С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 49

В заключение рассмотрим, как изменяется угловой ' спектр пучка с изменением радиуса коррсляции и, при постоянном радиусе пучка а. В качестве примера возьмем пучок с корреляционной функцией вида В, (г„г,; г) = lа ехр ~ — ', ' — (-'-„- — ~, (4.2.31а) К или, в координатах г, К, 2ка га Вз (г, К; г) = 7оехр ~ — — — — а~ (4.2 816) где г;4е = г„*+ а-в!2.

(4.2.32) Рнс. 1.9.!1рнведенная полушнрпна згдового спеит. ра А:з=-АаЗ'аа„(оз = 2!Аа1 частично коте. рентного светового пучка в аачнснностп от радиуса корреляпии гк. 0(х, г) (2Н) т~ а/а(хз) В',ан(з; г) сЬ. о (4.2.29) Для поля с узким угловым спектром к =Ива(п О ~=)геО (Π— угол между х и (со), н, следовательно, угловой спектр поля б(коО, г)=(2п)-г $ а7а(йеаО) В',""(а; г) гЬ. о (4.2.30) 271 % з. метод медленно мнняюшихся амплитгд В соответствии с (31) для (27) получаем Водн(г.

г) = —, lаехр ( — —, 2в ~ г~ а(Е; г)=""звехр~ — ! (ьг, В)з~. (4.2.33) (4.2.35) т. е. угловой спектр пучка определяется исключительно значением радиуса корреляции. Если г„~а, Аз =2(йа)-'. ф 3. Метод медленно меняющихся амплитуд в теории распространения волн. Укороченные уравнения Для описания процесса распространения квазиплоских и квазимонохроматическнх волн можно использовать приближенные уравнения, получаемые пз уравнений Максвелла: !а го! Е= — — - —, Йч0 =О, (4.3.1) го1Н = - —, г()чН =О, с ду' 0 = Е+4нр. В случае линейных сред уравнения (!) также линейны и для их решений выполняется принцип суперпозиции. Поэтому, хотя реальные полн, разумеется, всегда вещественны, при рассмотрении волн в линейных средах удобно использовать комплексную запись поля в виде (4.!.1) (подобно тому, как это делалось при рассмотрении колебаний в линейной системе с сосредоточенными параметрами — см. (3.1,5 — 8)).

В пренебрежении пространственной дисперсией поляризация и поле в случае линейной среды связаны соотношением Р (г, 1) = ~ Й (1', г) Е (! — 1', г) й', (4.3.2) о аналогичным интегралу Дюамеля (3.1.!8), где Й вЂ” тензор линей- Согласно (33) полуширина углового спектра по уровню е-' Изменение 7!в в зависимости от радиуса корреляции г„изображено на рис. 4.9. Уменьшение значения г„приводит к сильному расширению углового спектра. При г„~а Ла =2!Ь„, 272 ГЛ Ч СЛУЧАННЫЕ ВОЛНЫ В ЛННГННЫХ СРЕДАХ ной воспрннмчнвостн. Из (!) н (2) следует ннтегро-днфференцн- альное уравненне для напряженности поля: с'го1 го1 Е+ — +4п — =О.

д'Е дар д>з дй «.3.3) ') Здесь мы ограничиваемся, по существу, весьма конспективным наложением. Лля более детального ознакомления с методом медленно меняющихся амплитуд и его применением дли решения волновых задач можно обратиться к [Э, 7, 9, ! 0), Анализ задач о распространении случайных волн в линейной среде требует решения уравнения (3) со случайными краевымн условиями. В такой постановке аналнтнческне результаты удается получить лишь в сравнительно простых случаях, поэтому большое значение, даже для линейных задач, приобретает разработка приближенных методов, базнрующнкся на упрощении нсходных уравнений.

Ниже излагается один нз наиболее эффективных приближенных методов упрощения волновых уравнений — метод медленно меняющихся амплитуд. Зтот метод широко используется в линейной н нелинейной теории колебаний; в гл. 3 мы использовали его для рассмотрения шумовых колебаний в контуре. В физике волновых процессов метод медленно меняющихся амплитуд впервые был применен Леонтовичем в задачах распространения радиоВолн [2] (метод параболнческого уравнения).

Для решения линейных н нелинейных волновых задач метод медленно меняющихся амплитуд детально разработал Хохлов [41. Подробное изложение этого метода можно найти в кинге [3]; в [5] параболическое уравнение выведено для оптически аннзотропных сред.

В работе ]8] параболическое уравнение использовано для опнсання распространення волновых пакетов в днспергнрующнх средах. В теории волн, кнк и в теории колебаний, в основе метода медленно меняющихся амплитуд лежит естественное для волн типа (4.1 1) предположение о том, что комплексная амплитуда А Волны изменяется медленно в масштабе средней длины волны 7. и среднего периода колебаний Т, т. е.

]ААХ]с',[А [ и 'ЛАЕ,' ~~, 'А с Условие медленности позволяет записать для амплнтуды А вместо (3) дифференциальное уравнение н одновременно понизить его порядок. В довольно общем случае вместо ннтегро-днфференцнального уравнения (3) удается записать дифференциальное уравнение параболнческого тяпа.

Проведем вывод приближенных уравнений «) для двух типов модулированных волн: для плоских квазнмонохроматнческнх волн н для квазнплоскнх монохроматнческнх волн. Ф з мгтоп мгдлснно мянякз4пихся амплитуд 273 Плоские шумовые волны; первое и второе приближения теории дисперсии. Рассмотрим сначала распространение плоских квазимонохроматнческих воли в однородных линейных изотропных средах (восприимчпвость — скаляр, Н вЂ” Н(С)). Решение уравнения (3) в данном случае ищем в виде Е (г, С) = еА (г, С) е! <ма — '" ! (4.3.4) Направление г совпадает с вектором )св. Существенным моментом при получении уравнения для амплитуды А является вычисление линейной поляризапии среды (2): Р(г, С) =~ Н (С') Е (С вЂ” С',г)сСС' = е = $ Н (С') еА (г, С вЂ” С') е'!"""-" — а *! !СС'.

