С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 74

5.35. Изменение ао времени разности населенностей и и интенсивности т-й гармоники 5аг — рр* в нутационном режиме при различном соотношении между временами релаксации (моиохроматическое поле). первого (и самого большого) импульса может нзмного превысить стационарное значение Ям. Это хорошо видно на рис. 5.35, где глаже показано иутационное изменение и. й $. ДВУХУРОВНЕВАЯ СРЕДА В СИЛЬНОМ ШУМОВОМ ПОЛЕ 409 Генерация гармонии; области статистического выигрыша. Средаяя интенсивность и-й гармоники при й-фотонном резонансе в адиабатическом приближении находится путем статистического усреднения выражения (69): (' хмш (х) г)х (1+ ха)Я (5.5.81) В предельном случае очень слабого поля (эффекты насыщения ие проявлиются) из (81) следует (х ч; 1) (5 5.82) Зщ=(хм) В частности, если поле гауссовское, то, подставив (21) в (81), получим 5 м — т! Хм = т) оз' (оз < 1) (5.5.83) С другой стороны, для монохроматического поля с малой интенсивностью мы, очевидно, имеем из (69) Ям=хм=от'" (оз~'1) (5.5.84) Зм/Зт = гпй (5,5.85г Зто выражение аналогично выражению (3.!.20), полученноиу для генерация гармоники на нелинейности л-й степени, тзк как в (63) величина у ь связана с нелинейной аосприимчиностью порядка и:=т.

Теперь рассмотрим .и тьнос случа !нос поле (х ь 1, зф !екгы насышення существенны), Здесь оказывается важным соотношение между т и й: Зм = ю (0) (т+ 1 — й! л, й~ мп ((ш+1 — й) п/й) (5,5.86) (хш хе) т) 2й, т„е. в случае гауссовского поля и х=от~ 1 (т+1 — й) и/йз 1 + ! .-, т ( 2й — 1, (5.5.86а) и т = 2й, (5.5. 86б) ! (ш — 2й)! озгм за', т > 2й.

(5.5.86в) /(ля сраваения напомним, что если поле не случайно, то при х= — аз~~ ! согласно (69) 1 оз'яа-м' ' Зш= оз~ш-еа гл (2й — 1, (5 5,87а) т=2й, т ) 2й (5.5.876) (5,5.87в) Таким образом, при больших ннтшюппно т;ж, ьах и при л~алых, случайносп. поля дасю опредслснньш выигрыш нри ~ спсраннв гаРмоник Сравнение (83) и (84) показывает, что случайность (н гауссоность) поля приводит к тому, что средняя интенсивность гармоники увеличивается в т! разг Ио ГЛ. З.

НЕЛННЕЯНЫЕ ПРЕОбРАЗОВАННЯ ШУМА Более детально процесс ~ енерации гармоник случайным полем иллюстрируют рис 5.36(стационарный режим, ширина спектра поля йы О), рис. 5.35 (переходный режим, бы=о) и рнс. 5.33 (переходный режим, А ы ф О). г1тобы выяснить вопрос об зффектнвностн генерации гармоник случайным полем в промежуточной области (хящ1), рассмотрим случай двухфотониого резонанса (А=2), когда интеграл (81) берется точно.

Из формулы (26) дли (и') находим, что е-пл Р+ РО (1+ха)з 2 (5.5.88) где Р=Р (р) и 1) ()()ь) — функции, определенные выражениями (27). Днффе. ренцмруя (88) по р, получим (1+ ')' 1 Лр/ 2 Если поле гауссовское, то 5щ (81) выражается через интеграл (89): — рт Лтщ 5щ-- ( — — ) (Р+рс)), И==-= —,. 2(, ор) х оз' (5.5.90) Используя, наконец, соотношения (28), в (901 можно избавиться от производных и выразить 5 через Р, Я и и. В частности, выражения для средних интенсивностей гармоник при двухфютонном резонансном взаимодействии будут следуюшими: )с 2 (5,5.91) 5, = — ~П0+ — — ЗР~, 5а = — ~1+ " — 4() — рР ). 2~ р )' ' 2~ )ст Оптимальная ширина спектра излучения при генерации гармоник.

