С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 64

Спектральную интенсивность гармоники 0 (ш) найдем, выполнив фурье-преобразование функции (26). Рнс. б.а. Область суммирования (заштрихована) в формуле (2!). Полученные выражения дают возможность сделать некоторые общие заключения о структуре спектра и-й гармоники. 1. Предположим, что спектр 6+(ш) исходного колебания (3) симметричен относительна частоты шо. Тогда в (19) д(т) 0 н Я(т)=р(т)72, т, е.

(е(т) — вещественная функция, При этом в (23) и (25) а+и3 Я ОФ Д(т)] в Яа(т)] в =Я'(т) = Р (т ° (5.1.27) Так как коэффициенты а, и С,' ьо в рядах (23) и (25) положительны, то функции () (т) вещественны, т. е, спектры гармоник также будут симметричны относительно частот лсша. 2. Функция р(т) имеет смысл коэффициента корреляции квадратурных компонент пропесса (3) (см.

(2.3.4)), т. е, — 1 =.р(т)~1. Но в суммы (23) и (25) функция р(т) входит в степенях, больших или равных сп (~п(а-=л). Поэтому 9 (т) с ростом т будет 2 ь нелинейнОе БезынеРциОннОе пРБОВРАзОБАнив 363 уменьшаться не медленнее, чем р (т). Определяя время корреляции входного процесса (3) соотношением т„'* = ~ ~ р (т) ~ Йт, о используем аналогичную оценку для времени корреляции т-й гармоники: '1 Е. (т)! ат О (о) а (5.1.28) (5.1.29) т. е. тЧич в в Лов .з Лв„, 22 С. А. Авмвввв в АР, Знак равенства в (28) относится к гармонике самого высокого порядка, номер которой совпадает со степенью нелинейности (и= а); при этом в рядах (23) и (25) остается по одному члену.

Так как выражение (23) содержит лишь четные степени р(т), то (28) можно переписать как и ОЭ а,С, 2-в ~ рв(т) ат в=м, м+2.... (и, т — четные). (5,1,30) аС, 2 2-и в вы+2,... Если р(т) ~0, то аналогичное выражение можно написать и для нечетных гармоник. При любом виде корреляционной функции р(т) величина интеграла ~ ~р(т)!мат тем меньше, чем больше т.

Таким образом, а оценка (28) позволяет сделать вывод о том, что с ростом номера гармоники время корреляции уменьшается, Отсюда, в свою очередь, следует, что чем выше номер гармоники и, тем шире ее спектр 0 (оо) (ширину спектра можно оценить как Лаа 1~т~ ~) Это расширение спектра сопровождается, напомним, уменьшением О интегральной интенсивности гармоники и' =2 ~ 6 (ы) йааг „(см. о табл. 5.1). 3. Предположим, что известны ширина спектра входного гауссовского шума Лоз„„1(т'„", степень нелинейности п н номер гармоники т. Оценим по этим данным ширину частотного спектра гармоники. На основании (29) можно утверждать, что спектр шума на выходе умпожнтеля частоты будет более широким, чем на его входе: 354 Гл.

а нелннеиныВ пРеОБРАЭОВАния шумА Однако количественно уширение может быть или большим, или, наоборот, незначительным, и это зависит от формы спектра входного шума 6(в), т. е. от конкретного вида коэффициента корреляции р(с). В качестве примера рассмотрим подробнее самую высокочастотную гармонику (п)= п). Согласно (23) — (26) ее корреляционная функция имеет вид В„(т) = а,2-"+2р" (т) соз и вст, (5.1.31) где коэффициент а„определяется (16) или (17) в зависимости от того, является степень нелинейности п четной или нечетной.

