С.А. Ахманов, Ю.Е. Дьяков, А.С. Чиркин - Статистическая радиофизика, страница 100

[1)). Аналогично, спектральная компонента, связанная с тензором четвертого ранга Оцм, записывается в виде Х ЕТ(в — в', й — й')Ез(в' — о1", 1с' — 1с")Е1(в", 1с"), (8.1.8) причем выражение для спектральной компоненты б„м аналогично (6). В соответствии с (8) соотношения между частотами и волновыми векторами фурье-компонент, взаимодействующих на кубичной нелинейности, имеют вид вз = вз+ вз+ в„йз = (41+ йз+(сз.

(8.1.9а) Помимо этого взаимодействия, в среде с кубичной нелинейностью могут протекать процессы с другими комбинациями частот и волновых векторов, например: вз= в1+соз — соз, йз=йс+1сз — йз. (8.1.96) Эти взаимодействия принято называть четырехчастотнымн. Участие четырех волн в (9) приводит к большому разнообразию нелинейных эффектов. Ряд из них имеет много общего с эффектами, возникающими на квадратичной нелинейности, — речь идет об эффектах типа генерации третьей гармоники (в,= в, =в, в, озз = Зв) и т. и. 6Я ГЛ. 6.

СЛУЧАИНЫЕ ВОЛНЫ В НЕЛННЕИНЫХ СРЕДАХ Вместе с тем с поляризацией, кубичной по полю, связаны и принципиально новые эффекты, не имеющие аналогов среди эффектов, квадратичных по полю. В первую очередь это эффекты самовоздействия. если в (9б) ы,=ы«=ыл=зз, то за счет четырехчастотного взаимодействия возникает спектральная компонента поляризации на частоте ы: Последнее означает, что появляется добавка к комплексному показателю преломления на частоте распространяющейся волны ы, пропорциональная интенсивности. Символически это можно записать как Таким образом, интенсивная волна сама изменяет поглощение и дисперсию среды, в которой распространяется. Для квазиплоских квазимонохроматических волн выражения (5) и (8) можно упростить, следуя методу, изложенному в 5 3 гл.

4. Выделим в поле, наряду с быстрыми переменными г и (, медленные переменные р16', рлг, где малые параметры р„р«~" 1 характеризуют относительные ширины частотного и углового спектров волн. В этом случае для поля Е=Е(рлг, рт(, г, () вместо разложения (3) можно ввести разложение Е,(р,г, р,(, г, ()= Яйла«ЛЕ,(р«г, р,!, ы, (г)е'<"' — "'1, (8.1.10) в котором фурье-амплитуды сами являются функпиями медленных переменных («недоразложенныил спектр).

Если средние частоты взаимодействующих воли существенно различаются, то Ег(рлг, р,(, г, ()=~', Ам(р,г, р,()е("л ")+к. с. (8.1.11) л С учетом соотношения (11) нелинейная поляризация среды, например, для случая трехчастотного взаимодействия (5) принимает вид Р7'(«ЭС) ~', ХЛА(О)~=ОЬ„-+-Вл) Ал~(р«Г, р,() А„,А(р«Г, р«())С л,т Хехр(1(в .+.ы„)( — ((г -(г„)г)+к. с. (8.1.12) В выражении (12) нелинейный отклик среды учитывается квази- статически с помощью спектральных компонент )(, взятых для средних частот. Соотношение (12) становится точным в смысле учета дисперсии нелинейной поляризуемости среды, если речь идет о взаимодействии плоских монохроматических волн.

Полное поле в $ Ь ПРИБЛИЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕИНОИ ОПТИКИ ДЗЗ нелинейной среде при этом следует искать в виде Е= У,'е»А»((Аг)е'("»' "л'1+к. с. (8.1.13) Здесь е„— единичный вектор поляризации, а зависимость комплексной амплитуды А,(рг) от пространственной координаты обусловлена нелинейным взаимодействием. Подставляя (13) в (1), в первом приближении по (А получим систему уравнений вида [е„[к„е„]]ЧА„=Р„(АИ ..., АА1, г), (8.1.14) где нелинейный член Р„имеет порядок рл (8.1.16) Обобщим нелинейные уравнения (14) иа случай взаимодействия плоских квазимонохроматических волн. Напомним, что в первом приближении теории дисперсии изменение комплексной амплитуды А описывается уравнением (4.3.12).

В исходное уравнение (1) с учетом (12) нелинейные и дисперсионные члены входят аддитивно. Эта аддитивность сохраняется и в укороченных уравнениях. В первом приближении теории дисперсии [е„[к„е„]]~ЧА„+з„— "~=Р„(АП ..., Ал'. г). (8.1.16) В полуограниченной среде, направляя ось г по нормали к границе среды, систему можно преобразовать к виду (8.1.17) »» ов»лзл где х» — единичный вектор вдоль оси г, Р„'(А„..., АА', г) = (йсоз'к„з„)-1Р„(А„..., АА', г). Система уравнений (16) или (17) значительно сложнее соответствующей системы (14) для не- модулированных волн. Это сужает круг задач о взаимодействии модулированных воли, допускающих аналитическое решение. Вместе с тем в случае равенства групповых скоростей, и» сох з„х» = и, уравнения (17) сводятся к системе уравнений вида (14).

