8. Алгоритм унификации (В.А. Захаров - Лекции)

PDF-файл 8. Алгоритм унификации (В.А. Захаров - Лекции) Математическая логика и логическое программирование (53087): Лекции - 7 семестр8. Алгоритм унификации (В.А. Захаров - Лекции) - PDF (53087) - СтудИзба2019-09-18СтудИзба

Описание файла

Файл "8. Алгоритм унификации" внутри архива находится в папке "В.А. Захаров - Лекции". PDF-файл из архива "В.А. Захаров - Лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математическая логика и логическое программирование" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст из PDF

Основыматематическойлогики и логическогопрограммированияЛЕКТОР: В.А. ЗахаровЛекция 8.Алгоритм унификации.АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПодстановка θ называется наиболее общим унификатором(НОУ) выражений E1 и E2 , если1. θ — унификатор выражений E1 и E2 , т. е. E1 θ = E2 θ;2. для любого унификатора η выражений E1 и E2 существуеттакая подстановка ρ, для которой верно равенствоη = θρЗадача унификациисостоит в том, чтобы для двух выражений E1 и E2 выяснить,являются ли эти выражения унифицируемыми,и, в случае их унифицируемости, вычислитьнаиболее общий унификатор E1 и E2 .АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИНачнем с самой простого варианта задачи унификации.Как найти НОУ выражений E1 и E2 , если одно из этихвыражений — переменная, т. е.

E1 = x ∈ Var ?Лемма (о связке)Пусть x ∈ Var , t ∈ Term. Тогда1. Если x ∈/ Vart , то {x/t} ∈ НОУ(x, t);2. Если x ∈ Vart и x 6= t, то НОУ(x, t) = ∅.АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИЛемма (о связке)Пусть x ∈ Var , t ∈ Term. Тогда1. Если x ∈/ Vart , то {x/t} ∈ НОУ(x, t);2. Если x ∈ Vart и x 6= t, то НОУ(x, t) = ∅.Доказательство.1.

Случай x ∈/ Vart .Iθ = {x/t} — унификатор выражений x и t.Действительно, xθ = t и tθ = t (т. к. x ∈/ Vart ).IКаков бы ни был унификатор η выражений x и t, верноη = {x/t}η.Возьмем произвольную переменную y , y ∈ Var .Если y = x, то x{x/t}η = tη = xη. (почему? ) А еслиy 6= x, то y {x/t}η = y η.Таким образом, для любой переменной y верноy {x/t}η = y η, т. е. {x/t}η = η.АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИЛемма (о связке)Пусть x ∈ Var , t ∈ Term. Тогда1. Если x ∈/ Vart , то {x/t} ∈ НОУ(x, t);2. Если x ∈ Vart и x 6= t, то НОУ(x, t) = ∅.Доказательство.2.

Случай x ∈ Vart .Для любой подстановки θ длина терма xθ превосходит длинутерма t(x)θ.Поэтому xθ 6= tθ для любой подстановки θ, т. е. НОУ(x, t) = ∅.АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИОбщий случай.Пусть E1 = P(t1 , t2 , . . . , tn ), E2 = P(s1 , s2 , . . . , sn ).Для решения задачи унификации сопоставим паре атомовE1 , E2 систему уравненийt1 = s 1t2 = s 2E(E1 , E2 ) :···tn = s nи будем решать задачу унификации для систем уравнений.АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИОпределениеПодстановкаθ называется унификатором системы уравнений Et=s11t2 = s 2E:···tn = s nесли для любого i, 1 ≤ i ≤ n, термы ti θ и si θ одинаковы.Фактически, унификатор θ = {x1 /r1 , .

. . , xk /rk } — это решениесистемы уравнений E в свободной алгебре термов(эрбрановской интерпретации).Соответствующим образом определяется и наиболее общийунификатор системы уравнений(определение дать самостоятельно ).АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПримерНаиболее общим унификатором системы уравненийf (c, x) = f (y , g (y ))E1 :g (y ) = zявляется подстановка θ = {x/g (c), y /c, z/g (c)}.А система уравненийf (c, y ) = f (y , g (y ))E1 :g (y ) = zне имеет решений (неунифицируема).АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПримерНаиболее общим унификатором системы уравненийf (c, x) = f (y , g (y ))f (c, g (c)) = f (c, g (c))E1 :E1 θ :g (y ) = zg (c) = g (c)является подстановка θ = {x/g (c), y /c, z/g (c)}.А система уравненийf (c, y ) = f (y , g (y ))E1 :g (y ) = zне имеет решений (неунифицируема).АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПримерНаиболее общим унификатором системы уравненийf (c, x) = f (y , g (y ))f (c, g (c)) = f (c, g (c))E1 :E1 θ :g (y ) = zg (c) = g (c)является подстановка θ = {x/g (c), y /c, z/g (c)}.А система уравненийf (c, y ) = f (y , g (y ))E1 :g (y ) = zне имеет решений (неунифицируема).АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПримерНаиболее общим унификатором системы уравненийf (c, x) = f (y , g (y ))f (c, g (c)) = f (c, g (c))E1 :E1 θ :g (y ) = zg (c) = g (c)является подстановка θ = {x/g (c), y /c, z/g (c)}.А система уравненийf (c, y ) = f (y , g (y ))E1 :g (y ) = zПочему?не имеет решений (неунифицируема).АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПростой случай.ОпределениеСистема уравнений E называется приведенной , если x1 = s 1x2 = s 2E:···xn = s nи при этомI{x1 , .

