С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 84

Условие (а) позволяет пренебречь в (Зб) производными дАМ/дй а условие (б) — считать амплитуды резонирующих воли (ио ие их производные по г) не зависящими от г. Таким образом, (Зб) можно заменить стационарными урав- нениями Ш вЂ” +а„,)Ат гги(А, А), ('-'' (б. 7,4) ив которых амплитуды А' находятся хак функции г и А; А' А'(г, А), (6.7.5) В силу условия (б) амплитуды А входят в (4] и (6) как параметры, зависищне только от времени. Подставив этот результат в (За), получим = д +--д +а») Аи=)и(А А'(г, А)). д 1 д (6.7.6) — д( и) и и Поскольку зависимость А„от г несущественна (см.

(б)), то ее удобно вообще исключить, усредняя (6) по области 0 ( г ( Е между зеркалами резонатора. Окончательный вид уравнений для амплитуд А„будет следующий: А" (6)+ 1 д А +а А Р (А) где Ри (А) == — ~ ги (А, А' (г, А)) г(г. Разность Аи (Е) — А„(0) следует выра- 1 Г о вить через А,, А,, ...

с учетом граничных условий конкретной задачи. Двухрезонаториый параметрический генератор света (ПГС) с немонохрома тической накачяой. Рассмотрим двухрсэонагорный ПГО (рис 6.14, и). Зеркала огра кз:от в жом случае на частотах ыг и ыз, а волна накачки свободно про- ходит через зеркала резонатора (в генераюоре с обычным — не кольцевым — резонатором стоячие волны на частотах ю„ы взаимодействуют с бе. гущей волной накачки). Для описания такого взаимодействия вместо уравне. ний для комплексных амплитуд трех бегущих в одном направлении волн рассмотренных в предыдущем параграфе, следует записать пять уравнений, описывающих поведение волн Ай ю иа частотах юь ю„бегущих в том же направлении, что и накачка, волн А, „ бегущих в обратном направлении, н волны накачки Ая: Для простоты мы ограничились здесь рассмотрением ПГС с кольцевым резонатором (рис.

6.14); в этом случае обратные волны распространнются вне нелинейной среды и в правые части уравнений (8) амплитуды А; ., не входят. Ыы не будем также учитывать линейные потери по накачке, считая их пренебрежимо малыми (а„=б). С учетом условия (б) уравнение (бв) можно переписать как дА„ — "= — ()„АГА,' = — ()яАтАР (6.7.9) дг Ак(! г)-Ач,(!) — ()нАгАюг (6.7.10) где А„,(!) †заданн функция времени †амплиту накачки на входе ПГС. Подстановка (!О) в (8а) дает дА( !! 1 (дА, — '+~ — — — ~ — '+игА(=бг(Аню(!) — ()чАгАюг) А,*, (67.1!а) дг ~и, ич! д! дА; (! 1)дА, — — '+ ! — + — ) — '+а,Ар=О, дг (и, и ) д! где иа основании (а) считаем 0= !.

При отражении от зеркал происходит изменение знака амплитуд (фазы меняются на и), так что в (11) везде, кроме членов с производными по г, ьюжно положить АГ Аь А, — А,. В результате уравнения (11) примут вид В этих уравнениях юю.кпа вообще исключить зависимость о~ г, уюрюднпз нх по длине резонатора, что эквивалентно переходу от (б) к (7). Сложив затем % т пАРАметРические ГенеРАтОРы света — '' -(- ( — — — ) — ''+иь з=() юА Аюю, дА,, ! 1 1)дА,ю — — '' +! — + — ) — ь'+а, зА;,,=О, дг (и, з и„ ) да — = — ()„А, А,. дАя + дг где А, и Аю зависят только от !.

