С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 82

рис. 6.11). В частности, согласно (38) т)а~1, Отметим и следующее сходство. 'при расширении спектра накачки величина й стремится к постоянному значению 4крабн,г йшах = ~,~ г Лшн ~~э' Лшп~ (6.6.39) которое не зависит от Лш„ и совпадает с аналогичным значением 8 ч„ (23) при амплитудно-модулированной накачке. Характерная полоса частот равна т. е.

Лш, ~) Лге,'„где Лот,', — полоса частот (22), соответствующая насыщению усиления при амплитудно-модулированной накачке, где б„э — спектральная плотность накачки, соответствующая частоте ш„2шие Согласно (36) коэффициент статистического выигрыша при фазово-модулированной накачке равен В е. усиление ВОлн НРН немОнОхРОмАтическОЙ нАкАчке 457 Точное решенне амплитудных уравнений при равенстве групповмх скоростей накачки н одной из воли. Уравнения (27) имеют точное аналитическое решение прн любом виде функции А„,(0), если групповая скорость сигнальной нлн холостой волны совпадает с групповой скоростью накачки [19 — 2!). Мы будем считать, что (6.6.40) их=из из(ин н примем для простоты А=О').

Перепишем (27) в виде ( д 1 д — + — — +ах!аг — ам (В) аез-О, дг иг дг ( д 1 д дг из дг — + — — +аз!а — аы(0) а* 0 ! Э (6.6.41) где а, Р Озб» Ао аз= ггвгбз Ам аз (О) = Ггбхдз А„з(0). (6 6.42) Отыскивая для уравнений (41) решение, удовлетворяющее граничным условиям а «, г=О)=а, «), ш==!,2, (6.6.43) мы воспользуемся здесь методом, основанным на введении условий (43) непа. средственно в сами уравнения (41) (аналогнчный прием замены начальных условий эквивалентной внешней силой рассматривался в гл. 3). Для этого перейдем в (41) к новым функциям а+«, г)=а «, г) 7(г)=! ! ам«, г), г~О, (6.6.44) (о, г(0, где 1 (г) описывает единичный скачок.

Подставив (44) в (41), подучим уран. пеняя (. —.— д 1 д ,— + — ~+~,~аф-.м(0).;з=.м «) 6(.), дг и,д! ( д 1 д дг и,д! -- -[- — ---~-аз ! а.,' — аз„(0) а'*=аз«) 6(г), 1 (6.6.45) Г аз — аз ат аз) 1 ! а+ =о ехр~ — — !+ — — — ~, т= — — — О, м м ~ Ч и, их[' и, и, (6.6.46) уравнения (45) примут следующий ввд. дп, ч д + (В) ор= — [г(0) 6(0 — Ч), дЧ доз т у- — азз (В) ох — — ч[з (0) 6 (Π— т)), (6.6.47] ') В общем случае А ФО, а также прн наличии распределенных сторон. ннх снл решение получено в [22). преимущество которых перед (4!) заключается в том, что нх решение, совпа.

дающее с решением (41) прн г) О, будет автоматически удовлетворять гра. ничным условиям (43). После замены пеРеменных 9=! — г)и„=! — г!и,, Ч= — ! — г!из, ГЛ В ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СМСТЕММ где (9) а е(9)ехр з '9. гп=!,2. Из (47) можно полУчить УРавненне, содеРжащее только от: даоз д де дз) — з +а (е) о,=(, (в) 5 (е — д) + (, (9) - 5 (в — )Л (6.6.48) 1 1 в котоРом Р(В)= — !а „(9) в, )а(9) — — аае(В))7(9) Применим к (48) преобразование Фурье, полагая СО (О 1 Г 1 оа(9, т))= — ~ ота(В)агапкой, 5(9-т))= — ага%-9>г(9. 2п 2п,) Уравнение (48) перейдет прн этом в уравнение вида (3.1.27) для оаа.' доза () (Е) .

Г)з (Е) — — о А=а гав~ —.+( (9)1 дв й г й 1' которое решается точно: (6.6. 49) сь р ггз(9 — ОР Г . 8(9, Вг)1 ощ (9)= 1( , +(з(Š— Е,) ~ехР ~ — й(9 — Е,)- .' 1део й 'г й (6.6.50) где е 8(в, вд= ~ ()(в)де а — 9, Подстановка (50) в (49) дает о,(9, тб= (6.6,51) — ~~ и ~~ дв,~ . +(з(Š— Вг)1ехр~й(т)+В,— 9)— р Г г),(в — 9,) г. 8(е, 9,)1 2п,),) ~ й й 1' — са 0 (6.6.53) ОЭ 1 "еге Р(я, 3)= ~ де.