. . , xn } ⊆ Var ,Iвсе переменные x1 , . . . , xn попарно различные,nS{x1 , . . . , xn } ∩Varsi = ∅.Ii=1АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПримерСистема уравнений E1 является приведенной, а E2 — нет. x = f (y , g (y )) x = f (y , g (y ))z =wz =wE1 :E2 :u = g (x)u = g (c)АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПростой случай.Лемма (о приведенной системе)Если система уравнений E x1 = s 1x2 = s 2E:···xn = s nявляется приведенной, то подстановка {x1 /s1 , x2 /s2 , .

. . , xn /sn }является наиболее общим унификатором системы E.ДоказательствоСамостоятельно. С использованием леммы о связке.АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИОбщий случай.Найти унификатор — это значит решить систему уравнений.Решать систему будем методом исключения переменных (как в«обычной» алгебре). Исключив все переменные, получимрешение (приведенную систему). Важно, чтобы все системыуравнений, которые мы будем строить в процессе «исключенияпеременных» были равносильны исходной системе.ОпределениеСистемы уравнений E1 и E1 называются равносильными , еслиНОУ(E1 ) = НОУ(E2 ).АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИОписание алгоритма унификации(Алгоритм Мартелли–Монтанари).Это — недетерминированный алгоритм, состоящий из 6 правил,которые можно применять в любом порядке до тех пор, покаIлибо ни одно из правил применить невозможно(построена приведенная система уравнений),Iлибо применяется правило, устанавливающееневозможность унификации.Исходная система E0 ; i = 0;while применимо одно из 6 правил doвыбрать правило R, применимое к Ei ;Ei++ = R(Ei )odАЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПравила преобразования решения уравнений.(1) уравнение f (t10 , t20 , .

