С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 12

Взяв, например, у=ха, получим у = х'+ 2ха соз () ! + аэ созэ() б у -~ хэ + ан/2, у = х' + а' соз' ()! чь у . Более точно соотношение (8) записывается как !Ии х р-- х, (1.4.1 1) г где символ Р означает, что имеет место сходимость х к г по вероятности. Смысл этого термина иллюстрируется на рис 1.5. Рис.

!.5. Сходнмость по вероятности. сет ! Распределение нг(л! длн слунааного пропасса л= — ~ х(зэк! прн раэлнчньп време. т нак усрьдненна Г (Гэт Га. Временное среднее, взятое за конечное время усреднения, — величина случайная и характеризуется одномерным законом распределения иэ! (х). Однако вид этого закона, очевидно, зависит от величины времени усреднения Т. При Т- со вероятность сколько-нибудь заметных отклонений х от х стремится к нулю и иэ (х)- 6(х — х). Заметим„что, независимо от вида иэ (х), распределение иэ(х) прн достаточно больших Т становится гауссовскимм.

Точность определения среднсы лри вр~меннол! усреднении; онен- ка необходимоео времени усреднения. В реальных условияк время а ю стлтистическое тсяеднение усреднения Т конечно, и представляет интерес оценить, каким дол- жен быть интервал Т, чтобы соотношения (8) или (9) выполнялись с достаточной точностью. Полагая от =(е, х (1.4.1 2) находим, учитывая (4) и (7): СО 1 ~ о(~) м 772 ~ г(~ = ТхТ ~ (Т вЂ” т) В(т)йт.

(1.4.13) Таким образом, при усреднении процесса х(О=2+3(!) необходимое для выполнения (12) время усреднения Т зависит от х, спектра (или корреляционной функции) флуктуаций $(1), а также от величины е допустимого отклонения х от 2. Например, если спектр флуктуаций лоренцевский (см. (1.3.31)), то неравенство (13) принимает вид 2оз а — гл ! ТЬ (1.4.14) Из (14) видно, что необходимым условием малости е является достаточно большая величина произведения времени Т усреднения на ширину спектра флуктуаций: Тй~ь 1. (1.4.15) Если условие (!5) выполняется, то вытекающая из (14) оценка для Т будет следующей: 2лС е'Р (1.4.16) В случае гауссовского спектра (1.3.32) из (13) находим аз~ 2" (=Т )ГлФ ~ — =) — 1+е-"ьчэ] (1.4.17) Мх'Т*~ 1' 2 ф 2 где (Ф (со) = 1) — интеграл вероятности, о'=-ОЛ)~2л.

При выполнении условия ЬТ)~1, имеющего тот же смысл, что и (15), неравенство (17) принимает вид, в точности совпадающий с (16). О методах намерения статистических характеристик стационарных случайных процессов. Возможность извлечения статистических характеристик стационарного случайного процесса из одной его реализации представляет большой интерес для экспериментальной радиофизики и оптики.

Ниже мы обсудим кратко бази- ГЛ 1 МЕТОДЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЯНЫХ ФУНКЦИЯ рующиеся на этом свойстве методы измерения моментов, корреляционных функций и законов распределения. В перечисленных задачах использование операции временного усреднения дает существенные преимущества. Измерение средних. На рис. 1.6 показана простая схема измерения среднего значения стационарного электрического шума х((). После усилителя У, воспроизводящего х(г) без искажений, стоит простейший интегратор в виде )ТС-фильтра (То=)(С) и прибор, измеряющий напряжение *).

Показани прибора у(г) =--- т е — згтчх(1 — 9) г(9 — от т„,) о При выполнении (16) и (16) величина у=йх. Таким образом, измерения средних осуществляются с помощью простого вольтметра угу Рнс. 1.6. Схема измерения среднего значения стационарного электрического щгма, использующая операцню временного усреднения. постоянного тока. Аналогичная схема может быть использована и для измерения хя и т. п.: в этом случае между усилителем и интегратором ставится соответствующий детектор; если детектор безынерционен, то оценки точности измерений можно провести по формулам (! 2) — (16).

Измерение вероятностей. Одномерные и многомерные распределения стационарных процессов могут быть определены также по одной реализации, путем операции усреднения по времени. В этом случае вероятность некоторого состояния определяется по относительному времени пребывания процесса в заданном состоянии. Такое определение вероятности представляется вполне естественным; для стационарного процесса оно может быть строго обосновано с помощью доказанной выше эргодической теоремы. ") Можно показать, что э)фектнвпас время усреднекпя ннчегратора с ЙС- фильтром равно 2те (см.

5 2 гл. 3). 57 4 е. статистическое усреднение Пусть для стационарного случайного процесса нас интересует вероятность Р(х,<х<х,) события, заключающегося в том, что реализация х(1) проходит в интервале (х„ха]. Тогда указанную вероятность можно определить по относительному времени пребывания реализации в указанном интервале с помощью соот- ношения Р(х,<х<хя)=1(ш "","', с (1.4.18) где Тк„«,=2„'Жт, а Жт — времена пребывания (рис. 1.7). Соотношение (18) непосредственно следует из (11). Действительно, если л('гу Рнс.

