С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 99

=)з (Рх Ру фх. фу) Р,'+Р„' (7.9.9) (7.9.4) (7 чдб) Вь где согласно (7.2.82а) аз пюэг04/2 ! Ру ), Ру-бу -а а (еу — 1). Разумно предположить статистическую независимость взаимно перпендикулярных компонент излучения лазера, т. е. что совместная функция распределения равна 848 ГЛ.Т. ФЛУКТУАНИИ В ГЕНЕРАТОРАХ Двумерная функция распределения ф н Х равна ш(Ф Х) ) ~ [ [ш(рх, Ру, 'Рх, фу)б(»[»-/«)6(Х-/о)»/Р«»(руо/фх«(фу.

(796) -й'о ш(ф, Х)=(2поо)-«)»/ру ) е " 6(»р — /ьо)6(Х вЂ” /з,о)об (7.97) а — и где /м о /о (ро», ру, 6). Пользуясь свойством 6-функции ) р (х) б (у — / (х))»(х р (/ х (у))//' (/ «(у)), нз (7) получаем [50[ Р оса '"»( Г Р ш (ф, Х) — ехр [ — -- — [ мпо 2Х+ !8« 2ф /[. 2поо соа«2ф ( 8 пз [, (7.9.8) Из (8) следует, что в рассматриваемом случае параметры ф н Х статистически независимы, причем Ро» 1Р„ ш(ф)= ехр ! — — — 18«2ф Уйп о соз' 2ф 8 ао (7.9.9) р оса 2Х Г 1 р' ш (Х) ехр ! — — — и!по ф )» 2ио 8 оо (7.9,10) Отметим, что в более общем случае, когда статистика «подпороговойо компо. неяты отличается от гауссовской, параметры ф и у оказываются статистически связанными [50[. Па основе (9) и (1О) находим, что средине значения Ф=Х=О, а дисперсии (7.9.!!) зависят от отношения средних интеиснвносте ! компонент х и у» з о !«о=/у/2/х=п /Ро» Таким образом, в первом приближении по ро фзомХ«=ро —- «Р/р' =пы[0ф/4р ! р„[.

(7.9.12) Если принять, что р : [ р„[, то ф' Х «018/4Р„' Рассчитаем теперь степень поляризации Р излучения, определяемую выражеииеи (! 8.66) н имс»ощую смысл отношения интенсивности цолнос»ь»о поляризованного излучения к полной и»пенсивности излучения. В обозначениях Существует общий метод нахождения функции распределения (6) для числа случайных величин меньшего, чем число преобразуемых случайных величин Однако для упрощения выпода мы сразу используем (3). Введя обозначение 6=фа — фу, вместо (6) имеем йз. олкктнлнии поляризации лазпгного излнчнния 649 $8 гл, 1 в рассматриваемом случае В„х=р'-' 12, В„„=от, В„„(0)=0. Позтому согласно (1.8.55) н (1.8.49) 89„ ! !!з Р ~1 ~ ~ 1 — 4рч+8)г! ( +29 )*! (7.9.13) где учтено, что )се=петр- '~ 1 Полученные значения степени поляриза.

ции (13) и параметров эллипса поляризации (11) обусловлены спонтанным излучением, следовательно, выражения (13) и (11) дают предельные значения указанных величии: для Р— максимальное, для 9з н )(з — минимальные В заключение оценим величину рч Так как источником шума является спонтанное излучение лазера, его спектральная плотность не зависит от направ. ления поляризации Однако мошность шума ортогоиальиых комповент различив нз-за различия потерь ам, вносимых брюстеровскимн окиамн Возьмем а,()с~з ° 10 ', ссз!/с — 5 10-г (! — длина резонатора, с — скорость света), тогда отношение моыиостей спонтанного излучения Рз, ся)Р„ся 20.

Согласно данным работы [39), при мошиостк генерации Рч ч1мкВт мощность спонтанного излучения Рж си ы5 10 м Вт. Следовательно, Р...„=!0" Вт и р, 10 з. Такой же порядок имеет дисперсия углов 4 и )( (1!), и отличие предельной степени поляризации лазерного излучеиия от полной степени поля.

