С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 93

)Тействительно, пользуясь линеаризованным уравнением (3) ( Р=- О), можно получить р ' = пызС)(ж. В статистическом асссамбле параметрических генераторов, самовозбуждаюшихся с начальным условием ЬР (О) чь0 и подверженных случайным воздействиям, флуктуационные переходы нз одной области притяжения в другую будут приводить, очевидно, к выравниванию вероятностей Р, и Р„т. е, ЕР (!) -ь0 и, следовательно, А((! -ьсо)-ьсо. Лля наиболее интересного случая максимального значения ЬР (О) функцию РаспРеделениЯ ((За) вблизи сепаРатРисы можно пРедставить в виде (сус =сутр = = и/2) б)8 ГЛ т ФЛУХГУХИИИ В ГтгНГРХТОРАХ Пользуясь формулой для величины Г и вводя добротность генератора (7р=е/2гх, приходим к результату бР (О) — — влаги()е соз 2гр„.

)((гд) а гр Полученный результат вполне понятен; с ростом козффнциента модуляции Гл уменьшается время установления фазы, т, е. увеличивается скорость скатывания изображающих точек в потенциальную яму, а с увеличением доброт. ности (7е увеличивается роль начальных условий. й 5. Временная статистика колебаний одномодового лазера В этом параграфе мы рассмотрим естественные флуктуации излучения квантовых генераторов оптического диапазона. Как мы убедимся ниже, эта задача оказывается во многом аналогичной задаче о естественных флуктуациях в томсоновском генераторе, рассмотренной в 2 2.

Исходными уравнениями при полуклассическом описании процесса лазерной генерации являются уравнения Максвелла для электромагнитного поля и уравнение для матрицы плотности атомов среды. Электрическое поле внутри лазерного резонатора будем описывать уравнением (ср, с (4.3.3)) с'ЛЕ=2 д, + —,+4н — „„.

дЕ бхЕ дхР (7.5. 1) Е (1, г) = ~~~ ~Ед (1) (7д (г) д где (7 (г) — собственные функции одномерного «резонатора»: (т (г) = з)п йдг, йд = иг771, (7.5.3) 1 — длина резонатора, о — целое положительное число. Подставим (2) в уравнение (1) и умножим на 0 (г). После интегрирования по г, учитывая ортогональность функций (7 (г), получим следующее уравнение для Е,(1): г)аЕд (Д ст д Р) г)хрд (б Здесь эффективная проводимость а учитывает как активные потери внутри резонатора, так и потери, обусловленные дифракцией и отражением на зеркалах, Для анализа временных свойств лазерного излучения в большинстве случаев можно не рассматривать поперечную структуру лазерных пучков и учитывать изменение поля лишь вдоль оси резонатора (оси г).

Решение уравнения (1) ищем, таким образом, в виде (7.5.2) $ А СТАТИСТИКА КОЛЕВАНИИ ОДНОМОДОВОГО ЛАЗВРА 619 где ь5 =юг, и Р,(1) — пространственная фурье-компонента поля- ризацйи Р(1, г): Р (1)= — Р(1, г)51пйгг Нг. 2 Г (7.5.б) Если процесс Р,(1) квазимонохроматический со средней частотой е, то можно сделать замену й5Рд — — иэР . ДМ Ф' Выразим потери 255 через добротность 95 д-й моды резонатора: 255 = ыЯР.

(7.5.6) Тогда уравнение (4) принимает форму уравнения вынужденных гармонических колебаний: Д2Е и ДЕ (7.5.7) Поле Е,(1) создается поляризацией Р, которая в свою оче. редь создается атомами активной среды. Поэтому для решения самосогласованной задачи нужно произвести квантовомеханиче- ский расчет поляризации Р„основанный на анализе поведения атомов в электрическом поле. Такой анализ выходит, однако, за рамки нашего рассмотрения. Поэтому здесь мы воспользуемся известными результатами, Пусть Е(1) =Е (1) =рсоа(в 1+~р).