!.7, реалнаацнн стационарного случайного процесса к (Г) н построеннан на ее основе реалнаацни импульсного цроцесса П(гь Площсдь под ирнаоа «~ Ю раааа времени пребмааиня процесса к а интервале «,(к(к, т((х) является некоторой функцией рассматриваемой случайной величины х, то т) также представляет собой стационарный случайный процесс. В силу эргодичности й(1) со тег а= (я(п (по-~ ' ) ям(п1а а. о.а|а) т Т вЂ” со Рассмотрим стационарный процесс т((1) специального вида: ~1, х,<х<х„ 10, х вне интеРвала (х„ха!. Для такого процесса (см. рис. 1.7) и) = Р (х, < х < х,), т! = Т„п . (Та Таким образом, соотношение (!8) доказано. Для оценки точности, с которой выполняется равенство Р= = Т„„„,(Т, можно использовать соотношения (12) — (171.

Для ГЛ ! МЕТОДЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИИ (1.4.21) (рис. 1.9). На рис. 1.10 приведены фотографии, полученные описанным методом для стационарного гауссовского случайного процесса. При изменении времени задержки т между напряжениями, поступающими на горизонталы(ые и вертикальные пластины, может быть определен, очевидно, набор двумерных распределений ц) (х, х„т). В соответствии с (!.2.43), (1.2.44) 1 ( х' — 2Й (т) хх +хтс) и)(х, х„т), ехр') — ра 11 — йс(т)~ )', (1.4.23) где Й(х) — коэффициент корреляции (см. (1.3.2». электрических шумов измерение относительных времен пребывания нетрудно выполнить с помощью электронного осциллографа.

Наобходимое время усреднения Т может быть получено либо за счет инерционности люминофора трубки (в этом случае хорошее представление о распределении вероятности дает просто распределение яркости свечения по экрану), либо за счет выбора экспозиции при фотографировании с экрана трубки. На рис. 1.8 приведены фотографии с экрана электроннолучевой трубки одномерных случайных Рнс. 1.8. Фотографии одномерных разверток, полученных в услослучайных рааиертон на анране виях, когда исследуемый случай- анеитронного осииааографа (81: ный процесс подается на верти- а) процесс х(()=сосФ(() (а(Ф)=(Лии КаЛЬНЫЕ ПЛаСтИНЫ ОСЦИЛЛОГРафа. б) гауссовский саукайиый пропссс.

Фотография рис. 1.8, а соот- ветствует случайному процессу х (1) = соз (р (1), где (р (1) — случайная фаза. Если и) ((р) = 1)2н, согласно формулам (1.2.!О), (1.2.11) — 1<х<1, 1 ц) (х) = и)('! — ха' О, 1<х< — 1, — распределение яркости на фотографии соответствует (21). На рис. 1.8, б приведена случайная развертка для гауссовского процесса. Для экспериментального определения двумерных распределений стационарных процессов с помощью электронного осциллографа следует получить двумерную случайную развертку; кривые равной яркости на экране осциллографа соответствуют, очевидно, условию (е(х, х„т) = сопи( (1.4.22) й ( СТЯТИСТИЧЕСКОЕ УСРЕДНЕНИЕ Пользуясь (23), нетрудно найти формы кривых равной яркости на экране электроннолучевой трубки.

Они описываются уравнением х — 2)(з (т) ххг+хг = сОП51. (1.4.24) л грз(з При т~~т, В(т) ! и мы имеем уравнение прямой: (х — х,)з = соп51. лйьг) Напротив, при т Рт, К(т) =0 и (24) сводится к уравнению окружности: Имуя )здедзмг Хз + Хг = СОИ 51. Рис. 1.1О.

Изображение двумерного закона распределеиия стационарного гауссовского процесса, измеренного с помощью схемы, приведенной иа рис. 1.9. Рвзлмчмые фозографнн ооогвегствуюг разным г. Волнчннв ззаоржкн увзлнчввазгск от (в) к (ди аля (д) зв зк. Пользуясь операцией временного усреднения, можно определить и корреляционную функцию В (т) стационарного процесса х (1). Вместо статистического усреднения В(т) = Ц хх,гп(х, х„т) ((х Охз — чо (!.4.25) ') Оии заимствованы нз 181. Рис. 1.9.

Схема измерения двумерного Для промежуточных значений распределения стационарного случай. т (24) является уравнением ного процесса ю (х, хз, т) с помощью эллипса. Все эти случаи хоро- зленгроииого осциллографа шо иллюстрируются Осцилло- (х в у-звоны вергнкзльной н горклом. галькой рвзвергок) граммами в) на рис. 1.10; для гауссовского процесса описываемая схема может быть использована, таким образом,для быстрых оценок времени корреляции. гл !. методы теории случлиных оункцни в рассматриваемом случае можно написать г-ь г В(т) = [нп г (1) (1+т) с[1, ! т ([.4.26) и это означает, что для экспериментального определения В(т) надо располагать линией задержки, перемножителем и интегратором.