С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 89

При (-Р оо амплитудные флуктуации становятся стационарными с корреляционной функцией В; (т) = пре-'Рт, пр — пгв1аэ(8р. (7.2.38) Из-за линеаризации уравнения (37) полученные результаты справедливы при ор с,р" или ае~гр,'р-'р', т. е, в области существенно выше порога генерации. Хотя мы предполагали источники шума б-коррелированными, возможность использования метода линеаризации не зависит от этого ограничения.

С помощью метода линеаризации можно получить результаты при наличии шумов с любым временем корреляции. В соответствии с (1.3.31) спектр амплитудных флуктуаций имеет лоренцевскую форму: 2р' рГЛ Ф)/4 ар (а) 4рэ+ 4рэ+ а ' (7.2.39) Согласно (39) ширина спектра флуктуаций огибающей о(1 = 2р= 2сс(е — 1), (7.2. 39а) ф=(ы 79) ЬФ(Г). (7.2.40) т. е. при е = 2 ширина спектра флуктуаций огибающей совпадает с шириной полосы «холодного» контура (см.

(3.2.32)). Правильность формулы (39) неоднократно проверялась экспериментально как для генераторов радиодиапазона, так и для лазеров. В соответствии с результатами ~~ 2 гл. 5 для этой цели можно использовать схему прямого детектирования', согласно формуле (5.2.4) на выходе квадратичного детектора в радиодиапазоне или фотоумножителя в оптике можно непосредственно получить спектр случайной амплитудной модуляции. Естественно, в реальном эксперименте на выходе детектора наблюдается смесь спектров технических и естественных флуктуаций амплитуды.

Чтобы разделить их, надо вести измерения на достаточно высоких частотах 1)=ь» — Гв„; при 11Г2п)10' — 1ОАГц вклад технических флуктуаций пренебрежимо мал. Уровень естественных флуктуаций амплитуды в генераторе, работающем в режиме развитой генерации, достаточно мал; согласно [5Ц, для Не — Нвлазера )Г(рэ)/р~10 ' — 10 А.

флуктуации фазы. Флуктуации фазы колебаний описываются уравнением (29). В общем случае его анализ затруднителен, поскольку справа в знаменателе стоит случайная амплитуда. Однако, как уже подчеркивалось, в режиме развитой генерации флуктуации амплитуды р малы, и р в (29) можно заменить средним значением р, т. е. записать с98 Гл. т ФлуктуАции а ГенеРАтОРАх Статистические характеристики $ (1) определяются (27). Так как в (40) случайная сила $ (1) б-коррелирована, приращение (или набег) фазы за интервал времени т с.~- с Ьср(т)==с $, (1')Ж', согласно результатам э 6 гл. 2, представляет собой случайный винеровский процесс.

Дисперсия такого процесса линейно зависит от времени т: пс ( ) =((Аср)')=Р, где Р— коэффициент диффузии фазы. Функция распределения Лср на основе центральной предель- ной теоремы является гауссовской: Полная фаза колебания равна р„(1) = рс+(=,') ~ БФ(1') 11'=срэ+р(1). о Ее моменты равны (ср„(1)) =срм ос(1) =((ф. (1) — срэ)') =Р1, т. е. ср„(1) пРедставляет собой нестационарный случайный процесс. Функция распределения фазы са„имеет вид цс (ср„) = ехр 1 — ~' ~'-), — сю ( са„-- ОО. (7.2.43) 'У асс а(с) т 2ос 10 Этот же результат можно получить, решая соответствующее (40) уравнение Фоккера — Планка. Функция распределения (43) полной фазы в момент времени 1=0, имеющая вид 6-функции (6(ср„— са )), при устремлении 1 к бесконечности принимает все более сглаженный вид. Причем фаза са„имеет конечную вероятность сколь угодно значительно отличаться от начальной величины.

Абсолютные значения уходов фазы ср„существенны, если гене- ратор используется в качестве эталона времени. В других слу- чаях (например, нахождение функции распределения колеба- ний, фазовое детектирование и т. п.) оказывается не важным, имеет ли фаза колебаний значение ср„илн ср„+.2ап (п=), 2,...). Поэтому здесь обычно пользуются фазой ср„, приведенной к интер- валу ( — и, +п), а колебания представляют в виде 1(1)=р(1)соз(ассг+ср(1)), — п(ф(п. (7.2.44) Как показано э 4 6 гл.

2, в интервале периодичности фаза сй распределена равномерно. 9 з елгктхлции в гвжимв РАзвитон ГенеРАции 499 Спектральная плотность частотных флуктуапнй. Согласно (40) мгновенная частота колебаний равна (1)=«Ъ+ — „~ =ы.+ — '$ (О. Флуктуации частоты бгэ (() = г» (1) — гэо= =' $ч (1). Р Частотный спектр, очевидно, равен 4 ( ) (7.2.46) т. е. спектральная плотность частотных флуктуаций является постоянной. Однако здесь следует иметь в виду два обстоятельства.

Во-первых„случайный процесс 9 (1) был принят б-коррелированным в характерных масштабах изменения огибающей и фазы колебания. Во-вторых, как отмечалось выше, в реальных ситуациях в области низких значений Я частотный спектр будет маскироваться более интенсивными техническими флуктуациями (см. также 9 5).

