С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 11

Возможны и другие оценки ширины спектра, например: (1.3.23) ~ С (в) пв! а« Лв" = С' (в) Нв 4 ! 6» (в) йо 0 (1.3.24) (1.3,23) будем иметь Лв та =2п, (1,3.26) В этом нетрудно убедиться, если использовать (!7) и (!3). В общеи случае произвольного спектра, определяя время корреляции как т,",=2 ~ Йо(т) Ит, (1.3.27) получим также Лв"т„" 2л. (1.3.23) Примеры спектров и корреляционных функций. Рассмотрим некоторые часто встречающиеся аппроксимации спектров и соот ветствующие им корреляционные функции (рис, !.4), ') Точнее — корреляционная свяаь) можно построить (правда, довольно экзотические) примеры, когда значения к(Г) и к(Г+т) некоррелированы, но зависимы (см. (6!).

Выражения (23) и (24) удобны в том отношении, что Лв' и Лв" можно выразить через корреляционную функцию. Если спектр интенсивности скучай. ного процесса расположен в области ннзкик частот и бв „=6(0), то, введя время корреляции ГЛ. К МЕТОДЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИИ а оэ л ьг лт цк -л алв! у л е Рис. 1,4. Некоторые чсыто в«гречающиеск спектралькью плотности 6 (ы) н соо! вет.

ствующие им коэффициенты коррелинии )с(т). О Е КОРРаляцИОННЫя И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРЛКтЕРНСтихи 4» 1) Прямоугольный низкочастотный спектр (рис. 1.4, а): 6(в)=~ ' ' ' о»=26«й, (1.3.29) ( Оо, 'в~ ~й, О,;в!)й, лт (!.3.30) 2) «Лоренцевский» спектр (рис. 1.4, б): 6(в)= —, оо=пйОо, )7(т)г е лмй (1.3.31) 00«ао во+ во' 3) Гауссовский спектр (рис. 1.4, в): 6(в) =Оое еч»о', оо Оо«л )/ 2п К(т) е-мачо (1 3 32) 4) Треугольный спектр (рис.

1.4, г): ( Оо(1 — ~в)/2й), (в)<-2й, 6(в) =$ о' .26«й, (1.3.33) О, !в!) 2й, 0 (т) ( Л')' (1.3.34) 3) «Полосовой> шум с прямоугольным спектром (рис. 1.4, д): оо = 46,й, (1.3.36) О, во — й ~,~ в ~ ) во+ й, )с (т) = †, соз «оот. (1.3.36) (1.3.39) 6) «Полосовой» шум с гауссовским спектром (рис. 1.4, е): 6(в) о (е — и» вЂ” пн«л ! е по+ Ягж) (1 3 37) 0« й«$ 1+е Оа= О (во), е =е "й" . 0»= о 4«а "Оа !+е )т (т) = е — "*'* сов вот. (1.3.38) 7) Гармонический сигнал. Устремляя в (36) или (38) ширину спектра й к нулю (й«-0), мы приходим к модели случайного гармонического сигнала с коэффициентом корреляции Й(т) =созомт, Такой функции соответствует спектр 6(в) = О»6 (в — во), (1.3.40) а сам процесс описывается гармонической функцией к (1) = а соз (во(+ ~р) (1.3.41) зо гл.

ь методы тео»ии елки»иных фхнкпии с постоянной (и неслучайной) амплитудой а н случайно распределенной фазой <р: ш(~р) 1/2п. Следует заметить, что такой процесс является существенно негауссовским. 8) «Белый» шум (гладкий спектр) (рис. 1.4, ж): 6(ы)=6«( — со(01(со), (1.3.42) В (т) = 2п6«8 (т), о» = оо, )1(т) = 1 (т = О), О (т Ф О). ( 1.3. 43) Приведенные примеры соответствуют наиболее часто встречающимся в приложениях случайным процессам. Поскольку примеры проиллюстрированы графически, здесь мы ограничимся лишь кратким комментарием. 1. Гауссовский спектр (рис.