С помощью функция Р решение (52) может быть представлено как дР о,(е, и)= ~ ()з(в — ВРР+ — (з(е — 9,)~де,, дВ в (6.6.54) деР где 6 т)+О,— 9, 3=8(9, От), Р=Р(6, 8) Согласно (53) — + Р=О, д() дЯ дР д Р(В, 5)= — 1( — 6) Уэ(20 Р) (6.6.55) (5.6.52) Интегрирование по А в (52) можно выполнить в общем виде. Рассмотрим функцию йе исилинии волн при ннмонохпомхтичнскои ндклчки 459 где гз — функция Бессели.

Подстановка (55) в (54) дает оз(0 Ч)=1(0 Ч) 1з(Ч)+ е-и е — и + ~ 5(,(0 — 0,)х-(,(х)80,— ~ (,(0 — 0,) 1,(х)де,, 6 'е где 1 (х) и 1,(х) — модифицированные функции Бесселя от аргумента 2 Г е х = — ~ / (Π— Ч вЂ” ег) )г аш (ег),з с(ез. е — е, (6.6.56) (6.6 57) функция о, находится нз (56) дифференцированием в соответствии с (47) Переходя от о,, к ог, з, получим решение уравнений (41) в следующем виде: а,=е "'гп„(9)+ т +пз,(0)е '"* ~ е 'Е'(~о, (6-0) и* (9 — 0) ( ' '( ) + е ' оы гпо тзх е + азч (6 — 0Д вЂ” ) лев 1, (х) 1 (6.6.58) С другой стороны, при и а=сопз1 формула (59) дает пз(г)=е а'* м '" ~ г '"'1,(- 'Гт(Т вЂ” ез)9,1пен о Если перейти к интегрированию по углу ср, связанному с О, соотношением 0,=(Т(2) (1+псе ~у), то получим 1 оз(г) =паза';„г ехР [ — -- (аз+а,)г ~ Х л!г 11 Х сй ~ — (а — аг) гссеф (з(Гг з(пи) ми айр= 'г 2 1 1 / и г,,(911з) =аыа(чгехр ~ — (сс,+а,) а~1/ 2 зйт 2 'а ° а~И у — ' = .— гз — Гзгз 2 и,=е си'пз~(Ч)+ т "е ' п (Š— 06 — 1,(х)+иге(0 — ег)пуз(0 — ез — (лез, (66 59) з (х)! х У з где ).=(а,— агут, Т=тг.

При постоянных начальных амплитудах выражения (58) и (59) переходят в (6 5 ! 6) Лля простоты ограничимся случаем ам = О, При этом согласно (6 5.16) и с учетом нормировки (з2) имеем и, (г) =пщаз,„зй Гг(Г, 1'=' ам 9 (6.6.60) ГЛ. З ПЛРЛМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (ГР. с 757) или (ГР, с. 980> 1 1,. р»з л, (г) = лм>прог ехр [ — — (а, + а,) г— 2 ~ „>гг 1 1зЬУГ'+(ао — аг)о/4 г = лзолооо ехр [ (аг+ соз) г1 2 Го+ (а, — аг)о/4 (6.6.61) В случае среды без потерь (а,=ао 0 — формулы (6.5.16), нз которых следует (60), были получены при этом предположении) (61) совпадает с (60).

Независимость усиления от ширины спектра накачки. Используем (58) и (59), чтобы выявить основные особенности параметрического усиления воли при иемонохроматической накачке Сравним два случая: а) накачка промодулировзиа только по фазе (или частоте): А,щ (б) = У ~„~~в'ш> б) накачка моиохроматическзя: А„,=У )ао Будем считать, что интенсивность накачки 1,„ в обоих случаях одинакова, усиление велико (Гг ~ 1, Г=йгЯо(оо), а линейные потери отсутствуют (аз=а =О).

