С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 91

» » Подставляя сюда (2), (3) и пользуясь табличными интегралами 3.383 (ГР, с. 333), получим Р=(1 — е-')-'>'ек>х»х(У" »х >л(К(т)), (7.3.8) Р'=2ОДе'Кх(т) ек<'>Г ( — 1, К( )). (7.3.9) Здесь Яу >г>»х(х) — функция Уиттекера, Г(а, х) — неполная гамма-функция и введено обозначение К(т)=Р,' Д2о3(е' — 1)1. (7.3.10) В большинстве практических случаев отношение К,=р' /2о' весьма велико (К„10' — 10', а в ряде случаев 10х), так что для большей части процесса установления можно принять К(т) >1. При этом формулы (8), (9) можно упростить. Так, для (9), воспользовавшись представлением Г (а, х) в виде непрерывной дроби: Г (а, х) = 2 — а >т х+...

получаем р' /2 Рх (7.3.11) >+(р' /4оо — >)~ Следует помнить, что выражение (11) справедливо для не слишком больших значений т в силу условия К(т)~1. Пользуясь соотношениями для гамма-функций Г(а, х)=Г(а) — у(а, х), х- у(а, х)= нетрудно убедиться, что при болыпих временах т(К(т)(1) независимо от величины начальных флуктуаций достигается одинаковое установившееся значение интенсивности колебаний Р'=р" . На рис. 7.10 показано временное поведение дисперсии амплитуды о' Р' — Р', найденное с помощью (8) и (9). Интенсивность начальных флуктуаций ой влияет на время /у достижения заданного уровня средней интенсивности.

Если р (/)/р-' =1 — е,, е,~1, а а устАнОВление кОлеБАнии В ГенеРАтОРе то согласно (3) 2ту р( = !п —, — ! ~~ ео' = !п — ео'. (7,3. 12) Пользуясь (2) и (3), можно найти одномерную функцию распределения времени достижения определенного уровня амплитуды р(Г)=р. Лля этого время 1 необходимо рассматривать как функцию ро. Вычисления, подобные примененным для расчета (7), дают игр (т) = ...,ехр ~т — К,~1+ ( — — ! ~ ет~ ).

(7.3.13) Распределение (13) показано иа рис. 7.11. Летальный анализ статистических характеристик времени т на основе (13) возможен только с привлечением численных методов. г нг З Ггг-г йт р у и а Лля значений т, при которых К(т)~1, генератор ведет себя как линейный контур с отрицательным сопротивлением. В связи со сказанным, полагая в (7) и (13) р~р, нетрудно получить упрощенные выражения (7.3.14) Гпр (т) = †,, ехр ~ — ~т + †, е-')).

(7.3.15) На рассматриваемом линейном этапе функция распределения амплитуды (14) является рэлеевской с экспоненциальио нарастающей Рис. 7.10. Нестапионарная относительная дисперсия амплитуды колебания ог = опг(р". (рт — р ]/р' для параметра Ко = 200 (1) и 2 1 0' (2). рис. 7.11. 4гункпия распределения вре мени достижения уровня ра (11 Крг ° т= р(/2. 510 Гл. т. ФлуктуАции В ГенеРАтОРАх дисперсией ор (1) 0,5 (4 — и) печет.

Функция распределения времени (15) — несколько несимметричная, с максимумом при т „=1прз/2о$ (7.3.16) (1 = 2т,„/р — наивероятнейшее время достижения амплитуды р) и дисперсией ог = (0,64/р)'. (7.3.17) Влияние флуктуациониой силы на статистические характеристики амплитуды. Наличие флуктуационных сил (правая часть уравнения (1)) вносит возмущение в рассмотренные выше амплитудные траектории. Прн проведении количествен- ной оценки можно зафиксировать маг (б~Фс т -г начальное значение амплитуды ре и исследовать флуктуацнонное разммтне выбранной амплитудной г траектории, а затем воспользовать.

ся статистическими характернстнкамн амплитуды р„. В общем саучве флуктуации з начальной амплитуды ра и флуктуайдр ции внешней силы влияют неадднтнвно на интенсивность колебаний. Вместе с тем в некоторых р гд нг гсс тру гдд йсс случаях исследование нестацнонарной статистики устанавлнвающнхся колебаний при наличии флуктуацнонной силы угается свести и задаче исследования установления колебании в генераторе со случайной амплитудой 111).

Следует подчеркнуть, что сказанное нельзя распространить на установившийся режим генерации. Как было показано выше, флуктуации начальной амплитуды колебаний не влияют на ее установившееся значение. В то же время, как следует нз 4 2, флуктуацнонная сила вызывает флуктуации амплитуды колебаний а в режиме развитой генерации. Отметим, что экспериментальное исследование статистических характеристик амплитуды н времени для достижения определенного уровня амплитуды в процессе установления колебаний описано в 1111, где получено согласие с теорией (см.