1.4, в) обладает следующим свойством: его корреляционная функция тоже оказывается гауссовской кривой.' 2. Корреляционная функция «полосового» шума, спектр которого группируется вблизи некоторой частоты ы«(рис. 1.4, д, е), осциллирует со средней частотой случайного процесса ы«. Это свойство «полосового» шума не является следствием конкретного выбора формы спектра.

Нетрудно убедиться, что и в общем случае произвольного полосового спектра (не обязательно симметричного относительно «средней» частоты гэ«) (1.3.44) Й (т! = Г (т) соз ьмт+ 3 (т) 51п ыот. Действительно, полагая 6(г») =и (ы ыо) можно записать для коэффициента корреляции й (т) = —, ~ д (ы — »з») соз ыт д»з = —, ~ д (т) соз (т+ ы») т дт. (1.3 45) 2 Г 2 Из (45) непосредственно следует (44), где г(т)=« ~ д(т) созтт«(т, (т) = —, ~ д(т) з!пят~И. (1.346) 2 Г 2 Из (46) (как и из (36), (38)) видно, что, если относительная полоса спектра шума мала (й/ы«-' 1 — узкополосный процесс), функции г (т) и з (т) в (44) медленно изменяются по сравнению с соз а»«т и ейп ы,т.

Общая формула (44) согласуется с (36), (38) для д(т)=д( — т), з(т)=О. 3. Процесс с 6(»») =6,=сонэ! (рис. 1.4, ж) принято называть «белым» шумом. Хотя это название лоп1ческп противоречиво («белый» свет, как известно, не обладает гладким спектром), $ о. коеегляционныв и спвктелльныв ххяхктяяистики 51 а сам такой процесс физически нереализуем, поскольку для него Щ ~ О (о!) Н!о-+ сс, (1.3.47) мы довольно широко будем пользоваться этой весьма удобной математической моделью (разумеется, надо помнить о (47)!).

4. Выбирая ту или иную аппроксимацию для В(т), нужно помнить, что ее фурье-образ (т. е. спектр 0(о!)) не должен принимать отрицательных значений. Поэтому нельзя, например, представить В(т) в виде прямоугольника Вм !т (то, В(т) = т ~ ) то. (!.3.48) г (!) = х (!) + !у (!), в отличие от действительного процесса, можно составить две парные корреляционные функции (гг,) и (гг,*). Для радиофизики и оптики особое значение имеют функции !)! ((, т) = (гг.*,), В ((, т) = (гго) — гг,", (1.3.49) приводящие к вещественным среднеквадратурным значениям при т= О. Корреляционная функция комплексного процесса в общем случае оказывается комплексной: В((, т) = ! В((, т) !ехр пр(С, т).

(1.3.50) Для комплексной корреляционной функции могут быть получены соотношения типа теоремы Винера — Хннчина, определяющие комплексную спектральную плотность, действительная и мнимая части которой являются преобразованием Фурье от действительной и мнимой частей корреляционной функции. Комплексный случайный процесс, наиболее часто используемый в радиофизике и оптике,— это комплексная амплитуда квазигармонических колебаниИ или волн. Для стационарного колебания в этом случае х и р в (48) некоррелированы, комплексная корреляционная функция,'гг,',, == О, а функция (гг,*) выражается через спектр 6'(о!) самого колебания (см.

(2.3.19) — (2.3.21)). Функции типа ехр ~, 'а„то, например е ~, также непригодны и ! для аппроксимаций В (т), за исключением гауссовской кривой В (т) =е — "'* (см. обсуждение формулы (1.1.38)). Для комплексного случайного процесса вида (1.!.3) ГЛ.! МЕТОДЫ ТЕОРИИ СЛУЧАННЫХ ФУНКЦИЯ й 4. Статистическое усреднение и усреднение по времени Эргоднчность. Рассмотрим результат усреднения по интервалу Т некоторой функции времени !'(1). Если до усреднения СО г(1) = ~ ТИЕ'"ЧВ, (1.4.1) то усредненную функцию можно записать как ~+т О3 7(!) Т) )(6) йв = ) )„ю емт~эегы доз (1.4.2) (временное усреднение мы будем обозначать волнистой линией). Из (2) следует, что при усреднении сильнее подавляется высокочастотная часть спектра, связанная с относительно быстрыми изменениями функции )'.

