С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 88

(7.2.196) Обратимся вновь н уравнениям генератора (11) и (12). Поскольку в случайные силы ~о и ьо, помимо нвадратурных компонент шума а(1) и Ь(1), входит фаза <р, мы имеем дело с системой двух связанных стохастических уравнений. Эти уравнения можно, однако, упростить таким образом, что уравнение для случайной амплитуды р становится независимым от уравнения для фазы ор.

Лля этой цели а случайных функциях ь и ьо выделим быструю и медленную номпоненты. Рассмотрим, например, процесс ~,; представим его как гор (1) ооо (1)+ $о (О (7.2.20) гл. х олткттхцин в гвнвгхтозхх где медленная компонента $»(!) имеет тот же характерный временной масштаб изменения т„, что и огибающая р, т„, а быстрая компонента $р (() имеет временной масштаб т,, одинаковый с характернымн временами процессов а(() и Ь(1) (при сделанных выше предположениях т«=0). Чтобы выделить 5«((), усредннм ьр по времени Т, значительно большему т,, но меньшему т„(т,'- Т~ «' т„): $»(г) =~р — — асов )р+Ь з)йф.

(7.2.21а) Вследствие стационарности воздействующего на автономный генератор шума автоколебания в режиме развитой генерации представляют собой стационарный случайный процесс. Фаза таного процесса ф, приведенная к ииглервалу периодичности, стацнонарна и распределена равномерно: и)()р)=1/2п, — и~)р(и, (7.2.22) независимо от статистики самого процесса (см. $ 5 гл. 2). Подчерннем вместе с тем, что фаза, рассматриваемая кан случайный процесс в интервале ( — са, о)), оназывается существенно нестационарным процессом с бесконечной дисперсией (й 6 гл.

2); для модели генератора мы убедимся в этом ниже, рассматривая уравнение (12). В соответствии со сказанным случайные процессы сох ф и япф стационарны, и в силу свойства эргоднчности (З 4 гл. 1) временное усреднение в (21а) можно заменить статистическим усреднением по ансамблю быстрых флуктуаций а(() и Ь(!) (фактически, таннм образом, мы находим условные средние, которые сами являются медленно меняющимися случайными функциями): $» (!) = (а с оз )р) + (Ь я п )р). Представляя созф н з!пф в виде соз ф — (соз ф) +(соз ф))нк) з)пф — (з!и ф))к) 1- (з)п ф))нк) где индексами «к» и «нк» отмечены компоненты функций, норрелирующие и некоррелирующие с квадратурными компонентами а(!) и Ь((), можно, очевидно, записать $«(С) = (а (соз )р)!"))+ (Ь (яп )р)!")), (7.2.216) й (1) = а (соз ф))нк) + Ь (з)п ф)(нк).

(7.2.21в) В силу соотношений (19а) ($,) а ((соз )р)!««)) + Б ((яп )р)!""') = О. Чтобы найти, например, (сов ф)!"), запишем уравнение для сов)р, умножив (12) на з)п )р: — »ф — — —" ь япф. (7.2.23) 4 В. Енякитяапнн В ражИМВ РЛЭВНтОИ самарянин 493 Отсюда, принимая во внимание выражения (13) и (1.7.21а), получаем (сов ср)'к' = — — "! — Ь ((гйп 2ср)'кн') — й $(з)пср)'нк']вф (7.2,24) р 12 где й=й(() г)а((')й(', Ь= Ь(1)= г)Ь(1')йГ, сн с. время 1, меньше 1. С учетом (22) и соотношений (24), (19а) с (а(соз ср)сн)) = — "-' 1 (и (1) а(1')) й(' — ~-Р-Йа.

2р,) Аналогично находим (Ь (зш ср)сн') = — '"' ~ (Ь (1) Ь(1')) й(' .~ ()в. Таким образом, значение Цв(О (216) равно ке (() = ВЫ 4р (С) Корреляционная функция процесса $р (21в) определяется выражением В.. (т)=($о$а..)= а = с(а (сов ср)снк) -(- Ь (з)п ср)(нк)1(а (соз ср)сакс -)- Ь (з)п ср)скк)]) В силу соотношений (19а) и (22) получим Вт (т) = — пбтб(т). 1 (7.2.26) Расчеты, аналогичные только что проделанным, дают для медленной компоненты силы ь $ее=О, а для быстрой $ $е= О, Ярое к) — абтб(т), (ВрВр) О. (7.2.27) 1 Теперь мы можем записать упрощенные уравнения е), соответствующие (11), (12): р+(и — б+рр') р = 4 61+совка (с) (7.2.28) (7.2.29) *) В (7, 81 уравкевкя (28), (29) получекы способом, яесколько отлкнещщкмся от квложекиого.

494 ГЛ. Г ФЛУКТУАЦИИ В ГЕНЕРАТОРАХ В уравнения (28), (29) входят случайные 6-коррелированиые шумы 5р(7) и с ((). Подчеркнем еще раз, что таковыми их можно считать, если время корреляции т„реальных источников шума ырп значительно меньше характерных времен изменения амплитуды тр и фазы еа т . Условие т, «.= Тр, в соответствии Ю с (28), эквивалейтно неравенству (8 †) т„ «,", 1.

