсионной оси3.2. Плоскости, рассекающие призму пополам перпендикулярно основанию и боковойграни, пересекаются по оси 3 – т.е.

являются вертикальными плоскостями симметрии.15Двугранный угол между соседними вертикальными плоскостями равен 60о. Черезсередины боковых ребер параллельно основаниям проходит горизонтальная плоскостьсимметрии. Она перпендикулярна главной оси 3 и вертикальным плоскостям m. Оси 2проходят по линиям пересечения горизонтальной и вертикальных плоскостей.Итак, у тригональной призмы есть единственная поворотная ось высшего порядка –это ось 3, через которую проходят вертикальные плоскости m, а перпендикулярно оси 3 –горизонтальные оси 2.

По соотношениям (А) и (Б) делаем вывод, что всего имеется тривертикальные плоскости m и три горизонтальные оси 2. Двугранный угол 60о междусоседними плоскостями подтверждает, что главная поворотная ось имеет порядок 3.Поскольку порядок главной оси нечетный, из соотношения (Г) следует, что у фигуры нетцентра инверсии1, т.е. тригональная призма нецентросимметрична.Таким образом, мы уже можем определить точечную группу прямой тригональнойпризмы по Шёнфлису: это группа D3h. Чтобы выписать ее символ по Герману-Могену,совместим координатное направление z с главной осью 3, а координату x направимперпендикулярно к одной из вертикальных плоскостей m (и к оси 2, лежащей в этойплоскости).

Учитывая присутствие трех вертикальных плоскостей m и трех лежащих вних горизонтальных осей 2 (не совпадающих с координатными направлениями x,y),запишем полный символ 3/m 1/m 2. Поскольку 3/m ≡6 (пункт В), краткий символ группы– это6m2.Пример 3.Определим точечную группу молекулы 1,3,5-С6Н3(ОН)3, если все ОН-группы лежат вплоскости бензольного цикла и связи О–Н ориентированы в одном направлении(Рис. 1.9 д).Если все атомы молекулы лежат в одной плоскости, эта плоскость являетсяэлементом симметрии: отражение в ней оставляет атомы на их местах. Поэтому молекула1,3,5-триоксибензола, как всякая планарная молекула, обладает зеркальной плоскостью m.В заданной нами конформации также имеется очевидная поворотная ось 3,перпендикулярная плоскости молекулы.

Ось симметрии порядка выше 2 у плоских фигурможет проходить лишь перпендикулярно к плоскости фигуры – любые другие поворотыобязаны переводить эту плоскость в себя, т.е. им могут соответствовать только оси 2.Таким образом, у молекулы 1,3,5-триоксибензола есть единственная поворотная осьвысшего порядка, т.е. ее группа относится к средней категории симметрии. Можноубедиться (хотя бы путем перебора), что «вертикальные» плоскости m и«горизонтальные» оси 2 отсутствуют: такие элементы легко найти для центральногоаренового ядра из шести атомов С, но все они не приведут к самосовмещению молекулы вцелом из-за сдвига «скошенных» связей О–Н.

«Вертикальной» поворотной оси болеевысокого порядка, совпадающей с осью 3, также нет: если считать ареновое ядро С6правильным шестиугольником, оно переводится в себя поворотом на 60о, но такойповорот переставляет вершины, занятые ОН-группами и атомами Н. Мы видим, что всеэлементы симметрии молекулы (помимо тождественного преобразования) – это ось 3 иперпендикулярная ей плоскость m, порождающие ось6 (см. предыдущий пример).Точечная группа молекулы 1,3,5-С6Н3(ОН)3 в системе Шёнфлиса – это группа C3h, как и уплоской молекулы ортоборной кислоты В(ОН)3 (см.

Рис. 1.5 б). В международной системеданная группа имеет полный символ 3/m 1 1 и краткий символ6. Как и в предыдущемпримере, молекула 1,3,5-С6Н3(ОН)3 нецентросимметрична, поскольку ее плоскость mперпендикулярна к поворотной оси нечетного порядка.161.5. Графики и орбиты точечных группГрафики групп и стереографическая проекцияК одной и той же точечной группе могут относиться многие геометрическиефигуры (как прямой параллелепипед из примера 1 и молекула транс-дихлорэтилена наРис.