рнзацин, равной единице. ГЛАВА 8 СЛУЧАЙНЫЕ ВОЛНЫ В НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКЕ И НЕЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКЕ В средах, свойства которых зависят от напряженности поля электромагнитной волны или переменного акустического давления, — нелинейных средах, — принцип суперпозиции нарушается, Волны разных частот или разных направлений з нелинейной среде взаимодействуют между собой. Возникают и эффекты самовоэдействия, обусловленные зависимостью коэффициента поглоще. ния, фазовой и групповой скорости от интенсивности волны. С нелинейными явлениями взаимодействия и самовоздействия волн все чаще приходится сталкиваться в современной лазерной оптике, акустике, физике плазмы.

Нелинейные эффекты оказы. ваются весьма существенными и при распространении мощных радиоволн в ионосфере. В современной физике волновых процессов нелинейные волны играют не менее важную роль, нежели нелинейные колебания в физике колебаний систем с сосредоточенными параметрами. Предметом настоящей главы является обсуждение некоторых статистических задач физики нелинейных волновых процессов. Как статистика приходит в физику нелинейных волн, с чем связана постановка статистических задач в нелииейнои оптике, нелинейной акустике и т. п.р Здесь можно выделить три группы проблем. 1.

Прежде всего, представляют интерес задачи, связанные с изучением статистических явлений, обусловленных случайной модуляцией воли, возбуждающих нелинейную среду (статистика поля). 2. Большой круг статистических задач связан с изучением эффектов, возникающих вследствие статистической неоднородности нелинейной среды (статистика среды). 3. И наконец, следует указать иа статистические явления, обусловленные наличием з нелинейной среде распределенных шумовых источников (статистика распределенных источников). Перечисленные проблемы представляют значительный интерес для всех разделов физики нелинейных волн; отметим, что во многих физических задачах эффекты статистики поля, статистики среды и статистики распределенных источников проявляются одновременно. Однако ниже мы ограничимся лишь рассмотрением статистических явлений, обусловленных статистикой поля.

В, чем отличие взаимодействий и самовоздействий случайных волн от взаимодействий и самовоздействий регулярных волнэ Таков главный вопрос, на котором мы сосредоточим внимание в этой главе. $ с пРизлиженные уРАВнения нелинейнон Оптики 66! Основное внимание при этом мы уделим задачам нелинейной оптики — задачам о нелинейных волновых явлениях в сильно диспергирующих средах, Одним из главных эффектов статистики поля здесь оказывается обусловленный дисперсией групповой скорости распад фазовых корреляций (декорреляция) взаимодействующих волн в процессе распространения. Декорреляция существенно снижает, вообще говоря, эффективность нелинейного взаимодействия и может привести к качественному изменению характера нелинейного эффекта; на смену когерентным взаимодействиям регулярных волн приходят некогерентные взаимодействия случайных воли.

Зги явления детально прослежены ниже на примере таких фундаментальных волновых процессов, как генерация оптических гармоник и вынужденное рассеяние. С другим классом нелинейных волновых взаимодействий— взаимодействиями волн в слабо диспергирующих средах — связаны задачи нелинейной акустики. Закономерности искажения гармонической волны в нелинейной недиспергирующей среде были установлены еще Риманом.

В Э 6 этой главы аналогичные вопросы обсуждаются применительно к шумовым волнам. Надо сказать, что такая постановка задачи представляет не только принципиальный, но и практический интерес: во многих случаях мощные акустические генераторы являются источниками широкополосного акустического шума. Рассматриваемые ниже статистические задачи теории нелинейных волн в математическом плане, несомненно, относятся к наиболее сложным задачам статистической радиофизики. Поэтому в этой главе мы в полной мере используем математический аппарат, изложенный в гл. 1 и 2.