При этом колебание (3), частота которого умножается, имеет корреляционную функцию В(т) = и'р (т) соз в,т. (5.!.32) Форма спектральной линии на входе умножителя определяется функцией (см. (2.3.15)) с)А(в,.+ в) л(в)=- — з! р(т)е' 'с(т= з! р(т)созрел/(т, (О.!.33) СО О а на выходе — функцией ! б'(п)в,.+-в) д (в) = — ~ р"'(т)е!"'с(т= — СО ! ! р (т) соз свт с/т.

Задаваясь конкретными выражениями для р(т), находим. !) р(т) е — а)си д(в) ! а и ас+вс' та я (п)а)2+вс ' 2) /) (т) е — а'с' й (в) е — а*/)а' ! 2 Уп а вс (с,)) — Š— в*/!а*в. ! 2Упп) а ! ! ! сь а'с' й( ) 2а сЬ (яв/2а) ' (5.!.34) (5.1.35) (5.1.36) в (в) = Св — !)/2 2вв ° ° Г вс /2с — ! )2! !))сь(„в/2а) И !4 а„+!--2 - ) ~ (п! — н четное! ! т/2 — ! 4~/2 Ав В ° / ссс 2(п) — !)! сс22Ь(пв/2а) И ~4~а+~ ) (и) — четное), с ! йс (5.1.37) Ф ).

НЕЛИНЕННОЕ ЕЕЭЫНБРЦНОНное ПРЕОБРАЗОВАНИЕ 355 1 4) р (т) „,, й (о)) ~ Еа ' ' (5.1.38) 1 О, )о)) а. Спектр и (о)) в этом случае находится по формуле (11) на с. 28 справочника [51]. Согласно (35) при лоренцевском спектре д(о>) спектр гармоники д (о)) тоже лоренцевский и в л( раз более широкий, чем а Х о>/см с() -7(7 -л (7 о )Р о)т(х ф Рис. 5.7.

Спектры на входе (о) и выходе (а) уыиожнтедк частоты. Првведеввме врввме соответствуют следую~дам формулам т — (33), 3 — (33). 3 -(37> е — (33) хт(о)). Если спектр и(о)) гауссовский, то, как следует из (36), спектр гармоники тоже будет гауссовским, но его уширение меньше — оио составляет )7 и (см. также ~ 3 гл. 8 и 1451). На рис. 5.7 показаны рассчитанные по формулам (35) — (38) спектры на входе и выходе умножителя частоты для случая ге- (де ГЛ. З НЕЛИНЕЯНЫЕ ПРЕОВРАЗОВАНИЯ ШУМА нерацнн пятой гармоники (Ач=й). Видно, что спектр гармоннкн тем шире, чем медленнее спадают крылья спектра входного колебания.

Прегюразоваиие амплитудных и фазовых флуктуаций. К анализу флуктуаций при умножения частоты иногда удобно подойти с других позиций, а именно рассмотреть, как непосредственно связаны флуктуации амплитуды и фазы (или, соответственно, амплитудная и фазовая модуляции) на входе и выходе умножителя частоты. Перепишем вьнзажение (3) для входного шума, выделив амплитудные н фазовые флуктуации: х(!) Р [1+а (ГЦ ссэ [ыпг+ф (г)], (а) =О, (ф) О.

(5.1 39) В аналогичном виде ззпншетси и шумовой процесс, описывающий т-ю гар- монику: г (2)=ррж [1+5 (1)] соя [глыпг+ф (Г)], ([))=О, (ф)=0. (5.1 40) Будем считать, что характеристика нелинейного элемента имеет внд (2). Тогда (40) совпадает с (5), т. е. ф (Г) тф (Г) (гл ~ 1), п — м Р [1+ [1 (г)! с -" 2-л+г Рл [! [ а (гйл (5.1.42) Иэ (4!), (42) видно, что амплитудные и фазовые флуктуации преолразуются независимо.