Принято говорить, что в этом случае мы имеем дело с квазистатичАским взаимодействием волн; картина взаимодействия здесь такая же, как и для немодулированиых воли. Напротив, если групповые скорости волн отличаются, говорят о неста1(ионарном взаимодействии волн. Заметим, что в конкретных задачах критерий квазистатики оказывается менее жестким. Поскольку нас интересует нелинейное взаимодействие в среде конечной длины 1, нелинейное взаимодействие модулированных волн можно рассматривать как квазистатическое и пря различающихся групповых %6 гл. з. слтчлиныи волны в нилинепных сгидхх получим следующую систему уравнений: дАт . 1 дзА, — — 1 — йз — — — — фдАзАзс'е~ дз 2 дчз дАз дАз .

! дзАз '+ тз ' 1 йз — ' = — фзАзАГе'е*, дз дт( 2 дчз дАз дАз ( дзАз — +те — — 1 — дз — = — фзАзАн. ез. дз дч 2 дчз (8.1.20) Здесь ()„ — коэффициенты нелинейной связи: я 2тт (еттезез) ет1 д 2Я (езтезез) етзз (тсе ' "з лез т з я 2а (езуезез) етзз (тзсз (8.1.21) т„— расстройки групповых скоростей т„ = 1/и„ вЂ” 1/и,. (8.!.22) В (20) члены с коэффициентами тз и тз описывают групповое запаздывание взаимодействующих воли.

скоростях, если времена группового запаздывания т„= /(и,' — из') волн относительно друг друга малы по сравнению с характерным временным масштабом модуляции т„: тм .=.т„(см. ниже). Отметим еще раз, что в уравнениях (18), (17) дисперсия среды учтена в первом приближении. Во втором приближении теории дисперсии линейное распространение плоских шумовых волн в бегущей системе координат (4.3.22) описывается уравнением (4.3.22). Уравнения нелинейного взаимодействия шумовых волн принимают вид !е„!к„е„И~'7А„— з э— " —,"1= г„(А„..., Ахн г).

(8.1.18) 2 дчс ( Уравнения (18) записаны в собственных бегущих координатах (4.3.22) волн, д„=дзй„/дет„- '— дисперсия групповой скорости. Конкретизируем уравнения (! 8) на примере трехчастотного взаимодействия (ет,+етз —— етз) в среде с квадратичной нелинейиостью. В этом случае поляризация Р,"'(ет„), входящая в нелинейный член (15), дается соотношением (12). Будем рассматривать одномерные взаимодействия, т. е. считать, что волновые векторы волн коллинеарны и для них имеет место соотношение йз+й,=йз+б.

(8.1.19) Записывая три уравнения вида (18) в общей координатной системе, связанной с волной частоты ет„ г Ч=Чз=/ г/ин 4 ь пгивлиженные хглвнення нелинеинои оптики ббт дА,, д +2э Л,А,= — ф~А,А,е '*, з (8.!.24) дАз дАз — дг+ф д. +г~б.А.= — 4~АА* "*. где ф — угол между волновым и лучевым векторами необыкновенной волны (ф=йзэз рп'). Уравнения (20) и (24) по отдельности учитывают эффекты временной и пространственной модуляции при взаимодействии волн.

Нетрудно записать нелинейные уравнения, в которых одновременно принимаются во внимание пространственные и временные эффекты. Сделаем краткое замечание о пространственно-временной аналогии в теории модулированных волн. В 4 3 гл. 4 эта аналогия Нетрудно провести обобщение (14) и на случай взаимодействия квазиплоских монохроматических волн (волновых пучков со случайной поперечной структурой); при этом вместо (14) получаем уравнения — "+1 — А~А„=Е„(А„..., А„; г), (8.1.23) дг„ 2Э„ где Л~ — поперечный лапласиан.

Уравнения (23) записаны в координатах, связанных с лучом, т. е. направление оси г„совпадает с направлением лучевого вектора. Разумеется, уравнения (23) можно также рассматривать как обобщение параболического уравнения (4.3.3!а) на нелинейные среды. Нелинейные взаимодействия световых волн эффективны, если выполнены так называемые условия фазового синхронозма (Л О). Действительно, если в (20) Л велико, члены в правых частях уравнений быстро осциллируют, взаимодействие практически исчезает и волны распространяются в линейной среде. Условия фазового сннхронизма можно выполнить в анизотропной среде, например в одноосном кристалле (см.

11, 9!), если в нелинейном взаимодействии участвуют волны разной поляризации — обыкновенные и необыкновенные волны. В этом случае в приближенных уравнениях для комплексных амплитуд следует учесть различие направлений лучевого и волнового векторов необыкновенной волны. Трехчастотное взаимодействие (и,+ ы, = ы,) квазиплоских волн, прн котором волна на частоте о~ является необыкновенной, а остальные волны — обыкновенными (так называемое взаимодействие оо- е), в системе координат, связанной с обыкновенными волнами, в соответствии с (23) описывается системой уравнений — '+ — Лг А, = — 4,А,А;г' "*, дг 2а1 568 ГЛ, З.

СЛУЧАИНЫЕ ВОЛНЫ В НЕЛННЕИНЫХ СРЕДАХ рассматривалась применительно к линейной теории распространения людулированных волн. Однако ее можно перенести на нелинейную теорию волн. Ранее указывалось, что дисперсионному расплыванию волнового пакета можно сопоставить дифракционное расширение пучка. Из уравнений (20) и (24), кроме того, следует, что аналогом группового запаздывания в теории взаимодействия квазимонохроматических волн является боковой снос энергии при взаимодействии квазиплоских волн, обусловленный различием в направлениях луча и волнового вектора в анизотропных средах.