В.С. Урусов - Теоретическая кристаллохимия, страница 31

е. ее порядку. Кратность частной системы точек всегда ниже,чем общей, во столько раз, какова величина симметрии частнойпозиции. Последняя определяется числом точек, на которые разделится одна точка, если ее перевести из частной позиции вобщую. Например, правильная система точек с величиной симметрии 2, которые находятся на зеркальной плоскости или на оси2-го порядка, имеет кратность в два раза меньшую, чем общаясистема; позиция е величиной симметрии 4 (например, с точечными группами симметрии 4, mm2 или 2/w характеризуется кратностью в четыре раза меньшей, чем общая.

Таким образом, произведение кратности и величины симметрии точек постоянно иравно кратности точек общего положения, т. е. порядку пространственной группы.Кратности позиций в конкретной пространственной группенакладывают некоторые ограничения на стехжжетрический составкристалла, имеющего данную группу.

Рассмотрим один пример,Две пространственные группы — Р3\\2 и Я3212 — описываютэнантиоморфные кристаллические структуры наиболее распространенного минерала а-мварца SiC>2. В них присутствуют три правильные системы точек а,N Ь, с со следующими кратностями и ко1/25 / 1\ординатами: 3(а) **т(т)3(Ь) **т(ть 6(c);q/z. Атомы кремния,которые находятся в состоянии тетраэдрической $р 3 -гибридизации,должны У выбрать те из частных положений, симметрия которыхявляется подгруппой группы симметрии тетраэдра.-Этому условиюотвечает позиция а с симметрией 2 (ось 2-го порядка), являющейся подгруппой группы симметрии тетраэдра. Поэтому дляатомов кислорода остаются только общие положения xyz с кратностью 6.

Следовательно, в элементарной ячейке находятся триформульные единицы SiCb (Z = 3).Если атомы сохраняют в кристалле рысокую (сферическую)симметрию, то они стремятся занять высокосимметричные позиции. Поэтому простые (одноатомные у бинарные и т. д.) металлические и ионные кристаллы обладают обычно высокой симметрией. Если сортов атомов много, то таких позиций не хватает икристалл «выбирает» другую пространственную группу с болеенизкой симметрией. В этом заключается крясталлохимическоеобъяснение приближенного закона Федорова — Грота (см. гл.

I,разд. 2).Для описания пространственной группы пользуются чертежом,145координатами системы точек общего положения или 'символом.Аксонометрическая проекция является наиболее наглядным способом изображения. Однако составить такой чертеж и читать егодовольно трудно. Поэтому обычно изображают проекции пространственной группы на координатные плоскости, пример такой проекции для группы Р2\/с представлен на рис. 58.Симметрию пространственной группы можно передать с помощью символов Германа—Могена. Для этого элементы симметрии соответствующегоклассаP2i/cточечной симметрии заменяются элементами симметрии пространственной группы, а такжевводится буквенное обозначениесоответствующейтрансляционнойГруппы (типарешеткиБравэ).СимволГермана — Могенаможет иметь различное написание в зависимости от ориента^ции системы координат.

Например, группе P2i/c можно придатьдругую установку, когда компонентатрансляцииплоскостискольжения будет проходить нев направлении [001], а в напправлении [100]. Тогда вместосимвола P2i/c та же пространственная группа получает символP2ila или P2ilb (рис. 58). Поэтому в литературе, в том числе вP2j/bсправочнике «Интернациональные таблицы рентгеновской кри-Рис. 58. Графики пространственнойгруппы Р2,/с в двух установкахсталлографии», Fрядом С СИМВО_ M QreHa прив0 д ит .л(ш Ге^ыася символ Шенфлиса, который независит,, от выбора координатной системы.

Например, Р2\1с== P2i/a=C52h или C2mm = Amm2 = C2v14. Верхний индекс символаШенфлиса обозначает лишь номер данной группы в пределах сходственного класса симметрии конечной фигуры (точечной группы), который обозначается буквой и подстрочным индексом.3. ПЛОТНЕЙШИЕ ШАРОВЫЕ УПАКОВКИЕсли представить атомы одного сорта в виде шаров одинакового размера, то легко допустить, что в кристалле они стремятсябыть упакованными максимально плотно. Как следует из гл. III,это во всяком случае справедливо для ионных, молекулярных иметаллических кристаллов.Существуют две основные плотнейшие шаровые упаковки —146кубическая и гексагональная.

