С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 63

5.3). Многие реальные нелинейные устройства нельзя считать безынерционными, но в то же время их можно представить в виде последовательно соединенных двух частей: безынерционного нелинейного элемента НЛ и линейного инерционного элемента — фильтра Ф (рис. 5.4), причем обе части этой схемы (линейную и нелинейную) с допустимой точностью можно считать развязанными, т е. ее элементы можно рассматривать по отдельности, юла Ю Рис.

5.5. Частотная харантеристина фильтра, выделяющего беа искажения «з-ю гармонику. л'а Ггя) Рнс. 5.4 Типовое радиотех. ннчесяое звено. а исходное колебание, частота которого умножается, представляет собой квазигармонический случайный процесс: х=р(()соз[оза1+гр(г))=А(()е'""+к с., А=-р е"а, (5.1.3) 2 с относительно узким частотным спектром Для простоты считаем, что стоящий после нелинейного элемента фильтр Ф (рис.

5.4), настроенный на частоту лгюа, имеет достаточно большую полосу пропускания Люе (рис. 5.5), так что инерционность фильтра никай ие влияет на форму спектра я-й гармоники; роль такого фильтра сводится просто к выделению без искажения т-и гармоники и полному подавлению всех остальных. Зто обстоятельство намного упрощает анализ таких схем, который, соответственно, проводится в два этапа: сначала рассматривается нелинейное преобразование х-з-у, а затем линейное преобразование у-ь.г (по этой схеме дальше рассматривается преобразование шума в умножителе частоты и квадратичном детекторе). Умножение частоты.

Как в радиофизике, так и в оптике одним из наиболее часто встречающихся нелинейных преобразований является умножение частоты (генерация гармоник). Исследуем этот процесс, предполагая, что для получения т-й гармоники используется нелинейность и-й степени (и ) ш), т. е. зависимость (1) имеет вид у=х" (п=2,3,4,...), (5.1.2) 34в ГЛ. В НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ШУМА Подставляя (3) в (2) и используя формулу бинома Ньютона, получим у=(Аел" + А*е 2л")л = Л л Рл и) чл — СРАл-РАлРЕйаил — 2Р~~ Р ( ъ СРЕнл — 2юел ~+ф1 (5 1 4) р=з -О Из этого выражения видно, что с помощью нелинейности четной степени можно генерировать только четные гармоники: О, 2Р2„444„..., нэ22 (л — четное), а при нелинейности нечетной степени — только нечетные: э22, 3э2„5Р2л, ..., НЕ22 (л — нечетное).

К. п. д. при гармоническом н шумовом возбуждениях. Согласно (4) л2-я гармоника, образующая процесс на выходе фильтра, описывается выражением г(~) =Сл — л (2 — б„л) соя т (гзл(+~р (()), (5,1.5) 2 Р" (О где 6„„— символ Кронекера: Ь, = 1 (л2 = О), О (т = 1, 2...,). Средняя интенсивность процесса (5) равна О' =(гл) =22 ллп „(ргл), (5.1.6) где (5.1.7) л — л л! ,'='Й вЂ” "1 (5.1.8) Форма интегрального спектра на выходе нелинейного безынерционного элемента, т. е относительное распределение интенсивности процесса у по гармоникам, определяется зависимостью величин о от индекса л2.

Как видно из (6), от статистических свойств входного процесса (3) форма этого спектра не зависит; ОтНОСИтЕЛЬНОЕ РЕСПРЕДЕЛЕНИЕ ИНтЕНСИВНОСтИ ПО ГаРМОНИКаМ тз22 определяется фактором г „. Из табл. 5,1 следует„что относительная эффективность генерации и-й гармоники, пропорциональ. ная г „, уменьшается с ростом т (при заданной степени нелинейности и), Статистический выигрыш. Величина к. п, д. генерапии гармоник, напротив, существенно зависит от статистических свойств входного процесса х, точнее — от статистики огибающей р этого процесса: согласно (6) П„(р'л) $ !. нелинейнОе аезынеРпионное НРеОБРАЕОВАнне !' а б л и и а о. ! Зиачеиии фактора Р „ !а !00 Обозначив среднюю интенсивность входного колебания через оа = (х") = (ра)/2, находим, например„что при гармоническом возбуждении (р и !р постоянны, причем величина огибающей неслучайна) (рал) оа»2» (5.1.8а) а при возбуждении.

стационарным гауссовским шумом с рэлеев- СКИМ РаСПРЕДЕЛЕНИЕМ аМПЛИтУДЫ !И (р) = РŠ— РЧ'о' (рел) оа»2»л) (5.1.9) (см. (2.4.7)). Из сравнения (8а) и (9) следует, что при одинаковых интенсивностях ое входных колебаний к. п. д, генерации любой гармоники гауссовским шумом в 1=(р'л»/ор'"' =и! (5.1.9а) ш(р) =-.е- ! ! (5.!. 10) (оно спадает более медленно, чем рэлеевское), получим (рел) ое» (2л) ! т.

е. статистический выигрыш здесь еще более значителен, чем в (9). Распределению (10) соответствует распределение входного процесса !./л'!е га(х) = !(е~- — - = (!х(~о) Г-. ) раз больше, чем при гармоническом возбуждении (и — степень нелинейности процесса). Г1одчеркнем, что факториальиый выигрыш и! отнюдь не является наибольшим возможным. Статистический выигрыш при генерации гармоник проявляется тем сильнее, чем медленнее спадают распределения вероятностей !Р(х) и и (р) на бесконечности.