Можно ли тем не менее измерить малые естественные флуктуапии частоты на фоне гораздо более сильных технических уходов? Впервые такой эксперимент выполнил в 1937 г. Берштейн. Лля этой цели он использовал частотный дискриминатор на линии задержки и то обстоятельство, что спектры естественных и технических флуктуаций частоты сильно различаются; последние быстро спадают по мере увеличения частоты. С методами измерения частотных флуктуаций в радиодиапазоне можно ознакомиться по книге 14). Спектр колебания; естественная ширина спектральной линии. Для определения формы спектральной линии вычислим сперва корреляционную функпию колебания х (() = р (1) соз (гэ,1+ <р (()) в установившемся режиме: В (т)=(хх,)=(рр,соз(ыз1+~р)соа(оЪ(1-(-т)+ф,)). (7.2.46) Здесь усреднение должно производиться по ансамблю статистически независимых случайных функций $р и $ (21), с которыми связаны амплитуда р(Г) (28) н фаза Ч~(1) (29).

В соответствии с проведенным выше анализом в области, значительно выше порога генерации, флуктуации амплитуды р, р малы (р ~р, р=р — р), а флуктуации фазы описываются уравнением (40). Вследствие этого функцию (46) можно представить в виде В (г) — — (р*+ (рр,)) (соз (гэ,т-(-Ь<р)). (7.2.47) боо ГЛ 7 ФЛУКТУАЦИИ В ГЕНЕРАТОРАХ Корреляционная фуннция (рр,) амплитудных флуктуаций дается формулой (38). Согласно (42) (з(п Ь~р) = О, а (соз Ь<р) = ехр ( — Рт)2).

Поэтому (соз (акт+ Лгр)) = (соз Л7р) соз а„т =е — пиэ соз а„т. (7.2А8) Таним образом, с учетом (48) и (28) норреляционная фуннция (47) принимает вид (т»О) В, (т) = — (р'+ неге-Р) е- и "7 соз в,т. (7.2.49) 1 Соответствующий (49) спектр колебаний дается выражением 6(а) 2 — ~ В„(т)е-'~дт 6,(а)+6к(а), (7.2.50) 1 где согласно формулам (1.3.31) 67(а) Р [~ — ) + (а — ар)'~ (7.2.51а) Ап ~ 2 + $~+ 2 ) +(а ак) ~ а» О. (7.2.51б) Спентр 6,(а) обусловлен только флуктуациямн фазы, а спектр 6, (в) связан как с амплитудными, так и с фазовыии флунтуациями.

Вид спектра (50) показан на рис. 7.5. В отсутствие флуктуаций (Р = О, ор — — 0) спектр колебаний представлял бы собой б-фуннцию: 1 6(а) =67(а Р7 — ~'О) = р б(а аа). 2 7'а В реальных условиях наличие шума и Ркс 7 б Сесткклкагцкс вследствие этого флУктУапий амплитУды спектра колебаний гене- и фазы приводит к размытию спентральркторк- ной линии. Поскольку р';Р ор и р' РР, спектр (50) — (51) состоит из узкой спектральной линии шириной Р и широной более слабой линии (фона) шириной Р+2р (рис.

7.5). В окрестности узной линии вкладом амплитудных флунтуаций можно пренебречь и для спентра колебаний пользоваться формулой р377 Зп ИР/2) +(а — М71 (7.2.52) Коэффициент диффузии Р (41) определяет естественную ширину бь>„ спентральной линии нолебаний генератора. Выпишем явное выражение для Ьв„пользуясь (18) и формулами для спектральных э е ФлуктуАции в Режиме РАзвитои ГенеРАции бо1 плотностей теплового и дробового шумов (3.4.10) и (2.8.71): я 1 Ф1 г . АкТак Лсо,==,' 64 — ', ~~е(,+ яа, 1 (7.2.53] Будем характеризовать действие шума эффентивной шумовой температурой Т*: Т* = Т+ — '' 4как Тогда (53) принимает вид Лез, = 2КТ*а')Й(з..

Средняя мощность генератора, выделяемая на сопротивлении )7, есть Р = )ср'/2; ширина спектра невозбужденного нолебательного контура ЛТ, =а/и. Следовательно, Лв, = пэ (Л7,)А кТ'!Р. (7.2.54а) Если воспользоваться выражением для добротности колебательного контура ДА=аз„/2ИЛ~„, то Лв, = и'РАКТ*)КР. (7.2.54б) Оценим естественную ширину линии нолебаний. Возьмем Т*" 10АК, Щ,=100, )4=10'Гц и Р~ 1 мВт. В этом случае Лаз,— 3 10 " Гц. Относительная ширина линии Л~Д,=10 ". Из рассмотренного примера видно, чтоестественная ширина линии генератора чрезвычайно мала. 0 корреляции флуктуаций амплитуды и фазы.

В томсоновсном генераторе в режиме развитой генерации флунтуацин амплитуды и фазы, как следует из уравнения (40), не коррелированы. Однано существует важный класс автонолебательных систем, тан назы. ваемых неизохронных генераторов, для ноторых частота колебаний непосредственно зависит от амплитуды. К таним генераторам относятся, например, отражательный клистрон. В надпороговом режиме генерации клистрона укороченное уравнение для фазы имеет вид (см. 14], с. 489) — „, = — 474р+(4ээ)р) ь ((), где д„— параметр неизохронности генератора. Флуктуации амплитуды р описываются уравнением (35). В рассматриваемом случае флунтуации фазы ср содержат компоненту, связанную с амплитудными флуктуациями.