Интегрируя (9), мы получим дА; (1 1!дА, — + ( — — — ) — '+игАг=()т [Ааю (!) -(\чАгАзг) А$ дг (,и, и„) д! дА, ! 1 1 ) дА, — '+ ( — + — ) — '-(-и А ==0 дг (,ию ию) д! (6,7.8а) (6.7.86) (6.7.8в) 470 ГЛ З ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ оба уравнения, получки Аф(Е) — Ар(0)+А, (й) — А, (О) 2 дА, (6.7 12) Пусть Ргз — козффициент отражения волны с частотой ы; от зеркала Ма.

Тогда в (!2) А,'(й) =Ао Ар(0)=н — Ао АТ(0)=- — РззА7(0)=Р, Ап А; (Е,).= — Р„АТ (() ~м — РИА„ так что Аф(1.) — АТ(0)+А, (й) — Ау (О) 2 — Р, — Р, А,. Подставив (13) в (12), получим 2 — Рм — Рзз+2а,ь'( "' 2 ' з! Аналогичным образом можно преобразовать и уравнение (86): 2ТаАз+Аз= 2 й~Ано(() — — нАзАз1АР (67146) — г 12 (~ но В (!4) точка означает дифференцирование по времени, времена релаксации равны (6.7.13) l гог 2Т,а,+а,=1Г ыз 2Т аз + аз = У~г ° Ггзз Ю~ а, (() — ' а,а, ын 4 )г ы,ыз ын ан (() — а,аз 4 )гы,ы, (6.7.15а) (6.7 156) (6.7.!6) ау гонг аа(г, г)=ио(!) — —,-=" и,аз. 'г ыгыз 2(. Тг= и 1=1 2.

Цаз 2 — Ри — Раз+ 2агс' Амплитуда накачки внутри резонатора дается выражением (1О), в которое нужно подставить А, и Аз, найденные нз (14). Как следует из (!4), генерация может возникнуть лишь при условии, что интенсивность накачка превысит пороговое значение, равное (2 — Є— Р,з+ 2агЦ (2 — Ры — Раз+ 2ссзй) ~пор 6 6 й' С целью дальнейшего упрощения (14) будем считать зеркало Мз (рис. 6.14) идеально отражающим (Раз=-!), обозначим Р;,=-Р; и пренебрежем активными потерями волн (иг=-О).

Учтем также, что уравнения (14) написаны для амплитуд Аг волн внутри резонатора, Вне резонаюра волны, выходящие через зеркало Мз, будут иметь амплитуды А'""=-1 1 — Р, А и Аз""=)г 1 — Рз А, Нормируя А'"" на пороговую интенсивность накачки, перейдем в уравнениях (14) и (10) к относительным амплитудам )'1 — Р', У'! — Рй ! а,=--г —— 'Аз, а,=- — 'А„а,(() — Ан,(().

(нор !' г'нор )г( Учитывая также, что 6г го! (см. (8.!.2!)), получим 471 $ т. пАРАметРические ГенеРАтОры сВетА Рассмотрим с помощь)о (15) и (16) некоторые характерные режимы работы ПГС ПГС с момохромптическпй накачкой. Согласно (15) и (16) в стационарном е режиме генерации при немодулированной накачке интенсивности волн й = , а),' постоянны и равны 4ы, (~à — ) ° 4о)з (уе —, ) о)„ о)н (ю(й)=,аю(5) ' =(2 — У(ио) ° (6.7.17) (6.7.18) При этом к. п. д, параметрического генератора будет равен 7 +7 )Г1 =4 1~о (мо (6.7.19) Зависимость г) от превышения накачкой порога показана на рис, 6.15, а (крииая 1).

При (по=4 величина к. п, д, достигает 100))а, а интенгивность излу- уя юэ Р 5 и о ш, ю д ю) )м Со Рнс. 6.15. Паухрезоиаторныз Г!ГС (схема с ()Г) л 1) (54). а) Вюююслмосгь к и. л, генерацию ч от )„,) прю одмомодоюоз ()) ю мпогомохоюоя. Ф и <)) лаюачюе: э) спентрм гелерапюп прн мпогомоповоа ююкачне чения накачки на выходе ПГС 1п(Е] обращается, гоответственно, в пуль. Заметим, что интенсивность накачки равна при этом 4 (! — )7)) (! — )Тз) (м = 4)пор= при отсутствии зеркал такая накачка могла бы создать лишь незначительное усиление: й=) 5Э*(..рй = Р"( -7,)(1-)7,)<! ПГС с ммоа)ло)ивой накачкой.