Рассмотрим генерацию ь-й гармоники прп й-фотонном резонансе с учетом конечной ширины спеулра излучения. Согласно (57) средняя интенсивность гармоники при атом равна 5ь = 4рр*. (5.5.92) Если падающее на среду излучение можно считать оптическим белым шумом (см. критерий (39)), то, под; табпв (43) в (92), получим (5.5.93) Яа (1+у) (1+(1-1. ттг2т,) у) ' где у=азС(2. При у="зС ) У+т,)йт, (5.5.94) Зависимость 5щ (91) от оз показана иа рнс 5.36, где для сравнения также приведены соответствуюшие кривые 5щ (со) (69).

Обла тн, где кривые 5щ идут выше кривых 5щ, т. е области стати: тического выигрыша, заштрихованы Рнс. 5,36. Резонансная генерання гармоник в двухуровневой среде при двухфотонном .резонансе. сплошные крвеыс : (л) соответствуют монохроматнческому реГулярпому полю, пунктнрнме «рквме Зт (л)— моаохроматнческому гауссовскому полю; а) вторая гврмонпка. б) третья гармоника. в~ четвертая гармоника. .' пятая гарманекв.

д) юестая гарманяка. 412 ГЛ. З НЕЛИНЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ШУМА интенсивность (90) имеет максимальное значение (8»)ага»в 1 (5.5.95) (1-1-Р 1+Т»/2Т») которое лишь иевначительно отличается от максимальной интенсивности (5»),„=0,25 гармоники, возбуждаемой чисто монохроматлческим излучением (0,2 =(бпа),„(0,25, поскольку Т»~Т»). Так как корреляционная постоянная С зависит как от интегральной интенсивности оптического шума о', так и от ширины его спектральной линии Лго, условие (94) можно рассматривать двояко: как определяющее оптимальную интенсивность аз (при фиксированной Лго) или оптимальную ширину спектра Лго (при фиксированной а»). Следует иметь в виду, что расчет оптимальной полосы Лго по формуле (94) корректен лишь при условии, что время корреляции, соответствующее этой Ьгп, удовлетворяет неравенству (ЗЗ).

Аналогичные результаты могут быть получены и для модели оптического излучения с диффундирующей фазой. Корреляция флуктуаций в двухуровневой системе; о методах ешумовой» спектроскопии 150). Исследование отклика двухуровневой системы на случайное поле может быть положено в основу методов «шумовой» оптической спектроскопии. Естественно, что статистические характеристики разности населенностей и поляризации двухуровневой системы несут информацию о характерных параметрах у„ра, временах релаксации Т„Т,, т. е. о величинах, представляющих первоочередный спектроскопический интерес, Ниже мы покажем, в частности, что, измеряя корреляционные функции в возбужденной стационарным шумом двухуровневой системе, можно определять время релаксации Т,; обычно оно определяется, как известно, из спектральных измерений *).

Напомним, что в гл. 3 эта задача уже обсуждалась применительно к линейной радиотехнической системе с сосредоточенными параметрами. Для двух рассмотренных моделей шумового поля удается определить точный вид корреляционных функций, например; (па,), (рр,"), (р,"а). Рассмотрим подробно, как находится корреляционная функция (пл,) в том случае, когда действующее на систему излучение можно считать оптическим белым шумом. Заменив в (5) 1 на 1+т, будем считать т новой независимой переменной, а 1 — параметром. Поскольку Йп (1+ к))г( (1+ т) = с(п ((+ т)1г»1 = с(п,!4(т, *1 Поэтому корреляционную спектроскопию можно назвать «временной» спектроскопией; о <временной» спектроскопии в поле регулярных сигналов см., например, (4З).

э а двэхтговневхя свела в сильном шэмовом поли 4!3 то (5) теперь можно переписать в виде Т, — +и,— л,=рД,+рД„ ллт М лрт Тз — т+Рх — 2 идс~ (5.5.96) где 3,=— аэ(!+т), причем Ят,фс,) = С6 (ть — тг), (Вам) = О. Умножив (96) на л=л(!), получим уравнения Т,4™+ип,— пп„=пр Р,+прД„ елрт ! Т, д +ир,= — — ппД„ Ит (5.5.97) где согласно (97) (Ир )!"1= — 2 — (Ллх) $т $~ ~ Ь (т ) Йт ), 2Т, (пр 5,) = (прД,) = — — (пл,) С (5.5.98) Усредняя первое из уравнений (97) и учитывая (98), получим замкнутое уравнение для (лл,): Тт ~ (пп,)+ (1+ йу ) (плд =(и) по (5.5.99) Учитывая выражение (43) для (л), уравнение (96) можно переписать в виде + (! —, + 2т т ) В (т) = О, (5.5.100) где В (т) = (пл,) — (л)' — корреляционная функция флуктуаций разности населенностей, Аналогично могут быть получены уравнения для (п"р ), (р'"и,), (р р,") н 'и'"л,) (т=!, 2, ).

