С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 97

Эти выводы согласуются с экспериментальными результатами [35!. Предельная пространственная когерентность излучения одномодового лазера. В 9 5 нами были рассмотрены временные флуктуации одномодового лазера и установлено, что присутствующее в лазере спонтанное излучение приводит к естественным флуктуациям амплитуды и фазы лазерного поля. Однако спонтанное излучение некоррелировано не только во времени, но и в пространстве, поэтому оно неизбежно вызывает и естественные пространственные флуктуации амплитуды и фазы лазерных пучков. В надпороговом режиме работы лазера естественные флуктуации лазерных пучков в пространстве и во времени являются слабыми. В отличие от частотного спектра, угловой спектр, связанный с естественными пространственными флуктуацпями лазерных параметров, не удается, однако, измерить непосредственно, поскольку он маскируется существенно более сильной дифракционной расходимостью.

Вместе с тем при измерении поперечных корреляционных функций одномодовых лазерных пучков удается обнаружить слабые отличия пространственной когерентности от полной, вызываемые именно спонтанным излучением. Пример такой поперечной корреляционной функции показан на рис. 7.28. Вблизи центра пучка 1.вм0) степень когерентиосчи у' =0,99997 -г-+- 1 10 '.

При увеличении !засстояння з между измеряемыми й т. пРОстРАнстВеннАя когерентность излучения 539 точками профиля пучка значение, у, уменьшается, оставаясь довольно высоким (кривая 1). Для точен, в которых интенсивности составляют ! 1О-' и 1 10-' максимальной величины, значения ,'у(з)( равны 0,9991+:1-10-' и 0,998+:1.10-' 137, 39]. Для лазерного излучения с большей мощностью наблюдалась еще более высокая степень пространственной когерентности (рис. 7.29).

772)/7(а1 ба 1-17( Ху"7зл ба вв ува ува а ав уа уа аа л,мм Рис 7.23 Нормированная поперечная норреляцнонная фуннция низшей моды геляйнеонового лазера [391. Длииа волны излучеиия баа им, мощность излучеиия около 1 мкВг, Превышеийе пад порогом ге. нерадив дл» кривой 1 больше, чем лля кривой 2. Кривая 2 †гауссовск профиль пучка 1(з). Вертикаль»ой чертой отме»с»о значение у(з); для кривой 1, где 1м)/1(О) (О ', Рис, 7.29 Отличие степени пространственной ногерентности излучения гелий-неонового лазера от единицы 137!. Мошиость излучения лазера около (00 м»Вт.

Поскольку к настоящему времени последовательной теории естественных пространственных флуктуаций в лазере не существует, для интерпретации данных рис. 7.28, 7.29 обратимся к простои модели, воспользовавшись аналогией с временными флуктуациями одномодового лазера. Поле одномодового излучения лазера выше порога генерации представим в виде Е(г, 1, г) =р(г)(1+т(г)1схр ! (0)01 — ййг+ф(г)), (7.7.14) где амплитуда р(г) и определяет регулярный профиль пучка, т(г) — случайный коэффициент амплитудной модуляции, ф(г)— флуктуирующая фаза, причем т =(р=О. В соответствии с(14) нормированная поперечная корреляционная функция (1.8.38) равна у(з) =(Е(г, 1, г) Е" (г+з, 1, г))х '(<)Е(г, 1, а)(в>((Е(г+з, 1, а),'>) — ' (а — 'ае(')).

(7,7.15) !+!ггз Здесь Лф(з) =(р(г+з) — (р(г) и рш(з) =(т(г) т(г+з))1(т'). йло Гл. т Флуктуации и ГенГРлтоРлх По аналогии с временными флуктуациями будем полагать, что (ехр[ — (Л<р(з)[) =ехр [ — В,з[, где Вь — коэффициент поперечной диффузии фазы. Для смещений а таких, что у„(з) ~0 и В,з(1, с учетом (тз) -~! выражение (15) преобразуется к виду у (з) 1 — (из) — В, з.

Отсюда следует, что , (! — 7(з)) — В,. (7.7. 16) Обработка данных, показанных на рис. 7.28, кривая 1, в соответствии с рассмотренной моделью дает (пса) ~3.10-', В„= 8 10-'см-'. (7.7.17) Приведенная оценка (тз) согласуется с данными по временным флуктуациям (см. 2 3, а также (39!). С поперечным коэффициентом диффузии фазы Вх, по аналогии с коэффициентом В во временной задаче, ответственным за естественную ширину линии, можно связать естественную угловую расходимость Лй,: М,=В,(й,= 10-. (7.7.18) Это значение существенно меньше дифракционной расходимости лазерных пучков Ьй„)иа 1О-з — !0-4 (а — радиус пучка). Кривой, изображенноп иа рис.

7.29, соответствует значение В =- 10-' [37]. Заметим, что естественная угловая расходимость лазерных пучков оказывается связанной с естественной шириной линии. Соответствующее рассмотрение, основанное на анализе усиления шума в резонаторе, приведено в работе [38!.

В 8. Самовозбуждение автоколеоательных систем и фазовые переходы Порог самоиозбуждеиия в гомсоповском генераторе и лазере разделяет области, в которых поведеиие системы существенно различно. В идеальиом автономном геиераторе (флуктуациояные виешиие силы отсутствуют) киже порога самовозбуждеиия амплитуда колебаний Л=О; выше порога имеется ненулевое устойчивое состояние Амплитуда автоколебаиий по мере превышения порога геиерации иарастает либо плавко 1такой режим в теории колебаний иазывают мягким режимом самовозбуждепия; именно ои рассматривался изми в 1 2 примеиительио с томсоповскому геиератору и в 1 6 для лазера), либо скачком Последний режим называют жестким режимом самовозбуждеяия; ои реализуется в системах, для которых в укорочеппоя урависиии (7 2 28), описывающем поведсиие амплитуды, следует добавить члены вида рч (см, например, (17, чч!), 4 з слмовозеу)кдеиие и ютзовые переходы Особой точкой оказывается, как мы убедились в предыдущих параграфах порог самовозбуждення н в отношении флуктуаций колебаний.