Стохастическое уравт кение (28) для амплитуды не содер- жит случайной фазы 4р, и поэтому 44 его следует решать в первую очередь. Законы распределения и моменты амплитуды. Уравнение (28) принадлежит к уравнениям типа (1.7.28). Рис. 7.3. Фуикпия распределеипя и (р) яриведеиией выплату- Поэтому для функции распределеды р=рм-п4 для значений па- ниЯ плотности веРоЯтности и4(Р) А-нз.

7) а е) О спРавеДливо УРавнение ФоккеРа— г) а. ' Планка (1.7.44): д4а(р, Г) д ! де дс — — д 1К,4и(р, 4)1+ 9 д е 1Кяц4(р, 4)). (7.2.30) В соответствии с (1.7.4б, 47) функции К, и К, для рассматриваемого случая (28) определяются выражениями К, = р (4) — рз1р+ — йГ, Ка = 2р744, )У' = (и/4) озабф-', 4) = (б — а)(р р()1. Стационарная функция распределения ц4(р) (при 1-р оо) дается формулой (1.7.49), которая приводит к выражению н4 (р) = С,р ехр ~ — Р— -~~~ — ~.

ез Постоянная С, определяется из условия нормировки ~ 4и (р) с(р 1; о в результате имеем 4и(р) =-~=-~1+Ф( 4 )~ р ехр ( — Р О ~. (7.2.31) Графини функции (31) для различных значений д изображены на рис. 7.3. Лля больших отрйцательиых значений д (в области значительно ниже порога генерации) распределение ц4(р) близко к рэлеевскому распределению (2.4.6): 4и (р) = ', ехр ~— (7.2.32а) $2 ФЛУКТУАИИИ В РЕЖИМЕ РАЗВИТОЯ ГЕИЕРАЦИИ 495 где и,'= /У/~ д ~ = пм202/4 ~ р ~. Значительно выше порога генерации распределение становится гауссовским (Р'д = р = р„К' е — 1): (7.2.326) И з (32а) следует, что при наличии шума в генераторе среднее значение амплитуды р ниже порога генерации не равно нулю, р -(и/2)и2пл (см.

рис. 7.2). Дисперсии флуктуаций амплитуды ниже и выше порога гене- рации при одинаковых абсолютных значениях ~р< почти равны: ~2 — — ) о,' (ниже порога), о' = рв — 1з:м 2 — ал (выше порога). 2 Относительные же флуктуации амплитуды сильно различаются: 0,35 (ниже порога), ' ОР/Р Р:л (7.2.32в) о2/2р ч~ 1 (выше порога). Пользуясь (31), можно точно рассчитать поведение моментов распределения 2в (р): лл ял (рл) ~ рлщ (р) 2(р — С ~ рл+2 ехр ( (р2 д)2/4д/) 2(р 2 2 С=2(п/2') И211+Ф(д/2)/й/1! ~. Отсюда с помощью замены х=р' — д нетрудно получить соотношение (р"") — д (рл) — С ~ х (х+ д)л~2 ехр ( — х2/4й/)'2(х.

1 9 Интегрирование по частям для случая и)0 приводит к рекуррентной формуле (рл+2),„(рл) ПД/ (рл-2) (7.2.33а) Если о=0, то из предыдущего соотношения получаем (,2), + С/1/е-ечлА (7.2.336) Пользуясь рекуррентной формулой, находим момент четвертого порядка." (р2) = 2/2'+ г/2+ СР/глч2и. (7.2.33в) Общее выражение для произвольного момента огибающей (рл) С2л22 — м2й/лм+пзр (1+и/2) м Х ехР < — 92/8й/) 0 0 Ф „ы~ ( — 4/) 2й/), (7.2.34) 496 гл. т. флуктуации В ГенеРАтОРАх где Г (и) — гамма-функция, О (г) — функция параболического цилиндра, л = 1, 2, ... Выражения (33) позволяют проследить за изменением средней интенсивности колебаний /='/,р' и дисперсии флуктуаций интенсивности о) = (Л/в) ='/а[ра — (р')') с ростом параметра д (рис.

7.4). При этом величина / монотонно увеличивается, а относительные флуктуации интенсивности о,// уменьшаются. — УЮ 47 рнс. 7.4. Зависимость приведенной средней интенсивности колеоаннй 7 = //р М 03 и относительной дисперсии флуктуаций интенсивности о // (2) от / параметра 4 о/ У. где р = 6 — а. (7.2,36) Параметр р характеризует прочность предельного цикла; на устойчивом цикле р ) О. Решение уравнения (35) при нулевом начальном условии: р (/) го ( е (/ ) и-али-ю с// о Среднее значение (р)=0.

Корреляционная функция амплитудных флуктуаций равна лмйпт ВР (т) = (рр,) = — -[и-ад' — е-ал~м+')) ар (7.2.37) Используя (31), (2.5.26) и (2.5.30), можно найти распределение ш(/) интенсивности /=рв/2(см. (7.5.29)) и распределение гн(х) самого колебания х (7); функция гн(х) имеет вид (2.5.32), Спектр флуктуаций амплитуды.

Ограничимся здесь рассмотрением спектра флуктуаций амплитуды р= р — р для режима выше порога генерации (6~6„,р — — се). Как следует из предыду. щего анализа, в этом случае отйосительные флуктуации амплитуды малы. Поэтому уравнение (28) можно линеаризовать: р + 2рр = соа$Р (/) (7.2.35) 4йт Э Э ФЛУКТУАЦИИ В РЕЖИМЕ РАЗВИТОИ ГЕНЕРАЦИИ и зависит от текущего времени П При выводе (37) учтено соотношение (25).