(4.3.5) а Используя условие медленности изменения амплитуды квазимонохроматической волны (! СаАг~ ~, 'А !), разложим А (г, С вЂ” С') в ряд Тейлора по аргументу С'. А(г, С вЂ” С')=А(г, С)+ ~А~~~ ( С)™ д ' (4.3.6) 4=- ! и подставим *) в (5): Р(г, С) = >4(, 44. Д ! — В,,— ', 4,.)Е' "'~, !444! ч 1 где х (оз) = ~ Н (С') е-ш' ССС' — восприимчивость среды на частоте оз. в В первом приближении при слабой дисперсии из (7) имеем Р(г, С) =е~х(вт) А — ! —" — "1е44мг-а'!.

(4,3,8) до! д! 1 Подставим (4) в (3), принимая во внимание (8). Для производной от поляризапии получим о.р дгз — = е1 — озахА+ йоа — — + С2ьтх — 7 е!и'-аа!, (4,3.9) адх дА . дА! ды д! дг С Кля других производных получаем точные выражения: УЕ Г . дА даА 1 дга — = е ~ — взаА + С2от — + —, ~ в 4 '-"'>, (4.3. !ба) д! дг ~ го1 го( Е = — ЛЕ е1(еаА +(2м-- — —,1е'!"' ы!.

(4.3.!Об) *) ССля уиронсения записи индексы у средней частоты ыв и волнового числа аа временно опускаем. гл з слхчонныв волны в линвнных сгвпох В нулевом приближении после подстановки (9) н (10) в (3) имеем дисперсионное соотношение: ь'(1+ 4пх (ы)) — й с' = О, или ооп (в) = ис, (43.11) которое дает связь между волновым числом й и частотой <о; п(со) =(1+4пх(ы))" — показатель преломления среды, Если в уравнении (3) сохранить только первые производные амплитуды, то получим (4.3.12) где и — групповая скорость волны: =(д —.') ' Общим решением уравнения (12) является А (г, /) = А (/ — г/и), (4.3. 14) где вид функции А,(1) определяется условиями на границе среды.

Характер приближения, которому соответствует уравнение (12), легко выявить, если подставить А в виде А =ехр /(1!/ — дг). добавка Ч к волновому числу равна О дм д= — =.--Р, и да (4.3. 13) где а=ою(в)/2й. Если речь идет о раепространении квазимонохроматических волн в диспергирующей среде с потерями, то а само волновое число на частоте со' =го+1! равно й (ы+ 12) = й (в) +д = й (в) + Пи. (4,3.16) Таким образом, уравнение (12) справедливо в той области, где дисперсию среды можно считать линейной.

Это соответствует первому приближению теории дисперсии. /Тля монохроматических волн А = А (г) уравнение (12) дает ЫА/дг=О; А =сопя!. Последнее есть следствие того, что восприимчивость среды х (оо) мы считали действительной величиной, т. е. фактически пренебрегали потерями. С учетом потерь среды амплитуда изменяется. Принимая во внимание потери среды о(ы), ее восприимчивость следует уже записывать в комплексном виде как х(в)— — /о(оо)/в, Тогда, пользуясь (9), (10), для комплексной амплитуды монохроматической волны получим уравнение дА — „, +аА=О, (4.3.17а) Ф з метод медленно меняющихся хмплнтеп в пренебрежении частотной зависимостью потерь получим, что дисперсионные и диссипативные члены в упрощенное уравнение входят аддитивно.

Таким образом, для комплексной амплитудь! имеем (ср. с (12) и (17а)) — + --~-+аА =О. (4.3.17б) Уравнение (17а) позволяет установить весьма плодотворную пространственно-временную аналогию в теории колебаний и волн. Действительно, уравнение (17а) аналогично уравнению, описывающему затухание свободных колебаний в колебательном контуре (см.(3.2.27)). Таким образом, временной колебательной задаче можно сопоставить волновую пространственную задачу-аналог.

Независимой переменной ! в пространственной задаче соответствует координата г, частоте в — волновое число К начальным условиям — краевые условия. Этой аналогией мы воспользуемся в гл. 8. В тех случаях, когда линейной аппроксимации дисперсионного уравнения недостаточно, следует учесть старшие производные в разложении поляризации. Во втором приближении для поляризации (7) имеем Р(ы) =е~хА — 1 — — — — — — ~еч"'-"'!, .дх дА 1 Фк д'А1, ! !„ дм д! 2 дм' д!з ~ Вторая производная дзР/дР равна д~Р ! . дх дА . дА — = е( — оРхА + к!' — — + !2ых — + д! — ( дед! ' 'д! Подстановка в (3) выражения (!8) и остальных производных из (10) приводит к следующему уравнению для комплексной амплитуды А: дА ! дА ! дч! д-"А'1 .

! Гд~А ! д~А1 — + — — — — — — ) + ! — ! — — — з! О. (4.3.! 9) дг и д! 2дв'дп, 2(дг~ и~дм) Здесь полагаем потери а=О. При выводе уравнения (!9) применены те же операции, что и при получении (12). Уравнение (19) является точным в отношении учета изменения амплитуды А в пространстве, но приближенным в отношении учета дисперсионных свойств среды. В рамках рассматриваемого приближения уравнение (!9) можно упростить. Покажем, что член в квадратных скобках имеет более высокий порядок малости.