1 (1157594), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Также синтезированы каркасные молекулы высшейкатегории симметрии: тетраэдран С4Н4, кубан С8Н8, додекаэдран С20Н20, фуллерен С60(усеченный икосаэдр) и анионные гидриды бора B6H62– (октаэдр) и B12H122– (икосаэдр).Числа вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) во всех выпуклых полиэдрах(расположенных по одну сторону от любой своей грани), включая платоновы тела, задаетформула Эйлера:(3)В-Р+Г=2Эта формула, в частности, показывает, что дуальные полиэдры, в которых В1=Г2 и В2=Г1(например, куб и октаэдр, додекаэдр и икосаэдр) имеют одинаковое число ребер.91.3. Система Германа-Могена.Систему Шёнфлиса удобно использовать для точечных групп молекул, однако приописании симметрии кристаллов она теряет информативность.

В этом разделе мыпознакомимся с международной кристаллографической системой Германа-Могена,специально разработанной для кристаллохимии и рентгеноструктурного анализа. В еерамках символы точечных и пространственных групп строят по единым правилам. Отсистемы Шёнфлиса она отличается в трех отношениях:(1) Элементы симметрии обозначены другими символами,(2) Для операции несобственного вращения используется иной геометрический образ:поворот с инверсией (математически эквивалентный зеркальному повороту):.(3) Группы составляются из символов элементов симметрии, «привязанных» копределенной системе координат.Элементы симметрии по Герману-МогенуCnk→Nk (e→1). Поворотные оси n-го порядка по международной системе обозначаютсяцифрой, равной порядку оси вращения, т.е.

ось Cn (в обозначениях по Шёнфлису)обозначается N, где n=N. Так, символ Шёнфлиса C3 в кристаллографической системезаменяется цифрой 3, символ C4 – цифрой 4, и т.д. Операция собственного вращениявокруг оси n-го порядка на угол k(360о/n) обозначается верхним индексом при порядкеоси, т.е. C32=32, C42=42, C5–1=C54=54=5–1 и т.д. Поскольку k-кратные собственные вращениявокруг оси Cn при n=mk эквивалентны поворотам вокруг оси Cm меньшего порядка, аповороты Cnk и Cnn–k взаимно обратны (т.е. CnkCnn–k=e), в международной системевозникают необычные соотношения вроде 3–1=32 или 42=2. В кристаллографическойлитературе обозначения «индивидуальных» операций симметрии встречаются оченьредко.

Единичный элемент, т.е. тождественное преобразование, в этой системеобозначают единицей: e=С1 = 1.→m; i→1. Плоскости зеркального отражения по Герману-Могену обозначаютсястрочной буквой m (от английского слова «mirror», т.е. «зеркало»). Расположение этихплоскостей относительно других элементов симметрии, которое в системе Шёнфлисазадавали подстрочные и надстрочные индексы (v, h, d, xy и т.д.), по Герману-Могенуопределяется положением буквы m в символе группы (см.

ниже). Операцию инверсии ицентр инверсии в международной системе обозначают символом «минус единица»,который чаще всего записывают по правилам кристаллографии: –1 =1.Snk →NN-k. Несобственному вращению в кристаллографической системе отвечаетповорот с инверсией на угол 360о/N, т.е. поворот на угол 360о/N вокруг заданной оси плюсинверсия в центре фигуры. Поворот с инверсией обозначается символом N (или N1).Линия, вокруг которой поворачивается фигура или молекула, называется инверсионнойосью порядка N: на ней лежит точка инверсии.

Как и для зеркальных поворотов в системеШёнфлиса, фигура с инверсионной осьюN (например, правильный тетраэдр на рис. 1.4 а,имеющий три оси4) может не иметь поворотной оси того же порядка N или (и) центра1как самостоятельных элементов симметрии.Одна и та же система точек, переводимых друг в друга несобственнымивращениями, в системе Шёнфлиса считается связанной зеркально-поворотной осью Sn, а всистеме Германа-Могена – совпадающей с ней инверсионной осьюN. «Движение» посимметрически эквивалентным точкам при поворотах с инверсией осуществляется противчасовой стрелки: Snm =NN–m.

