С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 81

Из последнего выражения видно, что при большом усилении (Гг=Р!) резонансная кривая вырожденного ПУ дается формулой !К,(а г)!г егг ехр~ — г! ) аа1. 4Г (6.5.42) Используя (42), ширину области усиления можно оценить как а4! 2Г Кгои, =2 !р (6,5. 43) 4В с. А. Ааыаыоа ы Ар. ГЛ 6 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 5 6. Параметрическое усиление волн прн немонохроматнческой накачке До снх пор мы предполагали, что волна накачки является строго монохроматической и неслучайной.

Эта простая модель, разумеется, не всегда соответствует реальным условиям. Теперь рассмотрим более сложную задачу определения характеристик параметрического процесса, который идет в поле случайной и немонохроматической накачки. Вырожденный параметрический усилитель с шумовой накачкой, модулированной по амплитуде. В общем виде удается решить уравнение д + и д/ ( Ааа(0) А*, дА ! дА (6.6.1) описывакицее вырожденный ПУ, накачка которого промодулировгнз только по амплитуде. Комплексную амплитуду в этом случае можно считать вещественной функцией: А„о (1) = А~~а (/). (6.6.2) Модуляцию сигнальной волны на входе ПУ будем считать произвольной: при г=0 А = Ао(/)=ао(/)+ 606(1). (6.6.3) Полагая в (1) А=а+(Ь, (6.6.4) где а и Ь вЂ” вещественные функции, н переходя к новым переменным т) =/ — г/и, 0 =/ — г/и„, (6.6.6) мы получим два уравнения: да 0 до 0 1 1 до — т н ~ да т но — = — А о(0)а, — = — — А,(0)Ь, ч= — — —, которые легко решаются', учитывая граничные условия (3), находим а(0, и) =ао(т)) ео, Ь(О, Ч) =Ьо(т))е о, (6.6.6) где а ~= — ~ А,„(0,)д0,.

0 0 (6.6.7) Полосы (40) и (43) дают оценку ширины спектра шума на выходе ПУ, если случайное поле на входе А,(1), т=1,2, можно считать широкополосным случайным процессом. Заметим, что согласно (40) и (43) полоса частот, в которой происходит наиболее эффективное усиление, растет при увеличении отношения Г/г. о о усиление ВОлн пРН немонохоомотическоп нАкочке 401 Подстановка (6) и (7) в (4) дает решение задачи в следующем виде: А = ао (Ч) ел+ йуо (т1) е Е.

(6.6.8) Решение можно получить и в более общем случае неоднородной среды или пространственно неоднородного (например, затухающего или сфокусированного) поля накачки. Эти факторы можно учесть, умножив правую часть уравнения (1) на некоторую функцию (А) =1ао(А))+1Ьо(т)))еаАА, (6.6.!0) (АА*) =(а0(А))+ Ьо (о))1 ее, где 0 = 2 ($о) = 2, ~ ~ В„(0, — 0 ) А(0, д0, !У)г = 4 —; ~ (~ у ~ г — т) В„(т) с,'т о (6.6.1 1) (6.6.12) — экспоненпиальный коэффициент усиленин интенсивности сигнальной волны, Сравнивая (12) и (6.5.39), можно ввести коэффициент статистического выигрыша 1о(с Чо 2ГА уог ~ ~~ ~ г т) )7„(т) А(т, (6.6.! 3) 2Г показывающий, во сколько раз экспоненциальный коэфф1шнент усиления при гауссовской накачке больше коэффициента усиления 2Гг = 2)~гйо(„о г при неслучайной монохроматической накачке, которая имеет ту же среднюю интенсивность, что н случайная.

Предположим, например, что шумовая накачка имеет лоренцевгкий спектр с ширнной спектральной линии бо1„=2(1. При ш которая затем войдет под интеграл в выражении для $ (7). Предположим теперь, что накачка промодулирована по амплитуде гауссовским шумом, т. е. А„,(0) — вещественный гауссовский процесс„ причем (Аоо(0)) =О, (Аоо(0) А„,(0+т)) =Воо(т) =7„,)7„(т). (6.6.9) Величина $ в (8) будет при этом тоже случайной и гауссовской (последнее — ввиду линейности выражения (7), связывающего оо и А„о), так что ГЛ.

О ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕО!Ы этом В,о(т) =1,оехр( — О!т!) (6.6.13а) и согласно (12) и (13) '' — 1+!Э~ ~г (6.6.14) В предельных случаях малой и большой Аоо„имеем 8=2(Гг)', о)о=Гг, О~ч~г 4,'1, 4Г'г 2Г Заметим, что выражения (17) фактически соответствуют представлению накачки в виде б-коррелированного процесса (А.о(1) А.о (1+ т)) = 2пбноб (т) (6.6.18) (6.6,17) — так называемая когерентная длина.На этой длине между вол- НаМИ ОЗг И О1„ВОЗНИКаЕТ ЗаПаЗДЫВаНИЕ Т ПОРЯДКа ВРЕМЕНН КОР- реляции накачки т„11бо1„Если г ~1„,„(т<.'т„), то согласно (7) $ Ао» в усилении участвует весь спектр накачки (каиисюп1пический режим) и вместе с г растет и т)о. Г)ри г)(оог (т)то) в (7) в Ао т.

е. усреднение определяется усредненным по времени Т = г (ч!) т„значением А„о(1) (инерционный режим); ири этом с ростом г в процесс вовлекается все голее узкая часть СпекТРЕ Нанаиииг И УВЕЛИЧЕНИЕ ЧО ПРЕКращаЕТСЕ (ЧΠ— Г.НО1гпах1= =2Г/О,'т1,~~1, рис. 6.11, а). Сказанное относится также к процессу генерации гармоник в диспергирующей среде (ср., например, (7) и (8.3.25)). Из выРажсниЯ (!5) длЯ о!о следУет, что пРи малых интенсивносгях накачки более эффективной для усиления является гар со спектральной плотностью О„о=1„о(ИО, соответствующей условию эквивалентности 2л6„о = ~ Воо (т) йт = 27„о(О.

Действительно, подставив (!8) в (12), получим 8 = 4Гог)О, о ~, что совпадает с (17). Выражение (14) указывает на следующую зависимость усиления от г: при малых г эта зависимосзь квадратична, а при больших — линейна, т. е. й — го, г~1„„! й г — 1„„г~ 1„„ (рис. 6.11, а, сплошная кривая). Здесь 1 2 (6.6.19) Фе. усиление волн при немонохроматичвскоя накачка 453 моническая накачка, а прн бельа~их интенсивностях — шумовая: Че'С1 ~~е(гг г)е)1, 1„е-а(о Здесь г',— интенсивность накачки, при которой оба режима эквивалентны.

Она определяется условием т),=1; при большом усилении 'у' 7 г = 0 ) ч 1/2р (6.6.20) (рис. 6.11, б, пунктирная кривая). н ра 9 ра (г ( а4 уа а уа Рнс. 6.11. Зависимость коэффициента усиления З (сплошные линии) н статистнческого выигрыша ги (пунктнр) вырожденного ПУ со случайной амплнгудно-модулнрованной накачкой от расстояния (а), средней интенсивности (а), ширины спектра накачки (а). Рассмотрим теперь зависимость (( и г)е от Лш„. Согласно (14) в рассматриваемом случае усиление равно и = 4)Р6ае — У ° у = О(о ~ а (6.6.21) ае ~Ч; т.

е. сначала 6 увеличивается пропорционально полосе: у О=Лш /2, но затем при достаточно больших полосах, Лшя ь ~шн 2 ~ч(г (6.6.22) происходит насыщение усиления и величина 6 стремится к неко- торому максимальному значению чпйэо Эое йаь~» = э (ч( (6.6.23) ГЛ А ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ от Лм» не зависящему (рис. 6.11, з, сплошная кривая). Статистический выигрыш при Лз>»=-Лв„' является наибольшим и стремится к нулю как в оолзсти малых, таки в области больших Лв„ (рис. 6.11, в, пунктирная кривая).