Как н в случае (99), ин- тегрирование этих уравнений не представляет !руда и приводит которые относятся к классу стохастических дифференпнальных уравнений (относнтельно функций лп, лр, и л) со случайными 6-коррелированными коэффициентами $,. Усреднение уравнений такого типа нами уже рассматривалось (см. (39), (40) и б 7 гл. 1). В этом случае средние вида (прД,") находятся как (ПрД,) — ((Пр,)! 13т), Гл.

6. нелинейные пРеоБРАБОЕАния шуага к следующему результату (при т~О): (плг> — (л>' (рлч> (олс> [ / 1 С <я' — <п>Я <,„> < л> '"Р ) ' Т, + 2Г,Т,) т>(, (5.5.101) Заметим, чго из стационарности флуктуаций л и р следует, что (лр,) =(л,р). Таким образом, если т= — !т[ -О, го (прч) = (лр,,!) = (л|, р). Это значит, что корреляционная функция (пр,) определяется при т)0 выражением (102), а при т(0 — выражением (101): ехР( (т + 4Т Т )~~~ (5.5. 103) Р~ — (Т'-+„.

)~ ф ( ~О). Согласно (101) — (103) с ростом интенсивности поля (постоянная С при этом также растет — см. (35)) время корреляций всех флуктуаций уменьшается, т. е. эти флуктуации становятся более быстрыми. В то же время спад с ростом т отношения В< —,ехР ( (т Т ~!т[~ (5.5.104) от интенсивности ие зависит вообще. Эти результаты показывают, что измерение корреляционных функций в двухуровневов системе позволяет, в принципе, получить оценку времен релаксации Т, и Т„а также интенсивности насыщения 1„ы, от которой зависит нормировка корреляционной постоянной С.

Знание точного вида корреляционных функций является при этом весьма существенным *). Согласно (35) С оа"=(7!7„„,)', учитывая формулу (4) для 1 „находим, что С Т,Тя!а. Таким образом, в предельномслучае большой интенсивности излучения 1, когда С ! С 1 — > — — > —. 4Т,Т, Тя ' 2Т,Те Т, ' определяемое выражениями (101) — (103) время корреляции перестает зависеть от Т, и Т;! Т,Т, т С Та е) Применение корреляционных методов с целью изучения двухуровневой системы было предложено в [421 для анализа ядерного магнитного резонанса.

Однако, в отличие от (98>, выражение для коррелятора (ар"), приведенное в [421, ие дает зависимости времени корреляции ог интенсивности света. уз двухл овнввдя спндд в сильном шумовом поли 4Б Рассмотрим одну нз возможных схем наблюдения корреляционной функции (апре) (рис. 5.37,а). В случае однсфотонного ъФ а/ Рис. 5.37. а) Схема измерении взаимной коррелвцнониой функции (аеа*) полей ив входе и выходе двухууовневой системы. О) Две компоненты функции (аеа+) (см. (106)).

резонанса (й =. 1) амплитуда а света, распространяющегося в двухуровневой среде вдоль оси г, определяется уравнением з = с'ер (5.5.105) откуда а(/, г) =аз(/, г=О)-(-а,гр(1), если слой вещества считать тонким (ае>а гр). Таким образом, корреляция между полями на входе и выходе слоя двухуровневой среды определяется гыражением (а,а",') = (а,а,*,)+а,г (реа,), (5.5.105) где в данном случае согласно (34) и (102) (а,а~) - Сб (т), пеС/2 Г / 1 С (р,"ае) = — — '- — ехр )с — ( — -1- — ) т~ (т ~ 0), С+ 2Т, ) „Те 4Т,Т„ если учесть, что, как следует из (5) и (43), С 2 ( е) 2(С ) 2Те)' Несмотря на то, что второе слагаемое в (106) малб по сравнению с первым при очень малых т, оно будет выделяться благодаря своему более медленному спаду при достаточно больших т (рис.