А.А. Булычев, И.В. Лыгин, В.Р. Мелихов - Численные методы решения прямых задач грави- и магниторазведки, страница 14

1984. 71 с.5. Цирульский А.В. Вопросы теории и методы интерпретациипотенциальных геофизических полей. Учебное пособие. – Л.:Ленинградский горный ин-т. 1989. 96 с.6. Цирульский А.В. Функции комплексного переменного в теории иметодах потенциальных геофизических полей. – Свердловск: Наука,1990. 136 с.Лекция 7. Представление элементов аномального гравитационного имагнитного полей рядами. Моменты.Как мы уже говорили, аналитическое решение прямой задачипредполагаетполучениеявногоаналитическоговыражения,описывающего элементы гравитационного или магнитного полей,создаваемого заданным распределением источников. Такие выражениянами были получены для тел простой формы.

Выражения, описывающиеполя от этих моделей, включают в себя помимо простых арифметическихвыражений логарифмические и тригонометрические функции. Прирассмотрении более сложных двухмерных моделей класс функций, спомощью которых представляются поля, создаваемые источниками, былрасширен до функций комплексных переменных. Класс таких функцийможет быть расширен и далее. В этой лекции будет рассмотрено, какможно использовать для решения прямой задачи представление полейрядами.

Здесь надо сделать следующее замечание. Формально любуюалгебраическую или тригонометрическую функцию при определенныхусловиях можно разложить в ряд Тейлора, и записать любое полученноеранее аналитическое выражение для элементов полей в виде ряда.Собственно, эта идея и реализуется при вычислении трансцендентныхфункций в ЭВМ. Однако в этой лекции мы рассмотрим более общийподход к представлению полей в виде ряда.

И рассмотрение этого вопросаначнем с двухмерных моделей.941.Введем комплексную системукоординат, так, как это было сделанонамиранееприпредставлениигравитационного и магнитного полей ввиде комплексных напряженностей, –ось абсцисс (oX) направлена вправо, осьординат (в наших обозначениях – oZ) –вверх. Пусть в этой плоскости задананекоторая конечная область D, покоторой распределена плотность δ (ξ , ζ )или намагниченность I (ξ , ζ ) .