Вырожденный параметрический усилитель с шумовой накачкой, модулированной по фазе. Будем исходить из уравнения (1), записанного в переменных (5): (6.6.24) Считаем теперь, что з А„,(0) = А"„,ехр ир(0), А~, =)/Х„,=-сопз1, Г(0) = $ 4(0,) г(ои (6.6.25) причем $ (1) является 6-коррелированным вещественным процессом: (е) = О, (0$„) = 208 (т). (6.6.26) В этом случае накачка имеет экспоненциальную корреляционную функцию (А»,(0) АД,(0+т)) („,ехр( — О!т)), которой соответствует лоренцевский спектр с шириной Лв„=2О.

Если в (24) сделать подстановку А = В ехр (Йр/2), то для функции В получим уравнение В+2 0(0)В= — В*, Г=))Айм используя которое найдем уравнения, определяющие х =ВВ* * АА* и у=ВА: (а) Х=- (у" +у), (б) у+(е(0)у=- —,х. (6.6.27) Г 2Г Согласно(27) и(!.7.20) коррелирующая с 0(0) компонента у равна д ='у$~(0,)й0,. п Учитывая (26), находим 9» — *!» » (0(0)У)=(Й(0)У'"')= — (У2О $6(0 — 0,)Г(0и (6628) ч-~-»г» Заметим, что 0>ц(и„>и) и 0 <т) (и„<и); поэтому интеграл от 8-функции в (28) будет иметь разный знак в зависимости от того, какая из групповых скоростей, и» или и, является ь к усиление ВОлн пРи немонохРОмАтическои нАкАчке ЬВВ наибольшей: Ь +ь, >О, и>И, 1 $6( — ВГ)АВГ= ' (6.620) — — 2)(0, и,~и. Подстановка (29) в (28) дает ($(О) У) = — (У012) 1)2).

Усредняя уравнения (27) и учитывая (30), получим — Г „. (Э~2)~ 2Г х = — (у+у*), у + и — х, (6.6.30) или, если и у+уь, — Г 4Г 0)т) Х= — -й, й= — Х вЂ” — й. т т 6) (6.6.31) Если теперь вернуться к переменным ( и г и рассматривать установившийся режим, когда все производные по( равны нулю, то уравнения (31) примут вид — = — Гй, — = 4ГА — (Г1У1й. (6.6.32) х=Г(0), й=О.

Решая (32) с учетом граничных условий (ЗЗ), находим, используя (6.6.21), 7(.) =7(О)' '+'",„""„'*„— ' (6.6.34) 1+(Г /Г16 (6.6.33) где Г,,= — О) )(2 )/(О) )(2)'.) 4Г' (Г ~6, Г )6). (66 66) Выражение (34) показывает, что в ПУ с модулированной по фазе накачкой создается большое усиление, если З=Г г=))/Г(О)У(/2)'+4Г' — (7~У(/2)г=2.1, (6,6.36) при этом 4 (0) ехР В ((г) ж В расс2(атривземом слу')ае в (36) Г4=Н2( ь НЬ„РО (6.6.37) Здесь величина х (АА') = 7(г) равна средней интенсивности усиливаемой волны, а и =(В')+к.

с. =(А'ехр 2(()(В))+к с., т. е. прн г=О гл е парамнп ичаскин систнмы =А=У'+( — "') — "'. (6.6.38) Определяемую выражениями (36) и (38) зависимость й и т)е от г, У„а и Лш„иллюстрируют кривые на рис. 6.12. Обратим внимание на то, что зта зависимость носит совершенно другой характер, а уг льь ау Рнс, бл2 Зависимость коэффициента усиления З (сплошные линии) н статнстнческого выигрыша тЬ (пунктнр) вырожденного ПУ со случайнпй фаэовпмодулнрованной накачкой пт расстпяння (а), ннтенснвнастн накачки (б), шнрины спектра накачки (в). чем при амплитудно-модулированной накачке (см.