(7.5,8) Поляризация активной среды на частоте ьз, прн учете кубнч- ной нелинейности может быть записана в виде (2, 16, 17, 19) Рг(1) =(Век-;-ЙеВр')рсоа(ь551+~)+ +(1шк+Ьпар5]рззп(5551+5р), (7,5.9) н и  — линейная и нелинейная восприимчивости среды, йе и 1ш означают соответственно действительную и мнимую части. Если предположить, что частота в, приходится на центр линии люминесценции активной среды (ы =555), то 1тк=йеВ =О. При этом уравнение (7) принимает вид, аналогичный (7.2.9): и'5Š—,— 2(б — а — ррэ)д +555Е=О, 5 ае М' Д! (7.5.10) где введены обозначения б = ыэ 11п н!2, ~ = 55о! т В/2. Уравнение (10) описывает колебания в отсутствие шумового воз- действия, Как и в томсоновском генераторе, собственные флук- туации в лазере приводят к появлению случайпоп внешней силы В (1).

З2О гл. х флгктэхции в гвнволтоохх Естественными источниками шума в оптическом диапазоне являются тепловые шумы резонатора С, и спонтанное излучение атомов (молекул) активной среды $,„; последнее играет особенно важную роль. С учетом шума лазера уравнение (10) следует записать в виде —, + 2 (а — б+ ~Ро) йг + оооЕ = $ (Г), (7.5.11) ооЕ о оЕ где (7.5.12) —, + 2а — -1-о4Е = о,(г). ноЕ оЕ (7.5,13) Согласно (13) для спектральных амплитуд поля Е (Г) инеем: о (оз йзйм ь1 — оз' -)- 2!оза (7.5,14) Отсюда находим спектральную плотность флуктуаций поля: 6 ' — ' — — г751 о' (~) оо1 озо ~,.

2ооа о Иги ори 4,ои,. о ( ) Средняя энергия одной моды резонатора в окрестности частоты;о (и (о~о)о =- 1 6с(~ )г!оз — -, п6,(озо) (7 5!6) Свойства феиоменологически введенных б-коррелированных случайных сил $,(Е) и 1,о(1) мы определим следующим образом, Спектральную плотность теплового шума в резонаторе лазера 6,(оз) можно непосредственно рассчитать, пользуясь результатами 3 9 гл. 4.

Что же касается спектральной плотности спонтанного шума 6,„(оо) в инвертированной системе, то, как это обычно делается в квантовой электронике (см., например, 1531, с. 236), мы определим ее вблизи порога генерации как «эквивалентный тепловой шум» среды с отрицательной температурой. Для этого в выражение для 6,(оз) надо ввести определяемые инверсией отрицательную температуру и отрицательные потери, Последовательное описание случайных источников в лазере должно базироваться на квантовой теории 124]. Отметим вместе с тем, что излагаемая ниже простая полуфеноменологическая теория правильно описывает такие основные характеристики, как ширина линии и уровень амплитудных флуктуаций лазера. Спектр случайного источника; укороченные уравнения.

Обратимся сначала к расчету тепловых флуктуаций в пассивном резонаторе (б=р =О). при этом уравнение (11) принимает вид $5 ГТАтистикА кОлеБАний Одномодового лАзеРА 52! (7.5.2 1) А(Г) — комплексная медленно меняющаяся амплитуда. Используя методику получения укороченных уравнений, придем к уравнению (ср. с (7.2.9)) А+(а — 6) А.+ 11 ~ А,вА =в,г)(Г), где Ч (Г) удовлетворяет соотношению .- (1) = мат) (1) е' < "и ь юм + к.с. (7.5.2:1) )гак и при рассмотрении флуктуаций в томсоновском генераторе, случайные силы $(Г) и г)(Г) будем считать 6-коррелированнымн: 5=0, (вч,-)=2пбь(ГАБ)6(т), (7.5,25) т) = О, (9Ч",", =- про'ОЬ(ыР) 6 (г).