В подпороговой области по мере приближения к порогу флуктуации быстро возрастают, а время корреляции увеличивается. Статистические характеристики колебаний ниже и выше ворога самовозбуждення существенно различаются: ниже порога мы имеем дело со стапионарным гауссовскцм шумом, а в надпороговой области процесс становится существенно иегауссовскнм. Расчет статистики колебаний в припороговой области относится н числу наиболее трудных задач теории флуктуаций в автоколебательных системах. Поэтому здесь актуальна не только разработка новых методов расчета, но и привлечение новых теоретических подходов.

В этом параграфе мы обсудим кратко возможности использования в теории флуктуаций и генераторах радиодиапазона и в особенности в лазерах методов теории критических явлений, разработанных при изучении фазовых переходов в физических системах. Надо сказать, что даже при чисто внешнем сопоставлении самовозбуждення генератора и фазового перехода между этими явлениями обнаруживается много общего.

В точке фазового перехода, как и при самовозбужденин генератора, схачкообразно изменяются свойства физической системы; во многом сходно и погедснне флуктуаций вблизи критической точки (порога самовозбуждения, критической температуры). Насколько далеко простирается эта аналогия? Ниже мы убедимся, что уравнения вида (7.5.23), (7.2.9), описывающие самовозбужденне лазера (или томсоновского генератора) в мягком режиме, совершенно аналогичны уравнениям используемым для описания в приближении самосогласованного поля фазового перехода второго рова, например типа порндок †беспоряд, и фсрромагнетпках н сегнетоэлекгрикзх При этом аналогом фигурирующего в физике фазовых переходов параиетра порядка для генератора оказывается коыплексная амплитуда колебаний, а температуры— параметр накачки [41 — 43). Лля лазера, излучение которого слагается из вкладов отдельных атомов, образующих трехмерный ансамбль, этой аналогии можно сопоставить и довольно наглядный физический образ.

В далекой яодпороговой области атомы активной среды излучают спонтанно и независимо друг от друга (для ферромагнитного фазового перехода этому соответствует хаотическая ориентация спиноз в пэрамагннтпой фазе). По мере приближения к порогу все большим становится вклад процессов вынужденного излучения, сохраняющих когерентность, †возраста радиусы пространственной н временной корреляции суммарного поля (возрастаег радиус корреляции флуктуаций параметра порядка при подходе к критической точке), Наконеп, в надпорогопой об асти вынужденное излучение доминирует; формируется лазерное излучение с высокой пространственной и временной когерентностью †д ферромагнитного фазового перехода этому соответствует возникновение упорядоченной системы спиноз в ферромагнитной фазе, Разумеется, близость теоретического описания, наглядные соображения, пряведенные выше, еще не свидетельствуют о полной идентичности явлений.

«Фазовый переход» в лазере слсдуст отнести к так называемым неравновесным Гл т Флуктуации В ГеиеРхтОРхх А — (р — () ! А з) А=ючц ((), (7.8.1) где р=б — а и т) (() — комплексный случайный процесс, удовлетворяющий соотношениям (7.2.8,19б). Уравнение для огибающей р (!) процесса А (!) имеет вид (7.2,28). Соответствующее ему стационарное решение уравнения Фохкера — Планка (7.2.30) для функции распределения интенсивности ! рз/2 дается выражением (7.5,29); ю(!) е 7 (7 8.2) Здесь (7,8 3) (з — постоянная величина, определяемая из условия нормировки (2). 74 (п(4)Р-'Ф„-ОД, 4-РЯ =(а(()) (в — 1).

ВыРазим (3) чеРез комплекснУю амплитУдУ ()=т(з(А (з): 7 (А А') = )з — 2 (сс)()) (е — 1) ' А з -1- ' А '4. (7.8.4) (7.8 5) В случае, если на лазер действует внешний регулярный сигнал с ((), то справа в (!) появляется дополнительный член и функция (5) принимает вид ! (АА*) )з — 2(пА)) (е — 1) ! А~э+~ А!' — А(!) з* (!) — А*(() з(Г). (7 85) Функция распределения (3) похожа на функцию распределения, например, магнитного момента М ферромагнетнка (40, 42): ю (М) =С' ехр ( — Ф (М)!кТ), (7 8.7) где н — постоянная Больцмана, Ф (М) — свободная энергия Ф (М) 2 Кз (Т Твн™ ~ 4 Кз™ ! ! (7.8.8) Здесь Т„р-критическая температура, Π— напряженность внешнего магнитного поля, К; — постоянные коэффициенты, В теории критических явлений величина М является параметром порядка.

фазовын переходам: лазер находится под воздействием источника накачки. Мы не будем обсуждать проблемы, связанныс с критическими явлениями в системах, далеких от состояния теплового равновссня; интересующегося читателя отсылаем к книгам (59, б0) и обзору (48) Ниже мы сформулируем теорию лазера в терминах теории критических явлений (для этого потребуется определить эквивалензные термодинамнческий потенциал Т и свободную энергию) и продемонстрируем плодотворность такого описания на примере исследования закономерностей формирования поперечной пространственной когерентности излучения лазера при подходе к порогу само. возбужденна.