В первой из них по оси 4-го порядка друг на друга накладываются квадратные слои тетрагональной симметрии. Соотношение числа шаров и лунок в слое1 : 1 (рис. 59,а). Если укладывать каждый следующий слой напредыдущий так, чтобы шары опускались в лунки между шарамипредыдущего слоя, то получим плотнейшую упаковку (рис. 59,6):каждый шар в ней будет иметь 12 соседей (1 шара в том жеслое, 4 сверху и 4 снизу), а коэффициент заполнения пространства достигнет максимальной величины (74,05%).

Симметрия этойЛ IРис 59. Плотнейшая шаровая укладка изквадратных слоев:а — изолированный квадратный шаровойслой, соотношение числа шаров и лунок —1 : 1 ; б — квадратные слои образуют плотнейшую упаковку; в — шары полученнойплотнейшей упаковки служат узлами/^-кубической решетки Бравэ; г — сквозные(/) и несквозные (Я) лунки плотнейшейкубической упаковкиукладки кубическая, а шары расположены в узлах Лгранецентрированной кубической решетки Бравэ (рис. 59,0).Перпендикулярно осям 3-го порядка в кубической упаковкеможно заметить слои гексагональной симметрии, в которых каждый шар окружен^ шестью ближайшими шарами (рис. 60).

Соотношение числа шаров и лунок в нем не 1 : 1, а 1 : 2 (каждая лункаокружена тремя шарами, а каждый шар — шестью лунками).Если начинать укладку шаров с такого слоя, то, как заметилоколо 100 лет тому назад В. Барлоу, возникают две альтернативные возможности. Дело в том, что при наложении на исходныйвторого слоя, лунки оказываются различными: половина лунок —сквозные, под ними нет шаров первого слоя, другая половина —несквозные, под ними находятся шары первого слоя (см.рис. 59,г). Если шары третьего и всех последующих слоев укладывать только в сквозные лунки, то результат будет идентичнымпредыдущему: повторение мотива наступит в четвертом слое.147Обозначив слои буквами А, В, С, закономерность кубической упаковки можно выразить последовательностью букв ...

АВСАВСАВС... (см. рис. 59,6). Таким образом, кубическая упаковка — трехслойная. Однако результат ^удет принципиально иным, если заполнять шарами лишь несквозные лунки. Тогда повторение мотива наступит уже в третьем слое, который расположится точнонад исходным. Буквенный символ такой двухслойной упаковки...АВАВАВ .... В ней -имеется только одна ось 3-го порядка, т. е.симметрия ее гексагональная. Число ближайших соседей каждого шара в rakoff упаковке опять равно 12: шесть в том же слое8Рис 60. Разделение плотнейшей укладки шаров (а) на слои, перпендикулярные оси LS, т.

е. на гексагональные (плотнейшие) слои (б);изолированный плотнейший слой (в); соотношение числа шаров и лунок в слое равно I 2и, по три снизу и сверху. Очевидно, коэффициент заполнения пространства остается тем же, как и для кубической упаковки, аименно 74,05%, т. е. это второй тип плотнейшей упаковки.Каждый слой гексагональной упаковки лежит между двумяодинаково расположенными слоями,- т.

е. через него проходитплоскость симметрии. Такие симметрично окруженные слои обозначают буквой «г». В кубической упаковке каждый слой расположен между двумя слоями, ориентированными неодинаково(слой А между С и В, слой В между А и С и т. д.). Такие слоиобозначают буквой «к». Подобные обозначения очень удобныдля многослойных плотнейших упаковок, которые возникают, еслииспользовать в некотором определенном порядке оба принципаукладки шаров — как в «сквозные», так и в «несквозные» лунки.Закономерно чередуя различным образом слои «г» ,и «АС», можнополучить, как впервые указал Л. Поликт в 1928 г., бесконечноемножество упаковок. Например, упаковка ...гкгкгк... четырехслойная.

По симметрии все многослойные плотнейшие упаковки гексагональные с Р- или /?-решетками Бравэ, и для них возможновсего 8 пространственных групп (Белов, 1939).Описание кристаллических структур с помощью концепцииплотнейших упаковок шаров одинакового размера более всего148адекватно для кристаллов типичных металлов 'или благородныхгазов, в которых химические связи (металлическая и ван-дерваальсова) ненаправленны и ненасыщаемы.

Действительно, большинство типичных металлов кристаллизуется либо в кубической(например, Си), либо в гексагональной (например, Mg), либо вобеих этих упаковках (например, Go), либо образуют более многослойные упаковки (например, структура La описывается четырехслойной плотнейшёи упаковкой). В твердом Не — гексагональная плотнейшая упаковка атомов, а в" кристаллах остальных инертных газов — кубическая.Если бы теорию плотнейших упаковок можно было применитьтолько для описания структур нескольких десятков простых кристаллических веществ, она не имела бы для кристаллохимии такого большого значения, которое имеет на самом деле.