С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 83

1). Вудем исходить из уравнений (31): — '+ — — '+а,А,=~,Ано(0) А;е — 'А', (6.6.66а) 1 считая накачку б-коррелированной и стационарной: <Ан, (0)> =О, <А „(0) А„,(0+ т)> =О, (А о (0) Айо (0+т)) = 2п0тноб (т) (6.6.67) Перейдем в (бба) к переменным Ч1 / 2/по 0 / 2/ин~ О о ксилвиик волн пои игмоиохяомхтичгскоп иокочкг ФВЗ т, =-О), Мы автоматически учтем это обстоятельство, записав (72) в виде О А)"'= —,' А*,е — 'о'Амо Лоо=~ Аоо(9 )дВ (6.6.73) 1 и считая, что нижний предел интегрирования в (73) всегда меньше 0.

Как следует из (73) и (67), из которых непосредственно следует, что l1"= — ', ЛоАое 'юАоо+к.с., 1о," = — * А,А,*е-'"'А„о+к.с., ~ о~ (ЛоАо)'"'=Г~ ~ 7в~ '+ — 'УФ ' ') А б о,,' ! ~о~ а значит, (1,А„', (9)) = — ' Л,.4„"е — ' юпб„о, <УоА*,о(0)) = — ' 4,А'.,е — 'о-"пбоо, (АоАоЛ,*,о(9)) =<,~' уо+ — '<о) е — '*'пб„о. (6.6.76а) (6.6.766) (6.6.76в) <А,Ао„<9)> =(А<"А„,<0)> =О, (А,А*„,(0)) =(Л',"'Ао,(8)) = — 'Л;е 'а*пб„„.

(6.6.74) Аналогично доказывается, что (А,А.о(В)) =О, (АоА„*„(9)) = —,,', А*,е-'аопОоо (6.6 76) Средние (74) и (75) описывают корреляцию комплексных ампли- туд с накачкой в одной и той же точке пространства и в совпа- дающие моменты времени. Подобным же образом можно опреде- лить корреляцию с накачкой величин, квадратичных, кубичных и более высокого порядка по амплитудам А и А,. Рассмотрим, например, квадратичные комбинации амплитуд, Используя (70) и переменные 9, Ч, и Ч„ нетрудно получить для них уравнения (1ь о = ~ Аь о~~ — интенсивности волн) — к+2 '1, = — '(А,Ло)'е — 'о'А„о(9) ~„, +к.с., о! о1 — *+2 '/о=-*А„,(9)(А,А,) е — ' Л,,о(9)!„,+юс., о о + ~ 1 + о) А А иб 1ое-~ооА о(0) ! + 9~ 7 с ~агА о(0) оо о оо ГЛ О ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (6.6.80) Уравнения для средних амплитуд и средних интенсивностей )23, 25).

Если статистически усредннть (66) н затем учесть соот- ношения (74) н (75), то мы получим замкнутую систему уравне- ний относительно первых моментов, т. е. средних амплитуд волн: д '+ — — '+ (а! — — '- 'Лбно) А, =О, ' (6.6.77а) дАн ! дАн l йнйн — д — + — д + (ао — — 'нб„о) А,=О. (6.6.77б) Используя (76в), подобным же образом можно найти и уравне- ния для средних интенсивностей; д~1 + ! д~1 (2 ие (()1))й) глино ! ) 61' гиинн7 до иг д! ) г !нн ! ':т1, д/, ! д), ~2 йе(Р,РГ)2лО,н ) Р, н2ип„, (6.6.78) Заметим, что в полученные уравнения для средних не вошла волновая расстройка Л.

Как следует из вывода, уравнения (77) н (78) остаются справедливыми и в том случае, когда спектраль- ная плотносгь накачки Гг„о не постоянна, но меняется со временем: бно = ~но (д), (6.6.79) т. е. если накачка является иестационарным белым шумом, на- пример, имеет вид шумового импульса. Рассмотрим стационарные решения уравнений для средних. Для простоты будем считать, что линейные потери отсутствуют (и, о=О) и постоянные взаимодействия р, и рн вешественны. Со. гласно (77) А,(г) =А„ехр(Г,г), Г, = Мн~ О нн Аг(г) =Агоехр(Гог), Го=»~~"'- ,т, Мы видим, что сильнее усиливается амплитуда той волны,.груп- повая скорость которой больше отличается от скорости распро- странения накачки.