Рассмотрим теперь более общий случай, когда амплитуда накачки на входе двухреэонаторного ПГС определяется вы. ражением ао(1)=гееГ(1) ~„алехр(йпй () лц Врезал> (6 7.20) л в котоРом Г" (1) — фУнкпнн, описываюшаЯ фоРмУ нмпУльса накачки, ()рою,), — интервал между собственнымн модами резонатора вблизи частоты ы), ) .=-1, 2 (см. (54)). Рассмотрим режим генерации, когча на одной нэ )аслот, например го„спектр генерации значительно уже, чем спек)р накачки (20) (рпс.

6 !5, б) 172 ГЛ 6 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Проанализируем сначала стационарный режим, полагая в (20) г=! Ре. шение уравнений (15) в этом случае можно представить как а~ (1) = ~ аг„ехр 1() пй 1= 1, 2. (6.7.21) (6.7.22) При выполнении этого условия в спектре аг будет существенна лишь одна мода: аг (1) — ага = сопз1.

Усреднив (15а) по периоду межмодовых биений (это усреднение обозначается волнистой чертой), мы получим ч/ вг ".ч' гав а =~, — аа.: — — а аа, 16 )/ в да 4ОЬ 10 зз' откуда )' в,!вз а„а,* га» 7 4ва Подставив (23) в (156), получим для аа уравнение )э=ай (6.7.23) (6.7.24) из которого можно найти связь между коз(хрициентами а„и азп в (20) и (21): )' вз!вг ауаап аз„= 1-1- — "7;-)-Юп2Т, 4вг (б 7.25) Согласно (25) — 1,') +(Пп2Тз)з 4в, ') (6.7.26) Из (24) также следует, что 21; (1+ —" 7,') = 17 — (ачваааз*+к.

с.). Комбинируя (23) и (27), получим оютношение Мэнли — Роу: П/газ= 7~/вг1 (6.7.27) (6.7.26) подставив (28) в (26), получим уравнение а„ и (1+ — П) +(()п2Тз)з ин (6.7.29) которое вместе с (23) в неявной 4юрме определяет интенсивности /,' и 7'„гене- рируемых волн. Узкий спектр генерации, например, на частоте в, можно получить, если сде- 'лать достаточно большим соответствующее время релаксации: 473 4 Т.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГЕНЕРАТОРЫ С8ЕТА Прн !', 0 соотношение (29) принимает вид 'Д ~ ан ~пнр ,мз 1+ (Ял2Тн)н н (6.7.30) и определяет порог генерации Ив (30) видно, что пороговая интенсивность многомодовой накачки зависит от расстояния Я между модами, вреиени релаксации Т„ а также от распределения интенсивности накачки по отдельным модам, т. е.

от формы ее спектра. Поскольку з',и 1-)-(Оп2Тз)з' н !ннрнн ~'~ ~ ан йннрзв 1, т. е. порог генерации при многомодовой накачке всегда выше, чем при одно. модовой. Предположим для простоты, что число мод равно М и их интенсивности одинаковы. Тогда (29) можно переписать как !нз %З 1 !не 1 (6.7.3!) (1+ — '. !,') +(Оп2Тн)з (1+ — ") где (6.7.32) Из (28) и (31) находим 4юь (~,Г ° ) 4ын(У ! 1) !, '+ 1,' 1I !'„Он ц — 4 (6.7.33) (вн !нз а,(!)=а,н(!), аз(!)= ~П~азн(!)схрц)л(, Вти выражения показывают, что при прочих равных условиях к. и, д.