Возьмем вэтой плоскости произвольную точку σ0 ипроведем окружность вокруг этой точки радиусом R, такую, что область Dбудет лежать в круге K ( R, σ 0 ) , образованным этой окружностью. Пустьточка σ находится в области D, и, следовательно, в области K ( R, σ 0 ) , а1можно сделатьточка s – вне этого круга. Тогда для функцииσ −sследующие преобразования:11==σ − s (σ − σ 0 ) − ( s − σ 0 )1.⎛ σ −σ0 ⎞⎟⎟− ( s − σ 0 )⎜⎜1 −sσ−0 ⎠⎝Поскольку точка σ находится внутри круга K ( R, σ 0 ) , а точка s – снаружи,σ −σ 0σ −σ 0то дробьменьше единицы (< 1). В этом случае величинаs −σ 0s −σ 01представляет собой сумму бесконечно убывающей⎛ σ −σ0 ⎞⎟⎜⎜1 −s − σ 0 ⎟⎠⎝геометрической прогрессии:n∞⎛σ −σ 0 ⎞1⎟ .= ∑ ⎜⎜⎛ σ − σ 0 ⎞ n= 0 ⎝ s − σ 0 ⎟⎠⎟⎟⎜⎜1 −sσ−0 ⎠⎝Таким образом, функцию1можно представить в виде ряда:σ −s95n∞∞⎛σ −σ 0 ⎞(σ − σ 0 ) n11⎟⎜= −∑=−.∑n +1σ −s( s − σ 0 ) n = 0 ⎜⎝ s − σ 0 ⎟⎠n=0 ( s − σ 0 )1в виде ряда может быть получено(σ − s ) 2путем дифференцирования полученного выражения по переменной s:Выражение для функции∞(σ − σ 0 ) n ( n + 1)1=∑.(σ − s ) 2 n = 0 ( s − σ 0 ) n+ 2Представив распределение плотности δ (ξ , ζ ) в виде функции,зависящей от комплексных переменных δˆ (σ , σ ) и с учетом полученныхвыражений, комплексную напряженность гравитационного поля G(s),создаваемую областью D, можно записать в виде:⎛ ∞ (σ − σ 0 ) n ⎞δˆ (σ ,σ )ˆ⎟dS =G ( s ) = 2iG ∫dS = 2iG ∫ δ (σ ,σ )⎜⎜ − ∑n +1 ⎟σσs(s)−−0⎠⎝ n= 0DD∫ δˆ (σ ,σ )(σ − σ∞= −2iG ∑ Dn= 0(s − σ 0 )0) n dSn+1m n (σ 0 ).n +1n= 0 ( s − σ 0 )∞= −2iG ∑В полученном выражении m n (σ 0 ) = ∫ δˆ (σ ,σ )(σ − σ 0 ) n dS − комплексныйDмомент масс относительно точки σ0.Аналогично,представивнамагниченностькакфункциюкомплексных переменных Iˆ (σ ,σ ) , для комплексной напряженностимагнитного поля, создаваемой областью D, получим:⎛ ∞ (σ − σ 0 ) n ( n + 1) ⎞Iˆ (σ ,σ )ˆ⎟⎟dS =dS = 2i ∫ I (σ ,σ )⎜⎜ ∑H ( s ) = 2i ∫2n+ 2⎠⎝ n= 0 ( s − σ 0 )D (σ − s )D∞= 2i ∑n= 0( n + 1)∫ Iˆ (σ ,σ )(σ − σ 0 ) n dSD(s − σ 0 )n+ 2( n + 1) M n (σ 0 ),( s − σ 0 ) n+ 2n= 0∞= 2i ∑где M n (σ 0 ) = ∫ Iˆ (σ ,σ )(σ − σ 0 ) n dS − комплексный момент намагниченныхDмасс.962.Высшие производные комплексных напряженностей G(s) и H(s) спомощью комплексных моментов представляются следующими рядами:∞∞− ( n + 1)m n (σ 0 ) d 2G ( s )( n + 1)( n + 2)m n (σ 0 )dG ( s ),, …,=−iG2= −2iG ∑∑ds( s − σ 0 ) n+1+1ds 2( s − σ 0 ) n+ 2+1n=0n=0∞d pG ( s )( −1) p ( n + p + 1)( n + p )L( n + 1)m n (σ 0 ) ;= −2iG ∑ds p( s − σ 0 ) n+ p+1n=0∞− ( n + 1)( n + 2) M n (σ 0 )dH ( s )= 2i ∑,ds( s − σ 0 ) n+ 2+1n=0∞( n + 1)( n + 2)( n + 2 + 1) M n (σ 0 )d 2 H ( s), …,=i2∑2n + 2+ 2ds(s−σ)n=00∞( −1) p ( n + p + 1)( n + p )L( n + 1) M n (σ 0 )d p H ( s).= 2i ∑ds p( s − σ 0 ) n+ 2+ pn=03.В теории функции комплексной переменной показывается, что еслифункция f(s) − однозначная и аналитическая в кольце r < s − s0 < R , неисключая случая, когда r = 0 и R = +∞, то она разлагается в этом кольце вряд Лорана:∞f ( s) =∑ c n ( s − s0 ) n =n = −∞где ряд−1∑cn = −∞Лорана, а ряд−1∞n = −∞n=0∑ c n ( s − s0 ) n + ∑ c n ( s − s0 ) n ,∞c−nnn =1 ( s − s 0 )n ( s − s0 ) = ∑n∞∑ c (s − s )n=0n0nназывается главной частью ряда− правильной частью ряда Лорана.4.Таким образом, нами получено представление комплексныхнапряженностей гравитационного и магнитного полей в виде рядовЛорана.

Эти ряды сходятся абсолютно и равномерно во внешности кругаK ( R, σ 0 ) , причем область D, создающая эти поля находится внутри этогокруга. Коэффициенты разложения в ряд Лорана комплексныххарактеристик полей однозначно связаны с комплексными моментамитяготеющих и намагниченных масс. Отсюда в частности следует, чтовеличины m n (σ 0 ) и M n (σ 0 ) при любом выборе точки σ0 однозначноопределяются по полю, и поле по ним также определяется однозначно.975.На основании комплексных формул Остроградского−Гаусса∂F (σ ,σ )1dS=F (σ ,σ )dσ∫D ∂σ2i ∂∫D− 1−ая формула О.−Г.∂F (σ ,σ )1dS = − ∫ F (σ ,σ )dσ − 2−ая формула О.−Г.∂σ2 i ∂DD∫определение комплексных моментов может быть сведено к вычислениюконтурных интегралов.