Взяв, например, экспоненциальное распределение для огибающей 350 ГЛ 6 НЕЛИНЕИНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ШУМА (см. [11, с. 312),спадкоторогосростомхявляется, очевидно, также не таким быстрым, как в случае гауссовского распределения. Отметим, что статистический выигрыш, больший п1, получается и в том случае, когда гармоники возбуждаются с помощью гауссовского, но периодически нестационарного шума вида х (1) = а (1) соэ шлг, (х') = о' = '16 О,", о," = (а'), (5.1.11) который формируется на выходе параметрических усилителей радио- и оптического диапазона при достаточно больших коэффициентах усиления (см.

гл. 6). В (11) а(1) — относительно медленный гауссовский стационарный процесс: 1 / а» ш (а) = = ехр ( — —,). 6'Яа ~ 26' (а) =О, В этом случае (рэл) (аэл) пал (2п 1) 9 Ол»2» (2п 1) й (5.! . 12) и статистический выигрыш по сравнению со стационарным гауссовсиим шумом (см. (9)) растет с увеличением степени нелинейности и: 1,5, п=2, 25, п=3, 44, п=4, 7,9, п= 5.

(2л — 1) Н л! — (2О )»Г'( + ) р, ( — — — --. — Я'(т)) (и — четное), — (2О')"Й(т)Г' 1+ 2 г6( — 2 — —, -» —, 2, Й (т)) (и — нечетное) (хлхл) = Корреляционные функции и спектры на выходе умножителя частоты. Рассмотрим теперь спектр б„(ш) и-й гармоники (рис 5.5). Интегральная интенсивность, соответствующая этому спектру, определяется дисперсией (6): 2~ 6 (ш)066=о.

=2'-*"В „('р"). (5.1.13) Как было установлено выше, зависимость о". от т одинакова для всех процессов (3) на входе умножителя, однако величина о,";, и форма спектра б (ы) зависят как от вида спектра б (ы) входного шума (3), так и от статистических свойств этого шума. Предположим, что процесс (3) — гауссовский и стационарнь1й с корреляционной функцией (ххл) =В(т) =ОЧт(т).

Корреляционная функция (уу,) = (х"х,") на выходе нелинейного элемента может быть в этом случае представлена в виде конечного ряда по ствпеням В(т), Используя формулы 2 1 нелипеиное БезынеРциОннОе пРБОБРАзояхние 33) (см. [21, с. 472) и представление гипергеометрической функции в виде ряда (ГР, с. 1053), получим (хпхп) = аО+ аОЯО+ а,)с5+... + ап)75 (и — четное), (5.1.14) (хпх",) = аЯ+ аО)75+ аО)75+... + а„)75 (и — нечетное), (5.1.15) где п*(и — 2)5... (и — и+2)5 25512 (О5) ) ( (5.1.16) (т=2,4, ..., п), 2 „2„2 / П ) (П вЂ” !)5(п — 3)5... (П вЂ” П5+2)5 2' н12( — ) ) О5и (5.1.17) 2 (т = 3, 5,..., и).

Теперь учтем, что для квазигармонического процесса х коэффициент корреляции может быть представлен как )7 (т) = г (т) соз [О5ют+ ф (т)15 = р (т) соз аат — 57 (т) з!и ОЗО( (5.1. 18) (см, (2.3.7)) илн )7 (т) = Я (т) е1"' -~- к.с., 5е (т) = [р (т) + й) (т)1/2. (5.1,19) Для четной степени согласно (4) и (19) имеем !"55 (ф1п55 + ЯПŠ— 1п 5)5 П ! 5 5;55 5 — 55 С, ' [!,) ' 1',)и ' е' 555.(-к.с.~(1 — 5 ) (5,1,20) 55 2/' 55=-0, 2. где 85 имеет получим П (х"хп) = тот же смысл, что и в (5). Подставив (20) в (14), а,й5 = 5 а, 5=0, 2.

5 — П ! 5-)-55 5 55 С 2 [() 2 ()и 2 е1п, 5+к.с.~(1 — А5551, 2 /' 5 = О. 2, .. 55 = О, 2 (х"х' = 5', () (т) е5ппп5+к с (5 1 22) 5.=О, 2 (5.!.21) Область значений т и, по которым проводится суммирование в (2!), заштрихована на рнс. 5,6. Изменив в (21) порядок суммирования, получим следу1ошее выражение: 252 ГЛ. Б.

НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОВРАЗОВАНИя ШУМА где Б — И$ 1+ ~и а — ЛВ 9 (с) =(1 — +) 5~ а,С, в Я(т)] ' [(е*(т)] в (5.1.23) »»ст+в.... с коэффициентами аа из (16). ' Аналогично можно показать, что при нечетном и » (5.1.24) Я„(т) еоа "" -1- к.с., (х"х,") = где Я (т) = ~н а,С, в [~ (т)] ' [(~~ (т)] в (5.1.25) » ю», т+2 с а, из (17). Таким образом, корреляционная функция пс-й гармоники определяется выражением В,„(т) =Я,„(т) еоа '+ к.с., (5.1.26) где 1е„(т) вычисляется по формуле (23), если гармоника четная, или (25), если гармоника нечетная.