Из формулы (2б) следует, что порядки осей Sn иN должныразличаться в два раза, если n или N – нечетное число (одновременно нечетными n и N10быть не могут). Если же оба эти числа четные, порядки инверсионной и зеркальноповоротной осей совпадают:еслито(4)Sn =N,N=2n при n=2k+1,N=n/2 при n=4k+2,n=N при n=4k (где k – целое число)Кроме того, из рис.

1.4 видно, что в состав инверсионной осиN четного порядка N=4m+2в качестве самостоятельных элементов симметрии входят поворотная ось вдвое меньшегопорядка N/2 и перпендикулярная ей плоскость m (63, m). «Нечетная» ось N (гдеN=2m+1) состоит из поворотной оси того же порядка N и центра инверсии (33,1). Апри N=4m осьN не содержит ни центра инверсии, ни перпендикулярной зеркальнойплоскости, ни поворотной оси N: в ее состав входит только поворотная ось порядка N/2(42, 842, и т.д.).На Рис.

1.7 показаны графические изображения основных «закрытых» элементовсимметрии. Некоторые из них уже встречались нам раньше на Рис. 1.2 – 1.5.ось 223456 …ось 4134(а)56(б)(в)(г)Рис. 1.7. Графическое изображение элементов симметрии: (а) поворотные и инверсионныеоси, перпендикулярные плоскости рисунка (1 – центр инверсии), (б) оси, параллельныеплоскости рисунка, (в) плоскость m, параллельная плоскости рисунка, (г) плоскость m,перпендикулярная плоскости рисунка.Конечные точечные группы по Герману-МогенуСимвол точечной группы в международной системе составляется из трех позиций,«привязанных» к системе координат (x,y,z). В каждой позиции могут помещаться двасимвола: поворотная N либо инверсионная осьN, совпадающая с заданнымнаправлением, и перпендикулярная ему плоскость m.

Перпендикулярное положениеплоскости задают косым штрихом: так, N/m означает «ось N и перпендикулярная ейплоскость m». Отсутствие оси в заданном направлении обозначают цифрой 1. Приотсутствии перпендикулярной плоскости символ «/m» в данной позиции не ставится.Если все позиции в символе группы заняты, он называется полным символом, впротивном случае – кратким символом.

В научной литературе для точечных групписпользуют почти исключительно краткие символы. Поскольку координатныенаправления x,y,z в группах низшей, средней и высшей категорий по-разному связаныэлементами симметрии, правила построения «международных» символов для них немногоразличаются.11(а) Низшая категория симметрии:В группах низшей категории координатные направления не переводятся друг вдруга никакими операциями симметрии. Символы этих групп состоят из символов осей 2и перпендикулярных им плоскостей m в позициях x, y и z.

Если в группе ось 2 –единственная, ее обычно совмещают с направлением z. Так, группа С2h (по Шёнфлису) вмеждународной системе имеет полный символ 1 1 2/m, группа C2v – полный символ1/m 1/m 2, а D2h соответствует полный символ 2/m 2/m 2/m. В кратком международномсимволе группы опускают обозначения «1» и «1/», символ «1» используют только длягруппы Ci, а ось 2, порожденную пересечением взаимно перпендикулярных плоскостей m,указывают только в символе группы C2v. Таким образом, группы низшей категории имеютследующие алгебраические и кристаллографические обозначения:по ШёнфлисуС1С2по Герману-Могенуполный символ111 112краткий символ12Ci,СsC2hC2vD2D2h1 1/m 1 1 1 1 2/m 1/m 1/m 2 2 2 2 2/m 2/m 2/m1m2/mmm2222mmm(б) Средняя категория симметрии:по ШёнфлисуСnS2nCnhСnvDnDndDnhпо Герману-Могену (краткие символы; n = N)n=2k+1NN/22NNmN2Nm2Nm2n=2knNN/mNmmN222N2mN/mmmДля групп этой категории в первой позиции символа указывают единственную«старшую» ось N или N (где N≥3), направленную по z.

Действием этой оси координаты xи y переставляются либо смешиваются, т.е. независимой является лишь одна из них. Вовторой позиции помещают ось 2, совпадающую с направлением x, или перпендикулярнуюему плоскость m. В третьей позиции символа указывают такие элементы симметрии (еслиони есть в группе), которые не переводятся действием главной оси в «координатный»элемент из 2-й позиции.