Согласно (41) фазовые флуктуации увеличиваются в гл раз. рассмотрим теперь амплитудные флуктуации [) (т). Усредняя (42), получаем и п1 Р— С 2 2-лпг рл Я1.[ а)п) Подставив (43) в (42), найдем (5.1 43) $ СР [а (Г) — (ал')1 р [1.[ а (Г)]л ([1+а (Г)]п) (5.1.44) ~~ С„(аа) р и нли, поскольку С' =и и (сс) =О, ла (Ф) + ~~ ~Ср [ар (!) — (арД па (г)+ 2 [аа(Г) — (сап)]+ !+ ~ СР(.Р) р=2 2 + 2 3 [ () ( )]+"' В(г) (5.1.45) Вырзженяя (44) и (45) не зависят от т, т.

е. амплитудные флунтуацин для всех гармонна одинаковы, Если амплитудные флуктуации на входе относительно малы, а (Г) ~ 1, то согласно (451 р (г) = па (г) т!. НЕЛИНЕЙНОЕ ВЕЭЫНЕРЦИОННОЕ ПРЕОВРАЗОВАНИВ Збт — амплитуднме флуктуации в гармониках в и раа больше, чем в исходном колебании (и†степень нелинейности). Преобразование распределения вероятностей. При прохождении шума через нелинейную систему его распределение вероятностей меняет вид. По обшей формуле (1.2.11) найдем, что распределению йуг(х) при у=х" соответствует распределение тГл-т Яув(у)=йу,(х=у ) —. и В частности, гауссовское распределение ! l хв'т В'т(х) =ехр ~ — — ~ 'гг2п о ~ 2ов ~ переходит в существенно негауссовское распределение 1 'Мал 1 (Р'в (У) ехР ~ — — ). рг2п опу" и" 2ов По сравнению с (й'т (х) функция Яув (у) медленнее стремится к нулю при у-» ОО, Меняется и характер распределения вблизи нуля: конечным значенивм (Р'т(0) соответствует (Р'в (О) = Оо.

Оптический пример безынерцион. ного нелинейного преобразования: нерезоиансная многофотонная ионизация атома. Интересный пример безынерционного нелинейного преобразования оптического шума дает новый раздел оптики, связанный с изучением так называемых много- фотонных процессов в атомах 121, рис, б.з. нереаонанснаи ионн 20). В поле мощного лазерного из- "ци" атома: лучения красной границы фотоэффек- о> од оф г р ° ° «р от атоме происходит в ревультвте та не существует: фотоионизация атО. поглощеиии одного фотонах бг че.

ма происходит и в условиях, когда ',тр„',"о';„',"„",„",'";" ЭНЕргИя КваНта СВЕта мЕНьШЕ Пптсн- одиовреиеииого поглошеиивг веты™. Оев фотоиов> циала ионизации. В сильном световом поле конечную вероятность имеет многофотонный процесс (рис. 5.8), в котором складываются энергии нескольких квантов, В этом случае вероятность фотоионизации пропорциональна уже не первой степени, как в обычном, однофотонном фотоэффекте (см (2.9.1)), а более высоким степеням интенсивности. Для и-фотонного процесса вероятность ионизацин атома в единицу времени Ф'„(О=-с(гт„(1)(г(1 равна (ср. с (2.9,1)) рвА=(р (О=Й.("(т) (5.1АУ) Гл 3 налинаиныь пРБОБРАзоВАния шумА где и — число поглощаемых фотонов, рл — сечение миогофотонног! ионизация, ((7) — интенсивность поля ").

В случае монохроматнческого поля интенсивность г' есть величина постоянная (! )з) и вероятность ~" л. З = ()луО. (5.1.48) При действии иа атом шумового поля (3) мгновенная интенсивность /(!) =рз(!)72 и, следовательно, вероятность (Р„(!) =2-"Р„р (г) (5.!.49) представляет собой величину, случайным образом изменяющуюся во времени. Пусть огибающая поля р (!) подчиняется распределению Рэлея (статистика поля — гауссовская) со средней интенсивностью 1 той же, что и для монохроматического излучения.