С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 62

Поскольку мы знаем выражение (18) для средней энергии отдельной моды (15), теперь можно рассчитать пространственно-временную корреляционную функцию излучения абсолютно черного тела 152 — 55]. Принимая во внимание соотношения (18), (19), для корреляционной функции Тогда вместо (13) приходим к выражению для ио(а), справедливому прн любых частотах: (4.9.19) 34! $ О. ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИВ поля имеем +вв в-со Яс е Ь2д!. в в! Ывв — зи В, (е т) ~~ ' ! е !ыв — зв!2(зй с ~, в (зя 4л~ д Я(воо — !) 4лз И д Я)вао Ц Яс " вц!в )-, вч ) в) в, о После интегрирования по угловым переменным получим Яс - !' Ия ззз-!звз (4 9.20) Разложим под интегралом (20) знаменатель в ряд и проинтегри- руем; тогда ВП(з, т) =--Ц~ 1) Г(п; а, т), в 1 1(п; а, т) =((па — !ст)'+в'1-!. (4.9.21) Выполняя в (21) дифференцирование, приходим к выражению 4Яс В!у(з, т) = — — г б21)з(п; з, т)+2(зсз, — ззб!1))з(п; з, т). (4.9.22) в 1 Средняя интенсивность теплового излучения 2-й компоненты поля равна 4Яс лв Вп (О, О) = .— а-з 7 (и+ 1)-в = — а-з —.

в-о Здесь сумма представляет собой обоб!ценную ь-функцию Римана: ь(х, д) = ~ч~ (и+в()-", причем ь(4, 1) =по)90. д д где а=йс1кТ, 1,;1 = — - — — бвгЛ, ' =д !дог трехмерный оператор Лапласа, В сферических координатах ления вектора а з! — компонента вектора а, Л— с полярной осью вдоль направ. зз 6 ~ ' Ьр с(бс(й. о 342 ГЛ.

С СЛУЧАННЫЕ ВОЛНЫ В ЛИНЕЯНЫХ СРЕДАХ * Нормированная пространственно-временная корреляционная функция (22) согласно (1.8.37) равна у)«(я, т) = =90Л ааа Я Я/~(л; я, т)+2(я.я) — яа) бу)«а(л' я т)). (4.9 23) «) Проанализируем сначала временную когерентность теплового излучения. Из (23) нетрудно получить, что при я=О недиагональные элементы поляризационной матрицы уц (О, т) равны нулю: у у (О, т) = 90п-а ь (4, 1 — гс т(а) б))го (4.9.24) Диагональные компоненты матрицы (24) равны друг другу.

Поведение временной корреляционной функции (24) показано на ))(«6Щ р„,(4Р) у (кад т (да) 4)) я )Р 44 ат 44 44 г 44 44 44 4г дг „ф Хя гР дя е я гя гР 44 е «) Ю галям, Рнс. 4.41. Продольная т«(а, О) (г) н поперечная т «(г, О) (г) пространстнен. нме корреля1)конные функцнн излучения абсолютно черного тела [52]: «(п«Т)Я«) «, 7 =)якТ)л«) г. Рнс. 4.40. Модуль (и) н аргумент (б) временной норреляцнонной функции излучения абсолютно черного тела (52): т (а, т) (т (о, «) е«Р)е (о. т)), т=)кт)л)т.

рис. 4.40. Таким образом, время корреляции излучения абсолютно черного тела т„порядка )))кТ, т. е. порядка среднего периода излучения. При т-ьоо модуль корреляционной функции (24) быстро спадает: )уп(0, т)) ЗОЛ-'т-', а ее фаза ф(т) = — агяун изменяется Зп 3 а как — — + — — гт. 2 2 кТ Обратимся теперь к пространственной когерентностн теплового излучения.

В соответствии с (23) для пространственной корреляционной функции имеем У)г (Я, 0) 90л-а ~ (бДла+ (к(а)а)-а+ и ! + 2а-а (я)яг — б)гяа) ~ля+ (я/а)а)-з). (4.9.25) $9. теплОВОе излучения Ряды в (25) удается просуммировать и выражение записать в виде уи (з, О) = (45/4з~) (С (й)би+0 (з) Раз-'), (4.9.26) где й=(л!а) з и С (х) = — х с(й х — х' зп-'х — 2хз с(п х зп-'х+ 4, 0 (х) = — 8+ Зх с1п х+ Зх' з(гзх+ 2х' з)г'х с((з х. Из (26) видно, что пространственная корреляционная функция вещественна.

Это согласуется с предположением об однородности и изотропности излучения абсолютно черного тела (см. ~ 8 гл. 1). Изменение продольной у„(г, О) и поперечной у„(г, О) корреляционных функций (26) показано на рис. 4А1 (радиус-вектор г перпендикулярен направлению оси г). В обоих случаях радиус корреляции 2йс(кТ, В силу произвольности выбора оси г поведение остальных компонент матрицы совпадает с поведением у„(г, О). В заключ ние сделаем замечание о статистике излучения абсолютно черного тела. Его поле излучения представляет собой совокупность большого числа мод (плоских волн), статистически не связанных между собой (строго говоря, не коррелированных).

Число мод излучения при устремлении размера полости к бесконечности растет. В этом случае, как было показано в 4 10 гл. 2, статистика суперпозиции мод стремится к гауссовской. Следовательно, функция распределения интенсивности излучения черного тела является экспоненциальной. НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ШУМА ГЛАВА б Нелинейные преобразования колебаний — детектирование, смешение, умножение частоты — играют исключительно важную роль в радиофизике; быстро растет их значение и в современной оптике.