Этот иа первый взгляд странный результат станет понятен, если учесть, что усиление данной волны создается за счет взаимодействия накачки с другой волной, скорость кото- рой в этом случае как раз оказывается более близкой к скорости накачки. Уравнения(78) для средних интенсивностей приводятся к виду (6.5.20): ),=а,д!,+а!о/о, Iо=агг(г+аоо)г, (6.6.81) где штрих означает дифференцирование по г и ам = ЙгЙо2пбно/! оо ~, пгн 112п гной тг!. оотг —— ()й2ЛОна/! то ), ого, —— йг()о2ЛОно/' т! ~ ко ксиленив волн пои икмонохкомотичкскоп нокм!кк 4ВЗ Используя (6.5,2]), находим 1+ ле' е!' — ! 61 /о (г) = /го — à — + / о —— +л о 1+л ро' еГ' — 1 Ро е +л ео(г) /10 1+л е о+/оо ]+ 1 (6.6.82) где и ее спектральную плотность 1 2л /, (г) Г сь(Гг/2) — сооаг !о,' 2л ~ о, оь (Гг/2) (Г/[ о! ' 2)'+!оо Ширину спектра (88) можно оценить как 2 Г оь (Гг/2) ( 2/г,' г, ', Г " .

], Лсоо = т, о, ! св(Г)/2) — 1 ( Г/~ к (6.6.88) (6.6.89) л=< — '<. ] =[]обо2пОоо( —, + — ) =2(Г!+Го) (6 6 83) Таким образом, шумовая накачка (бг) типа оптического белого шума создает в ПУ экспоненциальное пространственное усиление, коэффициент которого линейно зависит от г и от спектральной плот- ности накачки, Как и следовало ожидать, в случае вырожденного ПУ (ч,=ос=э, [],=[]о=б) определяемое формулой (83) усиление (6.6.84) совпадает с (23) и (39). Корреляционные функции и спектры. Используя модель б-кор- релированной накачки, можно найти также корреляционные функ- ции сигнальной и холостой волн и соответствующие спектры [3]]. Пусть А„,=О и Аооэьй.

В этом случае согласно (80) и (82) еге А1 О /! (г) /сои (6.6.85) а корреляционная функция имеет вид В,(т)=(А,(/, г) А"'(/+т, г)) = /, г ол [Г (г — ' т/о, )/2] ов (Ге/2) т'(г[о,, О, [т [ ) г [ 1ко [. Используя (86), находим время корреляции амплитуды А, т„= ~ В, (т) !(т = ' ' — (6.6.87) 1 (' 2[ о,, сЬ (Гг/2) — 1 8,(о) ] Г ол (Гг/2) о ГЛ Е ПАРАЛЛЕТРИЧЕСКЛГЕ СИСТЕМЫ Гогласно (88) н (89) с увеличением г полоса слом уменьшается и стремится к не зависящему от г значению ого, — — ',' "' ( —, +,) (Гг ш 2). (6.6.90) При этом форма спектра бт(ш) приближается к лоренпевской: (6.6.91) ыл+ын=йын* а=2, 3, диапазон изменениа частот ыл н олн наиболее значителен: О<мн<йын/2<нг,<йын.

В приближении заданного поля накачки многофотониый параметряческий процесс описывается системой уравнений — + — — '+ах, нАА, з=()г. не (Е) А.',е, (6.6.92) дАА, н ! дАл. н да иг, н дг в которых 3 (а) = Аоо (О), При использовании источников накачки ультрафиолетового или рентгеновского диапазона, когереш ность которых невелика, про. цесс 5 можно считать оптическим белым комплексныч шумом, полагая Я)=О, Я$~) =О, (сот)=С6(т) Корреляционная постоянная С определяется из соотношения С ~ ([Анн(0) Анне(О+т)] ) дт.

'6.6.93) Для гауссовской шумовой накачки С=а! ) Вне(т)дт, х)но(т)=(Ано(!) А*о(г+т)) (6694) (см. (2.4.54)). В частности, если спектр накачки лоренцевский, то Вне (т) = = Ун е п(т! и согласно (94) С= [ао=2по(й — !)! Р~ тбао О но ' но (б 6.95) где Онн — спектральная плотность накачки на средней частоте ын При й= ! согласно (95) С=2пбнн в соответствии с (67). Получсшпнс ранее соотношения (74)-- (р!);шлносгннн применимы для описания иного)отопного процесса, если в них заменичь 2пбнн на С, Некогерентные гиогофотониые параметрические процессы [32). Исследование параметрических процессов представляет интерес в связи с проблемой создания генераторов света . плавной перестройкой частоты.

При многофотониом параметрическом взаимодействии, когда 467 $1 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ГЕНЕРАТОРЫ СВЕТА 5 7. Параметрические генераторы света Взаимодействие волн в резонаторе. Проведенный в Я 6, 6 анализ параметрического взаимодействия воли в открытом пространстве показал, что для эф. фективной перекачки нергии необходима достаточно длинная область взаимодействия нлн мощная накачка. Лишь прн выполнении этих условий может быть получено большое усиление а) .Г,а (6.7.1) напомним, что при монохромвгической накачке У Яр)рр й, (6.7.2а) а при случайной накачке и,зз ! 1 9 йг()р2пбрр( —, + — 11 !. чр 17 (6.7.26) ~а а ример (6 б 1 7) и (6 6 69)) Рис.

6. 1 4 Схема даУхРезонатор ного (а) и однорезонаторного (б) параметДли полУчениЯ эффективного паРа- рического генератора света метрического преобразования при ма. лых усилениях, 9 ь 1, нелинейную среду помещают в оптический резонатор (Рис 6 14), зеРкала котоРого хоРопю отРажают нзлУчение на частотах ю„гзр. В этом случае мы имеем дело с оптическим генератором с обратной связью; введение последней стпгественно менЯет стРУктУРУ полей на частотах юп ю, Отражаясь от зеркал, волны проходят через нелинейную среду не один раз (как это было в открытом пространстве), а примерно 1 — ))! ! — )7 раз, где )7 — коэффициент отражения, предполагаемый близким к единице; Соответственно эффективная длина взаимодействии полн с накачкой будет прн этом значительно больше длины резонатора й: ь арве- — ~ й 1 — Я При этом для получения высоких к п д генерации достаточно небольшого усиления 9 ц! Устройства, в которых параметрическое возбуждение колебаний на часто.

тах грг и грр происходит в нелинейной среде, помещенноп в резонатор, называются параметрическими генераторами света (ПГС) [24, 26]. В зависимоспр от того, сколько нз трех частот грь ю, и ю„ отражается зеркалами, говорят об одно-, двух- или трехрезонаторном ПГС Преобразование уравнений. Допустим, что амплитуды А = Ап А,, ... резонируюпгих полн и амплитуды .1' — — 4;, А'. .. полн полностью пропускзечыр зеркалами (нерезонирующих)„ описываются уравнениями общего вида (6.5,11) ГЛ З ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ или (6.5.18)г -и- 1 — -)- а„) А„Ггг (А, А'), д 1 д дг и д( (6.7.3а) -+- -)- — — -)-а ) Аж )ж(А, А ), (- —.— -) д 1 д дг и,и д( (6.7.3б) г где и — групповые скорости, а — коэффициенты потерь, Ги и )м — некоторые нелинейные функции амплитуд.

Нелинейные уравнения в частных производных необходимо решать с учетом отражения на зеркалах. Эта сложная задача, поддающаяся лишь численному решению, значительно упрощаетсн, если сделать слелующие предположения: (а) А и А' пренебрежимо мало меняются эа времека порядка времени пробега волн через резонатор; это значит, что можно пренебречь эффектами запаздывания; (б) амплитуды резонирующих воли А мало изменяются по длине резонатора. Этн условия, соответствующие резонаторам с хорошо отражающими верка. лами и ие слишком мощному и достаточно длинному импульсу накачки, по. вволяют свести (3) к значительно более простым уравнениям, содержащим лишь производные по времени [33).