Так, группа C3 (по Шёнфлису) в международной системе имеетполный символ 3 1 1 и краткий символ 3, группа S6 – полный символ3 1 1 и краткий3, агруппа C4h – соответственно 4/m 1 1 и 4/m (присутствующий центр инверсии отдельно неуказывается). В группе C3v все три вертикальные плоскости переводятся одна в другуюповоротами вокруг оси 3-го порядка, поэтому в международной системе она имеет символ3 m 1 = 3m, а изоморфная ей группа D3 – символ 3 2 1 = 32. Но если порядок N главнойоси четный, вертикальные плоскости (в группах Cnv) и горизонтальные оси (в Dn)разбиваются на два класса сопряженных элементов, не переводимых друг в другавращениями на 360о/n вокруг направления z; у таких групп полный символ(соответственно Nmm и N22) совпадает с кратким.

В международном символе группы D2d=42m первую позицию занимает главная ось4, вторую – координатные оси 2x и 2y(связанные поворотом на 90о с инверсией), а третью позицию занимают так же связанныемежду собой диагональные плоскости d=m (рис. 1.8). В некоторых точечных группахкоординатные направления можно выбрать двумя способами (3 2 1 или 3 1 2,4 2 mили4 m 2, и т.д.); их символы установлены по соглашению. В описании симметриикристаллов разному порядку «координатных» и «диагональных» элементов симметрииотвечают уже разные пространственные группы.12HHCCCHH(а)(б)Рис. 1.8. (а) График группы42m (D2d), (б) молекула аллена, обладающая этой симметриейИз-за различия порядков инверсионной и зеркально-поворотной осей группысредней категории, по Шёнфлису относящиеся к одному семейству, в международнойсистеме обозначаются по-разному при четных и нечетных n.

Проще всего вмеждународную систему переводятся обозначения групп Cn (=N), Cnv (=Nm или Nmm) иDn (=N2 или N22) с главной поворотной осью Cn=N: надо только помнить о двух классах«младших» элементов симметрии в группах с осями четного порядка. Шенфлисовские имеждународные символы групп Sn и Cnh «симметрично» связаны соотношением (4): еслипо Шёнфлису порядок групп Sn только четный, а группы Sn с n=2k+1 обозначают Cnh, топо Герману-Могену в группах N/m=Cnh всегда N=n=2k, а для нечетных n принимается Cnh=2N.

Отметим, что символы Dnd=2N2m (N=4k) и Dnh=2Nm2 (N=4k+2) похожи. Однакоэтот недостаток компенсируется возможностью задавать расположение элементовсимметрии в пространственных группах, где система Шёнфлиса не применяется.(в) Группы высшей категории симметриипо ШёнфлисуTпо Герману-Могенуполный символ231краткий символ23Th2/m3 1m3Td,4 3 m43mOOh4324324/m3 2/mm3mIIh2 3 5 2/m35235m35Во всех семи группах высшей категории координатные направления x, y z связаныповоротной осью 3-го порядка, проходящей по телесной диагонали октанта (1/8 частипространства, ограниченной плоскостями xy.

xz и yz). В международном символе этихгрупп первую позицию занимает «координатный» элемент симметрии, а вторую –«диагональная» поворотная ось 3 или (в центросимметричных группах) инверсионнаяось3. Третье положение в полном символе группы занимает элемент, не переводящийся в«координатные» и «диагональные» (если такие элементы есть); центр инверсии неуказывается. Отметим, что в старой кристаллографической литературе использовалисьобозначения m3 (Th), m3m (Oh) и m35 (Ih), а для группы Ih – также символ m5.1.4. Симметрия молекул и полиэдров.Точечные группы используются в химии для описания молекулярных структур иих фрагментов, а также кристаллографических полиэдров. Элементы симметрии конечнойтрехмерной фигуры удобно искать по следующей схеме.1. Определить, есть ли у фигуры поворотные оси и каков порядок этих осей n=360o/, где – угол поворота с самосовмещением.(а) Если найдена хотя бы одна ось порядка выше 2 – проверить, нет ли других осейвысшего порядка.(б) При наличии поворотной оси порядка n проверить, нельзя ли вписать проекциюфигуры вдоль этой оси в правильный 2n-угольник (это признак инверсионной осиNпорядка 4k или 2k+1).132.

Характеристики

Список файлов книги