В этой главе речь пойдет о преобразовании шумовых колебаний в нелинейных системах с сосредоточенными параметрами. Закономерное~и преобразовани, случайных сигналов в нелинейных системах принципиально отличаются от рассмотренного в гл. 3 поведения случайных колебаний в линейных системах. Прежде всего, в нелинейных системах происходит существенное изменение законов распределения (статистики флуктуаций). В частности, в отличие от линейных систем, гауссовское распределение теряет здесь устойчивость.

Гауссовские флуктуационные силы, действующие на нелинейную систему, возбуждают в ней колебания, статистика которых может очень сильно отличаться от гауссовской. Принципиально изменяются в нелинейных системах (по сравнению с линейными) и законы преобразования спектров и корреляционных функций. Причиной этого оказывается обстоятельство, имеющее фундаментальный характер: для колебаний в нелинейных системах перестает выполняться принцип суперпозиции.

При нелинейных преобразованиях возникают новые спектральные компоненты шума и вся форма спектрального распределения, вообще говоря, кардинально меняется. Кроме того, в нелинейных системах закономерности преобразования спектров зависят от статистики процесса; напомним, что в линейных системах такой зависимости нет. Хотя в большинстве случаев нелинейные преобразования оптического шума носят характер взаимодействия и самовоздействия волн (таким задачам специально посвящена гл. 8), имеются важные примеры, когда и в оптике можно говорить о нелинейном преобразовании шумовых колебаний. Сюда относятся, прежде всего, различные варианты детектирования и смеишння световых волн на фотокатоде, задача о воздействии оптического шума на атомы и ГЛ.

5. НЕЛИНЕПНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ШУМА 345 молекулы («эталонной» здесь является задача о воздействии оптического шума на двухуровневую квантовую систему). Подчеркнем еще один существенный аспект, С помощью нелинейных преобразований можно построить разнообразные схемы измерений высших корреляционных функций оптического шума.

Такие измерения приобретают все большее значение в современной оптике. Прежде всего, при генерации света в современных лазерных устройствах, в ряде ситуаций при рассеянии света мы сталкиваемся с сушественно негауссовскими шумами. В этом случае измерение набора корреляционных функций различных порядков дает важную информацию о физических процессах в системе, генерирующей негауссовский случайный процесс. Вместе с тем и при исследовании гауссовских процессов измерение высших корреляционных функций оказывается более выгодным, нежели измерение корреляционной функции первого порядка. Классическим примером такой ситуации служит интерферомегрия интенсивностей в радиоастрономии, когда измерение корреляционной функции интенсивности позволяет избавиться от фазовых искажений приходящего сигнала турбулентной атмосферой.

В практических задачах нас часто интересует эффективность или коэффициент полезного действия (к. и. д.) нелинейного преобразования. При этом естесгвенной становится постановка вопроса о сравнении к. п. д. при монохроматическом (регулярном) и шумовом возбуждениях. Мы неоднократно будем обращаться к такому сравпению в этой н последующих главах. Зто приводит к интересным физическим выводам.

Оказывается, например, что в безынерционных нелинейных системах к. и. д. преобразования шумового сигнала существенно превышает к. и. д. преобразования монохроматического сигнала, имеющего такую же среднюю интенсивность, поскольку нелинейность подчеркивает выбросы шума. Теория нелинейных преобразований случайных функций — хорошо разработанная область; здесь развиты эффективные математические методы, обзор которых читатель найдет, например, в [2, 4 — б). В предлагаемой главе мы ограничимся рассмотрением сравнительно узкого круга задач, представляющих, на наш взгляд, наибольший физический интерес.

Умножение частоты, детектирование и смешение случайных сигналов в радиофизике и оптике— рассмотрением этих проблем в значительной мере исчерпывается содержание гл. 5, При этом большое внимание уделено приложениям перечисленных процессов в технике измерения радиошумов, для анализа сложных оптических сигналов. Специальный (и довольно обширный) Ч 5 посвящен подробному рассмотрению нелинейной зала и о воздействии и~ума на двухуровневую квантовую систему; для современной статистической оптики эта задача оказывается одной из главных. 346 гл. а. нелинейные пРЯОБРАЭОВАния шумА $ 1.

Нелинейное безынерционное преобразование Нелинейные характеристики. Безынерционным называется такое нелинейное устройство, в котором связь между процессом на входе х(1) и процессом на выходе у(1) является чисто алгебраической: у =1(х), (5.1.1) т. е. значение д в любой момент времени определяется величиной х в тот же самый момент. Функция ) (х) называется нелинейной характеристикой устройства. Нелинейные характеристики, или, как говорят, нелинейности различных видов, могут 1 быть получены, в частности, на основе вольт-амперной характеристики электронной лампы (рис. 5.1). Например, Рнс. 5.1. Вольт-ампернаи характеристика электронной в области и «и) вольт-амперную халампы.

рактеристику можно аппрок имировать односторонней параболой л-й степени (рис. 5.2, а), а в области и, и их в линейно-ломаной кривой гт л л л и лг Ю е) Рнс. 5.2. Нелинейные характеристики: а) иараболичесний детектор: б) линейный» детектор: а) ограиичитсльг И идеальный ограничитель. Рнс. 5.3. Снммстрнчные н антнснмметрнчные нелинейные характеристики.

(рис. 5.2, б). Если ий(и, то мы имеем характеристику ограничителя (рис. 5.2, в), и прн ие ~и — характеристику идеального 4 ь инлиннпиов внзыинрциониов првовндзовяиин зат ограничителя (рис. 5.2, г). Используя две лампы, можно получить симметричные или антисимметричные нелинейные характеристики (рис.