Так, с использованием 1-ой формулы О. −Г. длякомплексных моментов можно записать:m n (σ 0 ) = ∫ δ (ξ , ζ )(σ − σ 0 ) n dS =1Φ(σ ,σ )(σ − σ 0 ) n dσ ,∫2 i ∂DM n (σ 0 ) = ∫ I (ξ , ζ )(σ − σ 0 ) n dS =1Ψ(σ ,σ )(σ − σ 0 ) n dσ ,∫2 i ∂DDDгде Φ(σ ,σ ) = ∫ δˆ (σ ,σ )dσ , Ψ (σ ,σ ) = ∫ Iˆ (σ ,σ )dσ .Нахождение комплексных моментов тяготеющих и намагниченныхмасс уже является прямой задачей, при этом для комплексных моментованалитические выражения получаются в широком классе функций,описывающих распределение источников.6.В качестве примера получим выражение для моментов от области спостоянной плотностью или намагниченностью и с границей, состоящейиз N дуг с параметрическим представлением в виде степенной функции.При этом воспользуемся второй формулировкой теоремы О.–Г.:δm n (σ 0 ) = ∫ δ (σ − σ 0 ) n dS = −(σ − σ2i ( n + 1) ∫M n (σ 0 ) = ∫ I (σ − σ 0 ) n dS = −I(σ − σ 0 ) n+1 dσ .∫2i ( n + 1) ∂DDD0) n+1 dσ ,∂DДля случая тяготеющих масс получим:m n (σ 0 ) = −δn +1∫ (σ − σ 0 ) dσ =2i ( n + 1) ∂DNiδ(σ − σ 0 ) n+1 dσ =∑∫2( n + 1) ν =1 Гν98N 1iδ(σ ν ( t ) − σ 0 ) n+1σ ′( t )dt .=∑∫2( n + 1) ν =1 0Если область D представляет собой многоугольник, то уравнения сторонимеют вид σ ν ( t ) = aν t + bν , и, соответственно,N 1iδm n (σ 0 ) =(aν t + bν − σ 0 ) n+1 aν dt =∑∫2( n + 1) ν =1 0N 1iδn+1 aν=(at+b−σ)d (aν t + bν − σ 0 ) =∑νν02( n + 1) ν =1 ∫0aν1N⎡ aνiδn+ 2 ⎤(atbσ)=+−∑0νν⎥ =2( n + 1) ν =1 ⎢⎣ aν ( n + 2)⎦0=Naνiδ(aν + bν − σ 0 ) n+ 2 − (bν − σ 0 ) n+ 2 .∑2( n + 1)( n + 2) ν =1 aν[]Для случая многоугольника с полиноминальным распределениемплотности можем записать:11 Nnm n (σ 0 ) = ∫ Φ(σ ,σ )(σ − σ 0 ) dσ = ∑2 i ∂D2i ν =1σ ν +1∫Ρσn +1,ν(σ )(σ − σ 0 ) n dσ .νРешение такого рода интегралов, как нами было показано ранее, легкоможет быть запрограммировано на ЭВМ.Следует также отметить, что существуют возможности численногонахождения определенных интегралов с помощью различных кубатурныхформул.

В частности, если подинтегральная функция представляетсяполиномом, то применение квадратурных формул Гаусса позволяет точновычислить определенный интеграл.7.Остановимся на вопросе: сколько членов ряда необходимо удержать,чтобы при вычислении значений напряженности поля получить заданнуюточность? Этот вопрос рассмотрим на примере поля G(s), для чего оценимзначение верхней грани следующей разницы G ( s ) − G p ( s ) , где p – числоудерживаемых членов ряда. Тогда,sup G ( s ) − G p ( s ) = sup − 2iGs ≥R∞m k (σ 0 )m k (σ 0 )G≤2.∑∑k +1k +1s−()Rσk = p +1k = p +10∞Оценим величину m k (σ 0 ) :99km k (σ 0 ) ≤ ∫ δ (ξ ,ζ )(σ − σ 0 ) k dS ≤ ∫ δ (ξ ,ζ ) σ − σ 0 dS ≤ r k C (δ , D ) ,DDгде C (δ , D ) = ∫ δ (ξ ,ζ ) dS , r – расстояние от центра разложения σ0 доDнаиболее удаленной точки σ, принадлежащей области D.