Принимая во внимание нормировку (42), находим нз (58) т А(о'егв( >=А<в>= — ч Аго(б — б>) ( >) 1,(х)<1бь (6662) 2Г где х — Гг(Т вЂ” 0,) б> Как следует из (62), интенсивности волн на выходе Пу в обоих случаях одинаковы. Учитывая результаты, полученные для ПУ с мо. иохроматнческой накачкой (см., в частности, (6.5.39) и (6.5.40)), находим, что в обоих случаях йша ~ ~гопи (6.6.63) где бюи †поло пропускаиия ПУ с моиохроматической накачкой, эквивалентной шумовой по средней интенсивности.

Для этой полосы были получены формулы (6.5.40) и (6.5.43). Выполнение условия (63) иеобходиио для того, чтобы в формулах (58) и (59) можно было пренебречь флуктуациями величины к (аналогичный вопрос в теории вынужденного комбинационного рассеяния света при иемонохроматической накачке рассматривается в 4 4 гл. 8). Эффект повторения спектра н модуляции накачки. Как следует из (52), ширина спектра волны А, ие превосходит Ьми,: (б> й„(б> <,> Если переписать (Ь2) в виде А< "> — А бЭ о-Ш О А* (б) А(б> (А>А*,) ~ (АоАо) оз"*.

Таким образом можно сделать вывод, что, несмотря иа расширение из-аа модуляции частотного спектра накачки, создаваемое ею усиление ие изменилось. К такому же результату можно прийти и в случае накачки, модулированной произвольным образом (по амплитуде, частоте или фазе), если ее спектр достаточно широкий: $6. усиление ВОлн пРи немонОхРОмдтнческОН нАкАчке 46! то можно заключить, что при достаточно широкополосной накачке, когда выполнено неравенство (63), амплитуда Аг представляет собой произведение (а) быстро изменя1ошейся во времени функции Ачз(В) на относительно медленную функцию А(О1, Но при этом частотный спектр А('1 будет иметь примерно ов огг от» бу Рис, 6,13. Спектры воли иа выходе параметрического усилителя при узкопо- ло~ной (а) и широкополосной накачке (б) (ср с рис.

612) такую же форму, что и спектр накачки, и, в частности, ширина спектральной линии у сигнальной волны будет такой же, как у накачки: бы! ~ аюн+ам! ген. Для холостой волны А, получается другая оценка. Ее спектр слабо реагирует на расширение спектра накачки и остается узким: 2 пу ° Таким образом, в процессе параметрического усиления та из волн, которая распространяется с групповой скоростью, близкой к скорости накачки, воспринимает ее спектр (рис 6,13) Взаимодействие встречных волн. Приведенные результаты соответствуют ситуации, когда расстройки групповых скоростей для сигнальной и холостой волн сильно различаются по величине: ! .)<! (6.6.64) (6.6.66) Ясно, что неравенство (64) всегда имеет место, если волны бегут в противоположных направлениях. Для попутной волны при этом ч,„=1(и, — 1!ин, а для встречной чз„=1!из+1/ин.

Поэтому можно ожидать, что широкий спектр накачки будет повторяться в спектре попутной волны, а спектр встречной Волны будет оставаться узким. Такая картина действительно наблюдалась тксперимеи- ГЛ О ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (6.6.68) а в (ббб) к переменным Чо=/ — г/им 0 =1 — г/ин. В результате получим — -'+ -'А, = -' Ан„(0) Л;ехр~— — + — А,= — „Ан,(0) А, ехр~- дАн и, (6.6.69) гд (э — ч,)1 чн гд (э — ~,)~ чо (6.6.70) где ! 1 1 1 чн = — —— о ч но нн эн нн Используя (70), по обычным правилам находим компоненту А„ коррелирующую с Лн,(0) (см. (1.7.20)): о Аоо ЬАо — ' ' 1 А о(0т)дэм (6.6.72) Чд чн В зависимости от соотношения между групповыми скоростями и, и ио может быть Чо>0 (при этом ч,<0) или Ч,(0 (при этом талано 115]. Теория встречного и попутного взаимодействия немонохроматических волн с учетом нелинейных эффектов рассматривалась в 1161.

Фоккер-планковское приближение в теории волновых процессов 123). Анализ вырожденного ПУ показал, что при определенных условиях (заметим, разных для амплитудно-модулированной и фазово-модулированной накачки) комплексную амплитуду волны накачки Ан,(0) в укороченных уравнениях (31) можно считать б-коррелированным процессом. Это обстоятельство наводит на мысль сразу принять для накачки б-корреляцию, т. е. использовать для анализа параметрического волнового взаимодействия так называемое фоккер-планковское приближение (см. 0 7 гл.