С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 36

Поле (б) — стационарный квазигармоническнй процесс (ие обнзательно га)ссовский) с симсСетричным распределением вероятностей ю (Е) = ю ( — Е) и характсристическои функцией 6 (и) = 6 ( — и) =В' (и) Распределение интенсив- ности в этом случае даетси формулой (2 Б 28), подставив которую в (10) полу- чим, меннн порядок интегрировании, Р (л)= — ! е рт' (ггтl)лс(1 /е (и У21) 6(и) и с(и= л),! и СО СО 6(и) и с(и ~ е х "+ /22(2х )' й) с(х, (29,23) л! 5)Тс О з где Уу= и!У2$Т. Интеграл по х в (23) совпадает с (18).

Следовательно, (23) можно переписать в виде О СО 22 С вЂ” ~ " 2 С (2 С) С С С -) С,ОС СУ222 22 2222О о выразив, таким образом, Р (л) непосредственно через характеристическую функ- цию полн )) частно и, если палс пмсс2 ! а) ссовск)то стати~тику, то В (и) = Формулы (2!) обобщают полученные ранее выражения (16) и (13), с которыми оии совпадают в предельных случаях г ~! или г )~ 1. Подставив (17) в (1О) и используя опять интеграл (!8), получим следующее выражение длн вероятности л йютоотсчетов; 195 % а Фотоотсчеты В случайном снвтОЕОм пОле = ехр ( — очит/2) и согласно (24) Р (п)=)г е ья! (у) Иу — (Ь ()чЬ-л-а (Ь= !+6Тоа! о (си.

ГР, с. 858) Легко убедиться, что полученное выражение совпадает с (!5) ее фурье-преобразование дает езп ш (()) = — ~ (',) (з) и-"и г(з. (2.9,26) Если разложить в (25) экспоненту егтп в рш! и использовать фор- мулу Манделя (6), то получим Оь () (и) = ~ ( — ) Р (и). ч в (2.9.27) Зто соотношение позволяет по распределению фотоотсчетов Р(п) найти функцию (,) (з), фурье-преобразование которой (26) дает распределение гв((7).

2. Запишем распределение гн((7) в виде иг (х) = ~ )(„Д„(2дх), х = (7/б', (2.9.28) т. е. как разложение по функциям Лагерра 1„(х), которые связаны с полиномом Лагерра (20) соотношением ! (х) =е- 'тЧ.„(х) =е — 'гт чу ! 1 —. (2,9.29) лы (и! и! и е Обратная задача: нахождение статистики паля из распределения фотоотсчетов.

До сих пор мы решали прямую задачу — определение статистики фотоотсчетов по заданному распределению интенсивности. Обратимся теперь к обратной задаче: определим, какую информацию О статистике регистрируемого поля можно извлечь, обладая сведениями о статистике фотоотсчетов. С математической точки зрения эта задача решается Обращением формулы Манделя (6) или (10).

Можно показать [11, 12], что распределение интенсивности однозначно определяется распределением фотоотсчетов. Познакомимся с некоторыми методами решения Обратной задачи. 1, Рассмотрим функцию (,') (з) = ~ еипш (()) а — Рп г((); (2.9.26) о 196 ГЛ. О. МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕЙ Функции Лагерра ортогональны и нормированы: «Э (О, т~п, ~ 1 ( )1„(х)й~=~ о (2.9.30) Поэтому, умножая (28) на 1„(2йх) и интегрируя с учетом (30), получим, что коэффициенты разложения в (28) равны л =2й~ оп(х) 1„(2пх) о(х, (2.9.31) о или с учетом (30) и (6) «л я Х =2й ~оп(х)е "' ~ ( ) Л= о ~о =2й,У, ( )( — 2)" Р(п, й). (2.9.32) «=о Подставив (32) в (28) и меняя порядок суммирования, получим решение обратной задачи в виде «л ш(х) = ~', а„(х)Р(п, й), (2.9.33) — о где а„(х) = 2й ( — 2)",У, ( ) 1„(2йх) = т=л ло = 2п ( — 2)" ~~~', ( ) 1„+о (2йх). (2.9.34) о-о 9 (з) ~~ е""Р (и) =о (2.9.35) выражается через кумулянты й этого распределения: 1г, 6 (з) = ~~ й„—,.

(и)'» ««=! (2.9.36) 3. Чтобы воспользоваться приведенными выше методами, нужно иметь аналитическую запись распределения Р(п). В некоторых случаях интерес может представлять более узкая постановка обратной задачи, а именно нахождение связи между кумулянтамн (а следовательно и моментами) интенсивности и числа фото- отсчетов 1121. Логарифм характеристической функции распределения фотоот- счетов $9 ФОТООТСЧЕТЫ В СЛУЧАЙНОМ СВЕТОВОМ ПОЛЕ 197 Подстановка (6) в (36) дает (О О ьви-~ (( ~'У„*~',-~ ~и>еи)- 0 е О <о ОЭ Х -Х ((еу» %з (й (е'е — !)1'» — й = т (ен ее( ~ .Ле т( и=! м ! (2.9.38) Сравнивая в разложении (33) коэффициенты при одинаковых степенях з, получаем связь между кумулянтами й„и й;. й1-ййм, ее=Ми+()'еи, Л.=МН+Зр.ям+()Изь ... (2.9.39) 4. Согласно формуле Манделя (1О) вероятность того, что за время Т не произойдет ни одного фотоотсчета (пре заданном среднем числе фотоотсчетов й= рТе), равна Р(0 й( ~ е — е~(в(х) е(х х ()7 (2.9.40) о где (В (х) — распределение вероятностей для относительной интен.