(7.5.28) В то же время энергия моды есть средняя тепловая энергия, равная (см. (4.9.18а)) т) — 1 1 где л — среднее число фотонов в моде, )г=й/2п, Ь вЂ” постоянная Планка, к — постоянная Больцмана. Из (16) и (17) находим выражение для спектральной плотности тепловых флуктуаций: (7.5.18) Воспользуемся соотношением (18) для нахождения спектральной плотности спонтанного шума лазера, работающего вблизи порога генерации, Заменим Гг на — 6 (отрицательное поглощение), а отрицательную температуру Т, которая соответствует системе с инвертированной населенностью, выразим через населенность й(, верхнего и М, нижнего уровней атомов: е — Ау(к Г ЯЛ 2 (7.5.19) я1 ' АГ1' где ГÄ— кратность вырождения уровней.

Следовательно, получаем В соответствии с (18) и (20) для спектральной плотности флуктуаций шума $(1) имеем Здесь частота м близка к в, и учтено, что вблизи порога генерации а~б. Теперь вернемся к уравнению (11). Будем искать его реше. ние в виде (7.2.7): Е (Г) =- — А (1) е'"'к + к.с.; 1 (7.5.221 622 ГЛ. т ВвпнхтУВИИИ И ГннрратОРДХ Из сравнения (!1) и (7.2.5) следует, что между случайными функциями и их спектрами имеет место соответствие $ (Ф) -) о)йа ()), (7 5.27) ()й (0)0) -) 0)Фь (сна).

С учетом этого соотношения для анализа флуктуаций в лазере можно полностью воспользоваться результатами 2 3, вытекающими из решения укороченного уравнения (7.2.9), тождественного (23). Из сказанного, в частности, следует, что в надпороговом режиме юл (пЛгц аг цгг ггг ггг ггг гз/гл,лГц Рис. 7.!6 Спектр ~астотных флуктуаций гелий-неонового лазера длн разлив. ных знапени.') полной мошности генеоапии 12)1: о )000, т) 000 и 3) нв ккнт )длин» волны влуксввн взз нн). Рввнврностл спектре не- охотных флуктулнна Гдв/ГИ. генерации лазера амплитудные") и частотные флуктуации излучения описываются соответственно выражениями (7.2.37) и (?.2.45), в которых надо учесть соотношение (27).

На рис. 7.16 показан спектр частотных флуктуаций лазера. В согласии с теорией спектральная плотность частотных флуктуаций уменьшается с ростом генерируемой мощности. Как уже отмечалось ранее, в области низких частот рост спектральной плотности обусловлен техническими флуктуациями. Заметим, что для измерения частотных флуктуаций излучения лазера приме- ') Распределение амплитуды колебаний лазера впервые было измерено в работе [61. $ Б. СТАТИСТИКА КОЛЕВАНИИ ОДНОМОДОВОГО ЛАЗЕРА 828 няют оптическое гетеродиннрование (см. 2 4 гл. 5), при этом задача исследования сводится к анализу спектра флуктуаций разностной частоты двух лазеров. Естественная ширина линии.

Обратимся теперь к вопросу о ширине линии лазерного излучения, связанной с принципиально неустранимыми шумами лазера, со спонтанным излучением. Выше порога генерации лазера естественная ширина линии определяется выражением (7.2.53), где следует учесть соотношения (27) и (21). Примем также во внимание, что излучаемая средой средняя мощность Р=айв (Р включает как мощность на выходе лазера, так и мощность, идущую на компенсацию потерь).

При этом для естественной ширины линии лазера получаем*) 2на (Ьчя)~Ать Г Фя где Лир — сс/и — ширина линии пассивного резонатора. Формула (28) аналогична формуле (7.2.54а) для ширины спектра колебаний томсоновского генератора. Различие лишь в величине энергии шума, которая в томсоновском генераторе равнэ КТ ',, а в лазере Йче л+ у ' ~]. Для квантовых генераторов формула (28) была получена впервые Шавловым и Таунсом [201. Приведем два численных примера.