Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика

С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 96

Описание файла

PDF-файл из архива "С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика", который расположен в категории "книги и методические указания". Всё это находится в предмете "математические модели флуктуационных явлений" из седьмого семестра, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 96 страницы из PDF

ьч 3 тл 5) В~а> (т) — ~ /» -1 Р) / В 1. г) б/ Очевидно, чем вы~не порядок 0ункцпи Воь (т), тем ближе форма последней к форме /(т), Точный вид /(/) можно получать, если аондврующий импульс /" т(/) является 6-функцией й 7. Пространственная когерентность излучения лазера Спонтанные шумы, статистика возбуждения многих поперечных мод приводят, очевидно, к тому, что поперечная структура реальных лазерных пучков становится случайной (57). Чеы определяются характерные масштабы поперечных корреляций лазерного излучения пли, иными слоьзми, его пространственная когерентностьр Мы кратко обсудим эту проблему для двух предельных случаев — многомодового по поперечным индексам лазерного пучка (эту задачу можно рассматривать как пространственный аналог задачи о н)юмениой стятпстн!ге мио! о'!олиного излучения) и одноью,игошо и л) ~ев я. Б последком сл) ае принципп .шим ие)стра- Гл.

г Флуктулции В ГепеРАтОРАх нимым фактором, приводящим к невозможности генерировать пучки с идеальной пространственной некогерентностью, являются 6-коррелированные в пространстве источники спонтанного излучения. Такил! образом, мы приходим к аналогу временной задачи о естественной ширине спектральной линии. Обратимся прежде всего к исследованию многомодового лазерного пучка и оценим характерные масштабы пространственных корреляций, обусловленных возбуждением большого числа попе. речных мод со статистически независимыми фазами. Будем предполагать, что возбуждаемые в лазере моды с различныл!и поперечными индексами т и и вырождены по частоте.

Тогда многомодовое поле лазерного излучения можно записать в виде Е(г, г, 1)= ~ч', А „(г, г)ехр((в!В( — йг+ф „), (7.7.1) где А „и !р„„— не зависящие от времени г комплексные амплитуды и фазы мод, г — координата вдоль направления.распространения пучка, отсчитываемая от области наименьшего радиуса (перетяжки) лазерного пучка. Амплитуда А „(г, г) в общем случае является медленной функцией г.

Распределение амплитуд А „зависит от типа оптического резонатора и формы зеркал. Наиболее простой вид амплитуды А„„ имеют для плоского резонатора. Пусть резонатор имеет прямоугольные зеркала; в этом случае 133) А„„(г) = А,„„(х, у) = й „~ (х) („(у), (7.7.2) где созигпх, т=1,3, ..., 1„(х) =, ' ' ' '"' (7.7.3) з(п хтх, т= 2, 4, ..., и = и (2а(1+0 824 (1+!) (1!4яа)])-!. Здесь 1 — длина резонатора, 2а — размер зеркал по оси х.

В (2) й „вЂ” весовые коэффициенты, определяемые распределением интен- сивности по модам, Вид, аналогичный (3), имеет функция )„(у). В соответствии с (1.8.28) для пространственной поперечной корреляционной функции на выходе резонатора В, (з) = (Е(г, г, !) ЕР (г+з, г, 1)) в случае статистически независимых фаз мод Ч!,„, имеем В, (з) = ) , '(А „ (г, г) А* „ (г + з, г)). (7.7.4) Рассчитаем корреляционную функцию (4) вблизи центра пучка (г =0). Зададим гл!е!цение ч Вдоль оси г н бу~см считать, ~!Чс! ьОЗОуждьются поперечные латы с индексами Ог!и = 1 до а! — -О!А, $ Т.

ПРОСТРАНСТВЕННАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ бзз пусть для определенности л/А нечегно и коэффициенты сг„„оди. иаковы; тогда получаем (аз+ т)м ВА (з) = 2 ~Ч,' сон х* (2д — 1) з =з[п[(Аз + 1) хз[созесх*з. е ! Многомодовые лазерные пучки; статистически независимые моды, Модуль степени пространственной когерентности при числе й[з,л 1 равен (ср. с (5.4.26)) в(н (М хвв) [у(з)[= „„„'(„, . (7.7.5) Функция (5) является квазипериодической. В реальных случаях длина оптического резонатора [))а, а число Френеля йав[2х[= 1.

С учетом этого из (5) нетрудно получить следующее значение радиуса корреляции "): г„- а(й?,. (7.7.6) Таким образом, для многомодовых лазерных пучков, возбуждаемых в плоском резонаторе с прямоугольными зеркалами, радиус корреляции обратно пропорционален числу возбуждаемых поперечных мод й[,. Формулу (6) можно рассматривать как пространственный аналог формулы (5.4.27) для времени корреляции многомодового излучения, генерируемого лазером с несинхронизованными модами. Вместе с тем следует подчеркнуть, что (6) можно использовать лишь для довольно грубых оценок.

Отличия экспериментально измеренных и рассчитанных по (6) значений радиусов корреляции могут быть связаны с неоднородностями (в том числе в статистическими) активной среды лазера, с неравномерностью распределения интенсивности по модам и т. п. Заметим, что при наличии неоднородностей даже для плоского резонатора более адекватной оказывается модель сферического резонатора. Однако прежде чем перейти к анализу модели сферического резонатора, покажем, что приближенный расчет радиуса корреляции лазерного поля со статистически независимыми модами можно выполнить более простым способом, оценивая средний размер неоднородности по возбуждаемым модам.

В соответствии с (3) размер неоднородностей по половинному уровню т.й моды можно оценить как г -2асл!. Предположим, что возбуждается й[, поперечных мод, причем Л!з "-1. Тогда радиус корреляции поля Л! Л ! ! чч 2а чч [ 2а 2а(п Ас г„= —,7, га — ~ -- — — (0,58+[я й[!) — . (?.?.7) [У т 1 «с ! "! Другим способом формуле (б[ была получена в [341. Гл 7 ФлуктуАнип в ГенеРАТОРАя Выражение (7) дает практически такую же зависимость от числа поперечных мод МА, что и выражение (б), полученное более строго. Применим теперь только что изложенный способ для определения радиуса корреляции поля сферического резонатора.

Поперечное распределение поля моды сферического резонатора с одинаковыми зеркалами круговой формы радиуса кривизны )с дается выражением 133) Алт (г, г) ~ Алт (Р* гр, г) =Ь, Р (т (Р) е ' сов аЩ. (7.7.8) Здесь 7„" — полиномы Лагерра, п и т — радиальный и угловой индексы, р = рого/юо (г), иР (г) = иР (О) (1+ 4г Ь о) шо (О) = Ьро(2Ьо, ю (г) — радиус моды на расстоянии г от ее перетяжки, Ь = (2И вЂ” (о) по — конфокальный параметр резонатора, ро = (т+ 2п+ 1) + 1(2и+ 1) (2т+ 2и+ 1)ги. (7.7.8а) В лазерах с квазиконцентрическимн резонаторами число возбуждаемых поперечных мод М, может достигать 10' — 10'155). В атом случае можно пользоваться асимпчотикой функций 7.„"(р) при и~о!.

Тогда распределение (8) принимает вид А„Ь„(и'р) ""п"' — г х х соз ~2 (ир)'и — — „- и (т+!)~ соз тар. ! (7.7.9) Отсюда следует, что по половинному уровню масштаб радиальных осцилляций (размер пятен) равен г„(г) = иш (г))3 (про) '~-''. (7,7.10) Число мод с индексом и определяется возможными значениями индекса т. Согласно (8а) индекс т изменяется от нуля до т, то = т, (и) = ро — 12ро (2п+ 1)11/-'. 'л 1 кч г„(г) = — г то(и) г„(г). А л= о (7.7.11) Здесь и '"=(ро — 2)(4 — максимальное значение и, найденное из а (8а) при условии, что радиус моды равен радиусу пучка и т — --О.