. . , tk0 ) = f (s10 , s20 , . . . , sk0 ) замещаетсясовокупностью уравнений t10 = s10 , t20 = s20 , . . . , tk0 = sk0 ;0 ),(2) если в системе есть уравнение f (t10 , . . . , tk0 ) = g (s10 , . . . , smгде f , g ∈ Func ∪ Const, f 6= g , то система уравненний неимеет решений: СТОП: “Нет унификатора";(3) уравнение s = x , где x ∈ Var , s ∈/ Var , замещаетсяуравнением x = s ;(4) уравнение s = s удаляется из системы;АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПравила преобразования решения уравнений.(5) если в системе есть уравнение x = s , причемIIIx ∈ Var ,x∈/ Vars , ипеременная x встречается в каких-либо другихуравнениях системы,то ко всем другим уравнения системы применяетсяподстановка {x/s} ;(6) если в системе есть уравнение x = s , причемx 6= s, x ∈ Vars , то система уравненний не имеет решений:СТОП: “Нет унификатора".АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 1.E0 :f (f (x, c), y ) = f (y , f (z, z))f (u, v ) = yАЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 1.E0 :f (f (x, c), y ) = f (y , f (z, z))f (u, v ) = y(1)=⇒АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 1.E0 :f (f (x, c), y ) = f (y , f (z, z))f (u, v ) = y f (x, c) = y(1)y = f (z, z)=⇒ E1 :f (u, v ) = yАЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 1.E0 :f (f (x, c), y ) = f (y , f (z, z))f (u, v ) = y f (x, c) = yy = f (z, z)E1 :f (u, v ) = y f (x, c) = y(1)y = f (z, z)=⇒ E1 :f (u, v ) = yАЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 1.E0 :f (f (x, c), y ) = f (y , f (z, z))f (u, v ) = y f (x, c) = yy = f (z, z)E1 :f (u, v ) = y f (x, c) = y(1)y = f (z, z)=⇒ E1 :f (u, v ) = y y = f (x, c)(3)y = f (z, z)=⇒ E2 :f (u, v ) = yАЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 1.E0 :f (f (x, c), y ) = f (y , f (z, z))f (u, v ) = y f (x, c) = yy = f (z, z)E1 :f (u, v ) = y y = f (x, c)y = f (z, z)E2 :f (u, v ) = y f (x, c) = y(1)y = f (z, z)=⇒ E1 :f (u, v ) = y y = f (x, c)(3)y = f (z, z)=⇒ E2 :f (u, v ) = yАЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 1.E0 :f (f (x, c), y ) = f (y , f (z, z))f (u, v ) = y f (x, c) = yy = f (z, z)E1 :f (u, v ) = y y = f (x, c)y = f (z, z)E2 :f (u, v ) = y f (x, c) = y(1)y = f (z, z)=⇒ E1 :f (u, v ) = y y = f (x, c)(3)y = f (z, z)=⇒ E2 :f (u, v ) = y y = f (x, c)(5)f (x, c) = f (z, z)=⇒ E3 :f (u, v ) = f (x, c)АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 1.E3 : y = f (x, c)f (x, c) = f (z, z)f (u, v ) = f (x, c)АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 1. y = f (x, c)f (x, c) = f (z, z)E3 :f (u, v ) = f (x, c)y = f (x, c)(1)x =z=⇒ E4 :c=zf (u, v ) = f (x, c)АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 1. y = f (x, c)f (x, c) = f (z, z)E3 :f (u, v ) = f (x, c)y = f (x, c)x =zE4 :c =zf (u, v ) = f (x, c)y = f (x, c)(1)x =z=⇒ E4 :c=zf (u, v ) = f (x, c)АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 1. y = f (x, c)f (x, c) = f (z, z)E3 :f (u, v ) = f (x, c)y = f (x, c)x =zE4 :c =zf (u, v ) = f (x, c)y = f (x, c)(1)x =z=⇒ E4 :c=zf (u, v ) = f (x, c)y = f (z, c)(5)x =z=⇒ E5 :c =zf (u, v ) = f (z, c)АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 1. y = f (x, c)f (x, c) = f (z, z)E3 :f (u, v ) = f (x, c)y = f (x, c)x =zE4 :c =zf (u, v ) = f (x, c)y = f (z, c)x =zE5 :c =zf (u, v ) = f (z, c)y = f (x, c)(1)x =z=⇒ E4 :c=zf (u, v ) = f (x, c)y = f (z, c)(5)x =z=⇒ E5 :c =zf (u, v ) = f (z, c)АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 1. y = f (x, c)f (x, c) = f (z, z)E3 :f (u, v ) = f (x, c)y = f (x, c)x =zE4 :c =zf (u, v ) = f (x, c)y = f (z, c)x =zE5 :c =zf (u, v ) = f (z, c)y = f (x, c)(1)x =z=⇒ E4 :c=zf (u, v ) = f (x, c)y = f (z, c)(5)x =z=⇒ E5 :c =zf (u, v ) = f (z, c)y = f (z, c)(3)x =z=⇒ E6 :z=cf (u, v ) = f (z, c)АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 1.y = f (z, c)x =zE6 :z =cf (u, v ) = f (z, c)АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 1.y = f (z, c)x =zE6 :z =cf (u, v ) = f (z, c)y = f (c, c)(5)x =c=⇒ E7 :z =cf (u, v ) = f (c, c)АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 1.y = f (z, c)x =zE6 :z =cf (u, v ) = f (z, c)y = f (c, c)x =cE7 :z =cf (u, v ) = f (c, c)y = f (c, c)(5)x =c=⇒ E7 :z =cf (u, v ) = f (c, c)АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 1.y = f (z, c)x =zE6 :z =cf (u, v ) = f (z, c)y = f (c, c)x =cE7 :z =cf (u, v ) = f (c, c)y = f (c, c)(5)x =c=⇒ E7 :z =cf (u, v ) = f (c, c)y = f (c, c) x =c(1)z =c=⇒ E8 :u=cv =cАЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 1.y = f (z, c)x =zE6 :z =cf (u, v ) = f (z, c)y = f (c, c)x =cE7 :z =cf (u, v ) = f (c, c)y = f (c, c) x =cz =cE8 :u=cv =cy = f (c, c)(5)x =c=⇒ E7 :z =cf (u, v ) = f (c, c)y = f (c, c) x =c(1)z =c=⇒ E8 :u=cv =c— приведенная системаАЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 1.y = f (c, c) x =cf (f (x, c), y ) = f (y , f (z, z)) (1,3,5)z =cE0 :=⇒ E8 :f (u, v ) = yu=cv =cθ = {x/c, y /f (c, c), z/c, u/c, v /c} ∈ НОУ(E0 )АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 2. g (u) = g (y )g (x) = vE0 :f (u, v ) = f (x, y )АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 2. g (u) = g (y )g (x) = vE0 :f (u, v ) = f (x, y )(1)=⇒АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 2. g (u) = g (y )g (x) = vE0 :f (u, v ) = f (x, y ) u=y(1)g (x) = v=⇒ E1 :f (u, v ) = f (x, y )АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 2. g (u) = g (y )g (x) = vE0 :f (u, v ) = f (x, y ) u=yg (x) = vE1 :f (u, v ) = f (x, y ) u=y(1)g (x) = v=⇒ E1 :f (u, v ) = f (x, y )АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 2. g (u) = g (y )g (x) = vE0 :f (u, v ) = f (x, y ) u=yg (x) = vE1 :f (u, v ) = f (x, y ) u=y(1)g (x) = v=⇒ E1 :f (u, v ) = f (x, y ) u=y(5)g (x) = v=⇒ E2 :f (y , v ) = f (x, y )АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 2. g (u) = g (y )g (x) = vE0 :f (u, v ) = f (x, y ) u=yg (x) = vE1 :f (u, v ) = f (x, y ) u=yg (x) = vE2 :f (y , v ) = f (x, y ) u=y(1)g (x) = v=⇒ E1 :f (u, v ) = f (x, y ) u=y(5)g (x) = v=⇒ E2 :f (y , v ) = f (x, y )АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 2. g (u) = g (y )g (x) = vE0 :f (u, v ) = f (x, y ) u=yg (x) = vE1 :f (u, v ) = f (x, y ) u=yg (x) = vE2 :f (y , v ) = f (x, y ) u=y(1)g (x) = v=⇒ E1 :f (u, v ) = f (x, y ) u=y(5)g (x) = v=⇒ E2 :f (y , v ) = f (x, y ) u=y(3)v = g (x)=⇒ E3 :f (y , v ) = f (x, y )АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 2. u=yv = g (x)E3 :f (y , v ) = f (x, y )АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 2. u=yv = g (x)E3 :f (y , v ) = f (x, y ) u=yv = g (x)=⇒ E4 :f (y , g (x)) = f (x, y )(5)АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 2. u=yv = g (x)E3 :f (y , v ) = f (x, y ) u=yv = g (x)=⇒ E4 :f (y , g (x)) = f (x, y ) u=yv = g (x)E4 :f (y , g (x)) = f (x, y )(5)АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 2. u=yv = g (x)E3 :f (y , v ) = f (x, y ) u=yv = g (x)=⇒ E4 :f (y , g (x)) = f (x, y )u=yu=y(1)v = g (x)v = g (x)=⇒ E5 :E4 :y =xf (y , g (x)) = f (x, y )g (x) = y(5)АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 2. u=yv = g (x)E3 :f (y , v ) = f (x, y ) u=yv = g (x)=⇒ E4 :f (y , g (x)) = f (x, y )u=yu=y(1)v = g (x)v = g (x)=⇒ E5 :E4 :y =xf (y , g (x)) = f (x, y )g (x) = yu=yv = g (x)E5 :y =xg (x) = y(5)АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 2. u=yv = g (x)E3 :f (y , v ) = f (x, y )E4 :E5 : u=yv = g (x)=⇒ E4 :f (y , g (x)) = f (x, y )u=yu=y(1)v = g (x)v = g (x)=⇒ E5 :y =xf (y , g (x)) = f (x, y )g (x) = yu=yu=x(5)v = g (x)v = g (x)=⇒ E6 :y =xy =xg (x) = xg (x) = y(5)АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 2.u=xv = g (x)E6 :y =xg (x) = xАЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 2.u=xv = g (x)E6 :y =xg (x) = xu(3)v=⇒ E7 :yx=x= g (x)=x= g (x)АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 2.u=xv = g (x)E6 :y =xg (x) = xu=xv = g (x)E7 :y =xx = g (x)u(3)v=⇒ E7 :yx=x= g (x)=x= g (x)АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 2.u=xv = g (x)E6 :y =xg (x) = xu=xv = g (x)E7 :y =xx = g (x)u(3)v=⇒ E7 :yx(6)=x= g (x)=x= g (x)=⇒ СТОП: НЕТ УНИФИКАТОРА.АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИПример 2.u=xv = g (x)E6 :y =xg (x) = xu=xv = g (x)E7 :y =xx = g (x)u(3)v=⇒ E7 :yx=x= g (x)=x= g (x)(6)=⇒ СТОП: НЕТ УНИФИКАТОРА.Система уравнений g (u) = g (y )g (x) = vE0 :f (u, v ) = f (x, y )не имеет решения (унификатора).АЛГОРИТМ УНИФИКАЦИИТеорема (об унификации)Какова бы ни была система уравнений E,1.

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5057
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее