А.А. Булычев, И.В. Лыгин, В.Р. Мелихов - Численные методы решения прямых задач грави- и магниторазведки, страница 7

Тогда справедливо⎛ ∂ P ∂ Q ∂R ⎞∫D ⎜⎜⎝ ∂x + ∂y + ∂z ⎟⎟⎠dv = ∫S (PdS x + QdS y + RdS z ).41Векторные формулировки этой теоремы имеют вид:rgradadv=adS∫∫ ,DrrS r∫ divA dv = ∫ A ⋅ dS ,DSrr rrotAdv=dS∫∫ × A.DSТеорема Стокса. Пусть функции P, Q, R и их частные производные∂P,∂x∂ P ∂Q ∂Q ∂ R ∂ R,,,,непрерывны на поверхности S и на замкнутом∂z ∂x ∂z ∂x ∂zконтуре L, ограничивающем эту поверхность.

Тогда справедливо⎛ ∂R∫S ⎜⎜⎝ ∂y −⎛ ∂Q ∂ P ⎞∂Q ⎞⎛ ∂P ∂ R ⎞⎟⎟dS x + ⎜⎟⎟dS z = ∫ Pdl x + Qdl y + Rdl z .−−⎟dS y + ⎜⎜∂z ⎠xy∂∂⎝ ∂z ∂x ⎠⎝⎠LВекторные формулировки:rrdS×grada=adl∫∫ ,SLrr rrotA⋅dS=A∫∫ ⋅ dl .SLФормулы Грина легко получаются из формул Остроградского–Гаусса. 1–яформула имеет вид∂b∫D (a∆b + grad a ⋅ grad b)dv = ∫S a ∂n dS ,2-я формула –⎛ ∂b∂a ⎞∫ (a∆b − b∆a )dv = ∫ ⎜⎝ a ∂n − b ∂n ⎟⎠dS .DS9.Формулы Остроградского–Гаусса, Стокса и Грина справедливы идля двухмерных случаев, если функции P и Q зависят только от двухкоординат:⎛ ∂P ∂Q ⎞∫S ⎜⎜⎝ ∂x + ∂y ⎟⎟⎠dS = ∫L (Pdl y − Qdl x ),⎛ ∂ Q ∂P ⎞∫S ⎜⎜⎝ ∂x − ∂y ⎟⎟⎠dS z = ∫L Pdl x + Qdl y .42rТак, например, для функций a(x,y) и A( x , y ) справедливы следующиесоотношения:rr rdivAdS=A∫∫ ⋅ 1n dl ,r∫ grad a dS = ∫ a1ndl ,SLSLrгде орт внешней нормали 1n лежит в плоскости пластины и ортогоналенконтуру, ограничивающему поверхность S. Аналогичные соотношенияможно записать и для формул Грина.10.

Применим формулу О.–Г. к магнитномупотенциалу, создаваемомуrобъемом D с намагниченностью I . Потенциал такого источникаопределяется следующим образомU(M0 ) = −1 r1I ( M ) ⋅ grad M Odv ,∫rMM 04π Dгде M0 – положение точки, в которой определяется поле, M – точкаинтегрирования.Так как в интегральных теоремах предполагается, чтодифференцирование должно осуществляться по точке интегрирования, топерейдем от дифференцирования по переменной M0 к переменной M.Кроме того, воспользуемся следующим соотношениемrrrdiv (aA) = A ⋅ grad a + a divA .ТогдаU(M0 ) = −1 r11 r1MOMI(M)⋅graddv=I(M)⋅graddv =rMM 0rMM 04π ∫D4π ∫D⎛r 11⎜Idiv=4π ∫D ⎜⎝ rMM 0r⎞11⎟dv − 1divIdv =∫⎟4π D rMM 04π⎠r rr1 − divII ⋅ 1n∫S rMM dS + 4π ∫D rMM dv .00r rПоскольку произведениеI⋅ 1n определяет плотность поверхностныхrисточников δs, а divI – плотность объемных источников δv, то полученноевыражение можно записать следующим образом:U(M0 ) =1 δ s (M )1 δ v (M )dv .dS +∫4π S rMM 04π ∫D rMM 043Из этого соотношения следует, что магнитное поле объемногоисточника можно представить в виде суммы полей, создаваемыхповерхностными “магнитными зарядами” и “магнитными зарядами”,распределенными в объеме и создающими поле вектора намагниченности.С практической точки зрения важен частный случай этой формулы,когдаr предполагается, что вектор намагниченности постоянен.

ТогдаdivI = 0 , и выражение для потенциала приобретает вид:1 δ s (M )1dS =U(M0 ) =∫4π S rMM 04πr rI ⋅ 1n∫S rMM dS ,0т.е. магнитное поле будет определяться только наличием поверхностных“магнитных зарядов”.11. Тем самым получен второй подход к расчету аномальногомагнитного поля от тела с постоянной намагниченностью. В отличие отрассмотренного ранее подхода, основанного на соотношении Пуассона,здесь вычисляется плотность “магнитных зарядов”, сосредоточенных наповерхности заданного тела, и уже от них рассчитывается магнитное поле.Ясно, что выражения силы магнитного притяжения, создаваемого такимизарядами, с точностью до постоянного коэффициента будут совпадать свыражениями силы гравитационного притяжения, создаваемого теми жеповерхностями, с распределенными по ним поверхностными массами.12.

Для иллюстрации этого результата рассмотрим вертикальнуюдвухмерную призму с вертикальной намагниченностью I. Z–компонентаполя, создаваемая такой призмой, может быть получена путем прямогоинтегрирования Z–компоненты поля дипольной линии, и она окажетсяравной:Z(M0 ) =µ 0 ⎡⎛ξ −xξ − x⎞ ⎛ξ −xξ − x ⎞⎤⎟⎥ =⎟⎟ − ⎜⎜ arctg 22 I ⎢⎜⎜ arctg 2− arctg 1− arctg 14π ⎣⎝ζ1 − zζ1 − z ⎠ ⎝ζ2 − zζ 2 − z ⎟⎠ ⎦=µ02 I (ϕ1 − ϕ 2 ) ,4πгде ξ1, ξ2 – координаты боковых граней призмы, ζ1, ζ2 – координатыверхней и нижней кромок, ϕ1 и ϕ2 – углы видимости из точки M0 верхней инижней кромок призмы.Теперь получим выражение для той же компоненты поля черезповерхностные заряды. Плотность поверхностных зарядов на верхней44r r rrграни призмы будет равна δ s(1) = I ⋅ 1n = I ⋅ ( −1z ) = − I , поскольку нормальэтой грани противоположена по направлению оси oZ.

На нижней гранинаправление нормали совпадает с направлениемr r осиr roZ, и плотность( 2)зарядов этой грани окажется равной δ s = I ⋅ 1n = I ⋅ 1z = I . Плотностьзарядов на боковых гранях будет равна нулю, поскольку нормали этихграней ортогональны к вектору намагниченности.При рассмотрении модели тонкого горизонтального пласта спостоянной поверхностной плотностью δп нами были получено выражениедля компоненты Vz его поля силы тяжести:ξ2(ξ − x ),Vz ( M 0 ) = 2Gδ п arctg(ζ − z ) ξ1где ξ1, ξ2 – координаты концов пласта, ζ – глубина его залегания. Заменивδп на δ s(1) и δ s( 2 ) , G – наµ0, и подставив соответствующие глубины ζ1, ζ24πполучим эффекты от верхней и нижней кромок. Суммарный эффект будетопределяться суммой эффектов, создаваемых этими пластами. При этомнеобходимо учесть и тот факт, что в отличие от гравитационного поля,положительные “магнитные заряды” являются источниками поля, аотрицательные – стоками.

Это означает, что эффекты этих пластов должныбыть умножены на (–1). В результате получим:Z(M0 ) ==−µ04π⎡ ⎛⎛ξ −xξ − x⎞ξ −xξ − x ⎞⎤⎟⎟ + δ s( 2 ) ⎜⎜ arctg 2⎟⎟ ⎥ =− arctg 1− arctg 12 ⎢δ s(1) ⎜⎜ arctg 2zzzz−−−−ζζζζ⎠⎝⎠⎦2111⎣ ⎝=−µ0µ2[− Iϕ1 + Iϕ 2 ] = 0 2 I (ϕ1 − ϕ 2 ) .4π4πПолученный результат совпадает с выражением, полученным ранее.13. Применение формул понижения кратности интегралов позволяетполучить достаточно простые выражения для компонент аномальногогравитационного или магнитного поля от тел с более сложнойконфигурацией. Так при расчете гравитационного поля, создаваемогодвухмерными объектами одной из аппроксимационных фигур являетсямногоугольник постоянной плотности δ с N вершинами.Для такой фигуры потенциал силы тяжести представляетсяследующим образом:45[]V ( M 0 ) = −Gδ ∫ ln (ξ − x ) 2 + (ζ − z ) 2 dS .SПоле силы притяжения определяется как градиент этого потенциала:[]rg ( M 0 ) = gradV = −Gδ grad M 0 ∫ ln (ξ − x ) 2 + (ζ − z ) 2 dS =S[]= −Gδ ∫ grad M 0 ln (ξ − x ) 2 + (ζ − z ) 2 dS .SПерейдем от дифференцирования по точке M0 к дифференцированию поточке M и воспользуемся формулой О.–Г.:[]rg ( M 0 ) = Gδ ∫ grad M ln (ξ − x ) 2 + (ζ − z ) 2 dS =S[][]Nrr= Gδ ∫ ln (ξ − x ) + (ζ − z ) 1n dl =Gδ ∑ ∫ ln (ξ − x ) 2 + (ζ − z ) 2 1nν dl .22ν =1 LνLС учетом того, что для ν–ой стороны вектор нормали не меняет своегонаправления, последнее выражение можно переписать в виде:[]NNrrr22g ( M 0 ) = Gδ ∑1nν ∫ ln (ξ − x ) + (ζ − z ) dl =Gδ ∑1nν ∫ ln(r 2 ) dlν =1Lνν =1Lν⎛⎞⎜ − G ln(r 2 ) dl ⎟представляет собой потенциал ν–ой∫L⎜⎟ν⎝⎠материальной пластины с единичной поверхностной плотностью Vν(M0).СледовательноИнтегралNrrg ( M 0 ) = −δ ∑1nν V ν ( M 0 ) .ν =1В частности, для вертикальной компоненты гравитационного поля можнозаписать:Nr rg z ( M 0 ) = Vz ( M 0 ) = −δ ∑ cos(1nν ,1z )V ν ( M 0 ) .ν =1Выражение потенциалаполучено во 2-й лекции:для46горизонтальнойпластиныбылоξ2⎡(ξ − x ) ⎤V ( M 0 ) = −Gδ п ⎢(ξ − x ) ln((ξ − x ) 2 + (ζ − z ) 2 ) − 2(ξ − x ) + 2(ζ − z )arctg(ζ − z ) ⎥⎦ ξ1⎣Вычислительнаясхема,основаннаянареализацииэтогоалгоритма, будет включать в себяоперацию ввода новой координатнойсистемы, связанной со сторонамимногоугольника, т.е.

для каждой ν–ойстороны многоугольника вводится свояпрямоугольная система координат, сосью oZν, совпадающей по направлениюс осью нормали к этой стороне. Далееопределяются координаты точки M0 в этой системе, координатыположения пластины, совпадающей с этой стороной, и вычисляется еепотенциал при δп=1. Значение полученного потенциала умножаются накосинус угла между вектором нормали к этой стороне и осью oZ исходнойкоординатной системы. Домножив полученный результат на значение δ,определяется вклад ν–ой стороны многоугольника в значение аномальногополя, создаваемого всем многоугольником.14.

Однако получить выражения для элементов гравитационного илимагнитного поля с более сложной конфигурацией и более сложнымраспределениемплотностиилинамагниченностиоказываетсязатруднительным. Эффективные способы получения аналитическихвыражений элементов полей от таких двухмерных объектов основаны наприменении теории функций комплексных переменных.

Этому будетпосвящена специальная лекция.Литература.1. Бронштейн И.Н, Семендяев К.А. Справочник по математике дляинженеров и учащихся втузов. – М.: Наука. 1981. 720 с.2. Буллах Е.Г., Шуман В.Н. Основы векторного анализа и теория поля.Учебное пособие. – Киев. Наукова думка. 1998. 360 с.3. Вычислительная математика и техника в разведочной геофизике.Справочник геофизика. – М.: Недра. 1990.

498 с.4. Страхов В.Н., Лапина М.И. Прямые задачи гравиметрии имагнитометрии для произвольных однородных многогранников. //Изв. АН СССР. Физика Земли. 1982. № 4. с. 45-67.5. Страхов В.Н., Лапина М.И. Прямая и обратная задача гравиметрии имагнитометрии для произвольных однородных многогранников. //Теория и практика интерпретации гравитационных и магнитных полей47в СССР. Мат-лы III всесоюзной школы-семинара. К. Наукова думка.1983. С.