сивности к = 7/Е Таким образом, величина Р (О, и) может рассматриваться как преобразование Лапласа функции (и (х), и если зависимость Р (О, й) от л известна (например, из эксперимента), то соответствующее распределение интенсивности поля ю (х) найдется, если применить к функции Р (О, й) обратное преобразование Лапласа. Исходя из определенной таким образом функции ев(х) или, что то же самое, ю (7), можно, считая поле Е (() стационарным квазимонохроматическим процессом, найти распределение вероятностей для огибающей поля (см. (2.5.26)): (В (Р) = Р(В (7) !е=,че'.

(2.9.41) при этом (в(р) однозначно определяет характеристическую функцию поля (см. (2.5.9)) () (и) =~,7,(ир) и(р) е(р (2.9.42) о и, .следовательно, распределение вероятностей (В(Е). =1п ((ехр Р (е'* — 1) ()1)), (2.9.37) где угловые скобки означают усреднение по распределению (в (()), В (37) в последнем равенстве под знаком логарифма стоит характеристическая функция распределения интенсивности от аргумента 6 (еч — 1). Обозначая кумулянты распределения интенсивности через й„, е, имеем )98 ГЛ 3 МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОП И ПОЛЕЙ Таким образом, зная Р (О, л) как функцию и, можно, в принципе, решить обратную задачу и найти все статистические харак„(пас теристики поля, обусловливающего фотоэффект *). Рассмотрим пример решения об4д ратно задачи.

В случае гауссовской статистики поля имеем ги (х) =е"х 5 и, согласно (40), Р(0, и)= —, сс — = ~ х ги (х) с(х = (х) = (-~ ) = 1. (2. 9,45) а Подставив (43) в (44), (45), получим: а=4, Ь=2, т. е. (43) мы должны переписать как Р(0, и') (2.9.46) По таблице обратных преобразований Лапласа находим, что в этом случае цс (х) = 4хе-в (рис. 2.30, а), т. е. распределение интенсивности имеет вид (г) ~ е-згго (г пв) (2.9.41) *) Можно было бы, очевидно, исходить нз вероятности некоторого ненулевого числа фогоотсчетов Р (и, и), но соответствующие формулы более громоздки. сг г с Е) Сс' Рнс. 2.30.

Распределении ингенсиввости (о), огибаюпхей (б) и поля (в), соохвегсгвуюпьие рас- пределению фотоотсчетов (43). Теперь предположим, что убывание Р(0, и) с ростом и является более быстрым и Р(0, и) = —,. (2.9.43) Аналитическая аппроксимация функции Р (О, п) не может выбираться совершенно произвольно, так как из (40) видно, что эта функция должна удовлетворять следующим условиям: сч Р(0, п=0)=~ ш(х)г(х=1, (2.9.44) а $1О. МНОГОМОДОВАЯ МОДЕЛЬ СЛУЧАЙНОГО ПРОПЕССА 199 Подстановка (47) в (41) дает следующий закон распределения для огибающей: О) =+ -"м' (2.9.48) (рис.

2.30, б). Распределение вероятностей для самого поля можно получить непосредственно из (48), используя соотношение (2.5.18): е Е1~ Г 2ЕА1 п1(Е) = (1+ — ~=1а( — Е). (2.949) 2 Г'ив а' Распределение (49) существенно отличается от гауссовского, оно имеет два максимума при Е=+-а)/2 и провал при Е=О (рис. 2.30, в). Еще один пример: пусть в — аа Р(0, л) Учитывая условия (44), (45), находим аГ Ь = 2, т. е. Р(0, и)= Г2.9.50) Распределению (50) соответствует равномерное в некоторой области распределение интенсивности 1)2, 0<х<2, 0 х>0 (см, рис. 2.!1), или 1!2ов, 0 < Г < 2оа, О, 1> 2ОА 2 Г2.9.51) $10.

Многомодовая модель случайного процесса В этом параграфе мы рассмотрим случайный процесс, являющийся суперпозицией гармонических колебаний (мод), амплитуда и фаза которых случайны. Фактически такую модель впервые рассматривал Рэлей; именно применительно к этой задаче (рассматривалась суперпозиция колебаний одинаковой частоты, но со случайными амнлитудами и фазами) Рэлей получил распределение, носящее его нмя Гсм, формулу (2.4.6)). Ниже мы обратимся к более общему случаю, когда частоты мод различны. где ОА=Е Распределения огибающей и поля, соответствующие равномерному распределению интенсивности (5!), были найдены раньше (см. (2.5.32) и (2.5.34)); они представлены на рис.

2.11. 200 Гл. 2 мОдели случАЙных процессов и полки Можно указать много физических примеров, приводящих к такой модели. В современной радиофизике и оптике одним из важнейших примеров такого процесса является излучение многомодового лазера; поскольку в общем случае фазы мод случайны, случайным процессом (в общем случае — нестационарным) оказывается и лазерное излучение. Надо сказать, что этот источник статистики чрезвычайно важен в экспериментах с мощным лазерным излучением. Мощные лазеры обычно излучают много статистически независимых мод, поэтому многомодовая модель оказывается одной из весьма распространенных моделей мощного лазерного излучения.

Вместе с тем во многих случаях Рис. 2.3!. спектр мипгпипкоиого кп- многомодовая модель оназываетлебаиия. ся весьма удобной и при рассмотрении случайных процессов со сплошным спектром; в этом случае речь идет о замене реального процесса со сплошным спектром некоторым эквивалентным случайным процессом с дискретным спектром. Оба эти аспекта рассматриваются ниже. Статистика многомодового колебания; центральная предельная теорема для случайных колебаний. Рассмотрим случайный процесс с(1), представляющий собой суперпозицню лг мод.