также рнс. 7.12). К вопросу о статистических свойствах колебания в процессе установления мы еще вернемся в й б. % с одноконтгрныи пхехметрическии генвехтов 51! $4. О флуктуациях в генераторе с несколькими устойчивыми состояниями. Однокоитурный параметрический генератор (7,4.3) Рассмотренный в предыдущих параграфах томсоновский генератор с мягким самовозбуждением (кубичной нелинейностью) является типичным примером генератора с устойчивой амплитудой и произвольным значением фазы.

Характер установившегося движения в генераторах подобного типа определяется в основном динамическими силами системы. Иное положение для генераторов с несколькими устойчивыми состояниями, различающимися гмплитудами или фазами, в которых выбор того или иного состояния определяется начальными условиями. В этих генераторах роль флуктуационных воздействий, в особенности воздействий на начальных этапах процесса установления колебаний, принципиальна: флуктуации существенно влияют на характер установившегося движения, определяя в ряде случаев выбор устойчивого состояния.

Последнее обстоятельство представляет наибольший интерес при изучении флуктуационных явлений в таких генераторах [12 — 14]. Анализ осоренностей процесса установления в генераторах с несколькими устойчивыми состояниями мы проведем на примере одноконтурного параметрического генератора, обладающего двумя устойчивыми состояниями, отличающимися фазой генерируемых колебаний. Будем рассматривать одноконтурный параметрический генератор с переменной емкостью (см. рис. 6.2), в котором ограничение стационарной амплитуды колебаний происходит за счет нелинейного сопротивления с инерционной квадратичной характеристикой [!]: )с = Ь',+ 26и' (усреднение производится по периоду колебаний).

Колебания в таком генераторе описываются уравнением (ср. с (6.2.3)) и+2(а+2йй)и+вр(1+та)п(в„1+гр„))и=О, (74,1) где и — напряжение на постоянной емкости, в, — собственная частота контура, т — коэффициент модуляции емкости. Если решение уравнения (1) искать в виде и(() =р(1) сох(- в„1+ ~р„— гр(1)), (7.4.2) где р(1) и гр(1) — медленно меняющиеся амплитуда и фаза, то соответствующие укороченные уравнения параметрического генератора принимают вид ир à — = р [ — + — сох 2<р — ()р ], ввн 21 ш = йв„— ~" гбп2~р.

(7.4.4) Здесь )1 = [')4вц — вфв,'-' — относительная отстройка. шг ГЛ. Г ФЛУКТУАЦИИ В ГЕНЕРАТОРАХ Для простоты будем считать /Г=О (о»„=2о»е). В этом случае стационарные значения фазы определяются выражением ззп 2гр = О. (7.4.5) Из (5) получаем четыре возможных значения фазы: <р = О, л/2, — л/2, л. (7.4.6) Для фаз ~р =л/2 и гр = — л/2 (сов 2Ф =созл= — 1) парамет- рические колебания подавляются. Фарз1е я зы ср =О и гр =л (созгр = 1) соответствуют устойчивым параметрическим колебаниям, для этих значений фаз энергия накачки передается ко. лебаниям, Из (3) при р = О следует, что в параметрическом генераторе возможны два устойчивых состояния, которым соответствует одинаковое значение С установившейся амплитуды и различ- ные значения установившейся фазы, Рнс.

7.13 Областн прнтпженнн отсчитываемой от накачки, и которые стапнонарнмх Фаз одноконгур сдвинуты друг относительно др га ного параметрнческого генера- о у тора(разделены сепаратрнсоя с). Иа л. Обшее представление о харак- тере переходных процессов в параметрическом генераторе может быть получено из рассмотрения фазовой плоскости системы (рис. 7,13), построенной в координатах у=р з(игр, х=р сов ср для общего случая /г ~ О. Решение уравнения (4) при /1=О имеет вид ГР=агс1Д(е — г" (ЯФ«) Фе=гР(/=О) (7.4.7) т. е.

процесс установления фазы характеризуется временным масштабом ге = 1/Ге 1 е = лгозе (7.4.8) Подставляя (7) в (3) и полагая ррз~а, найдем закон изменения амплитуды р (/) на линейном этапе процесса установления: р (/) = ре (созе гре+е — '"' з(па гре)ьзе<г Я вЂ” 1'. (7.4.9) Видно, что при /)/ имеет место экспоненциальный рост амплитуды с ннкрементом, равным Ге/2 — а. Дальнейшее поведение амплитуды на нелинейном этапе совершенно аналогично таковому для томсоновского генератора (см. э 3).