Иначе говоря, усреднение по времени сглаживает ! (1). Предположим теперь, что по времени усредняется стационарная случайная функция х(!), которую согласно (1.1.11) можно представить в виде суммы трех компонент: х(!)-Х+эа+$(1) (1.4„3) Усреднение будет влиять только на величину переменной компоненты $(!); ее дисперсия с ростом времени усреднения Т будет стремиться к нулю: О$ = (( Е )э) -~ О. (1.4.4) В пределе Т вЂ” со получим х -д+Сэ яли, если Е,=О, (1.4.5) (!.4.6) Процессы, для которых выполняется (б), называют эргодическими.

Таким образом, эргодический процесс при временном усреднении теряет случайный характер и стреуится к некоторой постоянной величине, равной его среднему статистическому значению. Это обстоятельство, разумеется, значительно упрощает измерение статистических средних: вместо громоздкого массового опыта, состоящего в усреднении по большому количеству реализаций случайного процесса, в случае его эргодичности оказывается достаточным усреднение одной (но достаточно длинной) реализации.

Можно сказать, что в случае эргодического процесса ценность отдельной реализации резко возрастает, так как путем ее усредНайкя ПО ВРЕМЕНН Можно НаХОДИТЬ ЕСЕВОЗМОжНЫЕ СТаТйСТИЧЕСКНЕ 4 В статистическое тсреднгние характеристики случайного процесса, не обращаясь к усреднению по ансамблю. Закон, по которому происходит уменьшение дисперсии (4) с ростом Т, зависит от вида спектра 6 (от) или корреляпионной функции В(т) флуктуаций с(1). Полагая в (2) /'(1) =$(/), возведя в квадрат и статистически усреднив, получим СО т Т- ) В( )(н" ) С =С вЂ” )(Т вЂ” *)В()С (! С!) — СО Согласно (7), если спектр в нуле конечен (0(6(0)(со), то асимптотически при больших Т СО от "О6(0) '~ ~ ) с((оОΠ— —.

(1.4.8) Г /В(п ыТ/2т и 2иб (О) 1 ыТ/2 ) Т Т" В том случае, когда при от=О спектр также обращается в нуль, уменьшение будет происходить быстрее Полагая, например, в (7) 6 (о)) банта(ота+/та)-т, найДем от = — (1 — и-и ) с 2яоа т /(ТВ Тт Наименее благоприятным для усреднения является случай, когда в области малых от спектральная плотность флуктуаций неограниченно возрастает, т. е. 6 (0) - со. Полагая, например, 1 (спектр фликкер-шума — см.

171), получим 1 отт Тги ' Усреднение по времени вообще неэффективно и от не зависит от Т, если вся мощность флуктуаций сосредоточена в точке о)=0, т. е. если 6(от) =Сб(от). (1.4.10) Подстановка (!0) в формулу (7) дает от =С=сопи(. Спектр вида (10) как раз соответствует наличию в выражении (3) компоненты 2В~О с дисперсией (еа) =С.

заметим, что случайный пронесс может ныть Вргодачесннм, но нестаяионарпыч, например( и(/) = и+а сев (21В (1,4.10а) ГЛ ! МЕТОДЫ ТЕОРИИ СЛУЧАИНЫХ ФУНКПИИ где а — случайная постоянная (В =О). В нестационарности легко убедиться, найдя дисперсию этого процесса ((х — х)а) =аз созайд которая оказывается зависящей от времени. Тем не менее соотношение (8) для процесса (!Оа) выполняется, и, усредняя, мы получим в пределе Это свойство эргодичностн может оказаться, однако, потерянным для функции процесса (!Оа).