Оценим радиус корреляции пучка как средний размер пятна по всем модам с индексом и: $ Т ПРОСТРАНСТВЕННАЯ КОГЕРЕНТНОСТЬ ИЗЛУЧЕНИЯ 637 Выразим величину М через параметр р01 Мь равно сумме всевозможных комбинаций и и и, удовлетворяющих (8а), т. е, „мвк аа» 0 ра+Зра — 2 Узри 1 )ус = ~', упо(п) = ,~~~ по(ло) = ' 12 + 2- (7.7.12) а!=0 Лля моды нулевого порядка р,= 2 и 7т)ь =1. Для расчета (11) заменим суммирование по и интегрированием; в приближении ро~.-! (!У, ~1), в котором только и имеет смысл проводимый расчет, для радиуса корреляции получим г„)ГЗНУ(г) Ма О .

(7.7.13) Выражение (13) показывает существенное отличие зависимости радиуса корреляции от числа поперечных мод для сферического резонатора по сравнению с зависимостью (6) для плоского резонатора. Это обусловлено тем, что с увеличением номера радиального индекса и размер поперечных осцилляций в моде становится обратно г пропорциональным )г и (10). В соответствии с (13) отношение ггуг Гк(г)/Зр(Я) НЕ ЗаВИСИт От РаССтОЯНИЯ г И определяется только числом поперечных мод.

Зависимость (13) экспериментально -а о а ° ° а с (аь1( а» тля ДЛЯ значениЯ Лг„-!Оа гк(00 10', если радиус пучка иу 1Π— 1 мм, то радиус Рис 7 2Е Завгтсимость корреляции г„10 — ИО мкм. ' отношения диаметра пуч- ка Р—.2ш к радиусу кор- Изменение вида поперечной коррсля релянии поля г, от параЦИОННОй ФУНКЦИИ ИЗЛУЧЕНИЯ Лавсра С МЕтРа 1е=-(02) Ф1З(0) 1Я Р уменьшением радиуса корреляции (ростом !зз!. числа поперечных мод) иллюстрируется ст(01 — наименьший диаметр .о пучка, о в угловая расходи- КРИВЫМИ РИС. 7.

7, ВИДНО, ЧТО ПРИ бОЛЬ мость пучка в дальней ионе. шом числе поперечных мод (кривая у) точ'н " '"""" ' — 'к'пер- ментальнме значения, линия ПОПЕРЕЧНая КОРРЕляцИОННзя ф) НКЦИя сТз- т — теоретическая, рассчитан. новится похожей на корреляционную функцию (4.5.13) 6-коррелированного излучения, дифрагированного на круглом отверстии (см. также рис. 4.15). Для больших значений )у'ь пространственная статистика многомодовых пучков становится гауссовской (см, рис. 5.29). Из анализа (8) следуют и другие особенности пространственной когерентности многомодовых пучков.

Поскольку с ростом аргумента полинома Лагерра 5„"'(р) расстояние между нулями увеличивается, мас~ ~таб радиальных неоднородностей поля и, следовательно, радиус корреляции увеличиваются к краю пучка, гл, т, влуктудцин в геиввлтордх Кроме того, от расстояния г зависит масштаб неоднородностей поля по углу, г пг)тп. Таким образом, многомодовые лазерные пучки, возбуждаемые в сферических резонаторах, являются !у!а)1 а Гхг да ад аВ 1д )г 44 амм Рнс. 727, Нормированная поперечная корреляционная функция излучения лазера на алюмонттрневом гранате для различного числа поперечных мод М,: 7) 45; 2) — ВЗО; 3) — 1О' (без селекции поперечных мод) !Зо!. статистически неоднородными.

Свежие статьи
Популярно сейчас