Наряду с усреднением аналитических решений ниже широко используются уравнения для средних, записанные в различных приближениях. В этой главе можно найти и примеры целесообразного использования математических моделей случайных процессов. Так, в 3 4 для решения нелинейной задачи о вынужденном рассеянии в поле шумовой накачки реальный процесс со сплошным спектром оказывается целесообразным заменить многомодовым процессом — процессом с дискретным спектром. й 1. Приближенные уравнения нелинейной оптики, Классификация нелинейных эффектов Поведение интенсивных электромагнитных волн описывается нелинейным волновым уравнением, являющимся следствием уравнений Максвелла (ср. с (4.3.3)): д-'Е д'Р ' д!Р" д' го1 го1 Е + -д.

э + 4л д,. + 4л - д —.,- =- О. (8.! . 1) 552 ГЛ.З. СЛУЧАПНЫЕ ВОЛНЫ В НЕЛННЕИНЫХ СРЕДАХ Линейная поляризация среды Р" определяется соотношением (4.3.2). Нелинейную поляризацию Р"' пассивной, слабо поглощающей среды можно представить в виде разложения по степеням напряженности Е макроскопического поля (параметр разложения )А=Е(Е„Е,— внутриатомное поле).

Тогда (-я компонента нелинейного отклика среды без пространственной дисперсии запишется в виде Р~' (г, () =$ $й'й" Н))д ((', (")Ег(г, 1 — Р) Ед(г, ( — Р— (')+ о + $ $ $ й' й" й Н7дл ((', (", ( ) Е~ (г, ( — Р) х а хЕд(г, Š— Р— (")Е,(г, ( — (' — (" — ( )+... (8.1.2) Здесь Нф~ и Н))дд — компоненты тензоров третьего и четвертого ранга соответственно, Ег — компонента электрического поля. В недиспергирующей среде Н))д = 6)гдб (Р) 6 (( ), Н7~дл = 61)длб (Р) 6 ((") 6 ((") и соотношение (2) становится алгебраическим: Рл"'(г, () =Ь~сулЕА(г, д) Ед(г, 1)+ЬлгДлЕЕ(г, д) Ед(г, 1) Ел(г, (). Используя разложение поля Е~(г, 1) по плоским волнам: Ет (г, () = ~ $л(ыл(де Е~ (ы 'к) елл"л-ы> (8 1 3) запишем спектральное разложение компоненты нелинейной поляризации: Рлд" (г, () = ~ йз ~ ЙйРл"'(ы, к) е~'"' ~'~, (8.1.4) Спектральная компонента вектора нелинейной поляризации, свя- занная с тензором третьего ранга )(уд, равна Р,"д (дл, Ц = ~ ~л(о)'л(Ч')(цд(ы, ы')Ег(ы — ы', К вЂ” К')Ед(ы', 1с'), (8.1,5) )лид (ьь дл') = ~ ~ й' й"Н лэд ((', Р) е- 'л"г ыгл.

(8.1.8) 3 1 ПРИВЛИжЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕПНОП ОПТИКИ Вов Отсюда следует, что спектральная компонента Р,"'(в, й) младшего в разложении нелинейной поляризации по полю члена возникает в результате взаимодействия спектральных компонент поля на частотах в — в', в' с волновыми векторами й — й', й'. Другими словами, соотношения между частотами и волновыми векторами фурье-компонент поля, взаимодействующих на нелинейности низшего порядка (квадратичной нелинейности), и фурье- компонент поляризации можно записать в виде (8.1.7а) соз = о11+ "14 йз = 111+ йз.

Поскольку в соотношениях (6), (6) величины в и )с могут принимать отрицательные значения, кроме взаимодействий типа (7а) в рассматриваемой среде могут быть взаимодействия, например, вида (8.1.76) озз озз о11 )сз йз (с! ' Взаимодействия, удовлетворяющие соотношениям (7), в нелиней. ной оптике принято называть трехчастотными; к ним относятся: сложение частот (в выРождепном слУчае, о1, = о14 = в, генеРациЯ второй гармоники), параметрическое усиление, линейный электро- оптический эффект и т. п. (см.