В результате, дляоценки величины суммы остаточных членов ряда получим:krkr p+1 ∞ ⎛ r ⎞sup G ( s ) − G p ( s ) ≤ 2G C (δ , D ) ∑ k +1 ≤ 2G C (δ , D ) p+ 2 ∑ ⎜ ⎟ .R k =0 ⎝ R ⎠s ≥Rk = p +1 R∞k∞r⎛r⎞Поскольку отношение < 1 , то ∑ ⎜ ⎟ − сумма бесконечной убывающейRk =0 ⎝ R ⎠геометрической прогрессии. Окончательно получимsup G ( s ) − G p ( s ) ≤ 2G C (δ , D )s ≥Rr p+1R p+ 21r1−R,причем полученная оценка является очень грубой.8.Рассмотрим содержательный смысл комплексных моментов.Моменты нулевого порядка:m 0 (σ 0 ) = ∫ δ (ξ , ζ )(σ − σ 0 ) 0 dS = ∫ δ (ξ , ζ )dSD−суммарнаямасса,Dсосредоточенная в области D;M 0 (σ 0 ) = ∫ I (ξ , ζ )dS − суммарный магнитный момент области D.DОба эти момента не зависят от положения точки σ0.На основании теоремы о среднем для момента 1-го порядкаm1 (σ 0 ) можем записать:m1 (σ 0 ) = ∫ δ (ξ , ζ )(σ − σ 0 )1 dS = ∫ δ (ξ , ζ )σ dS − σ 0 ∫ δ (ξ , ζ ) dS =DDD= σ C ∫ δ (ξ , ζ ) dS − σ 0 ∫ δ (ξ , ζ ) dS = m 0 (σ 0 )(σ C − σ 0 ) .DDЗдесь σС – комплексная координата центра масс.

Аналогичноесоотношение можем записать и для магнитного момента M 1 (σ 0 ) .Определим следующую величину:100∆=1(m 0 (σ 0 ))2m 0 (σ 0 ) m1 (σ 0 )m1 (σ 0 ) m 0 (σ 0 ).При постоянной плотности δ, величина γ = ∆ характеризует степеньвытянутости области D вдоль своей длинной оси, а величина1θ = arg ∆ = arg ∆ − угол между этой осью и осью oX.2Инварианты из моментов более высокого порядка определяютсяследующим образом:∆n =1(m 0 (σ 0 ))n+1m 0 (σ 0 )m1 (σ 0 )m1 (σ 0 )m 2 (σ 0 )L m n (σ 0 )L m n+1 (σ 0 )Lm n (σ 0 ) m n+1 (σ 0 ) L m 2 n (σ 0 ).Величина ∆ n не зависит от выбора точки σ0, а величина γ = n+1 ∆ n при n ≥2 характеризует асимметрию в распределении масс относительно длиннойоси однородного двухмерного тела.Аналогично определяются инварианты и в случае магнитного поля.9.Перейдем к представлению гравитационных и магнитных полей,создаваемых трехмерными телами, в виде рядов, аналогичныхрассмотренным для двухмерного случая.Введем прямоугольную декартову систему координат и пусть в этойсистеме задана область D, в которой распределены массы с плотностьюδ (ξ ,η , ζ ) .Потенциал силы притяжения создаваемый этой областью в точке M0будет определяться следующим соотношением:V (M0 ) = G∫ δ (M )D1rMM 0dv ,где rMM 0 – расстояние между точкой интегрирования M(ξ,η,ζ) и точкойM0(x,y,z).Возьмем некоторую фиксированную точку σ 0 (ξ 0 ,η 0 , ζ 0 ) и из этойточки проведем сферу радиуса R0 таким образом, что область D будетнаходиться внутри этой сферы, а точка M0 будет находиться вне этойсферы.

Обозначим через R расстояние меду точками M и σ0, а через ρ –101расстояние от точки σ0 до точки M0.Угол между векторами R и ρ – θ.Тогда для расстояния rMM 0 согласнотеореме косинусов можно записать:2rMM= ρ 2 + R 2 − 2 ρR cosθ .0Исходя изосуществимсоотношения,следующие1преобразования для величины:rMM 01rMM 0=1ρ 2 + R 2 − 2 ρR cosθФункцию вида (1 ± x )в виде ряда:−1 / 2=1этого1ρ1+R2ρ2−2Rρ.cosθпри x ≤ 1 и (1 + x ) ≠ 0 можно представить(1 ± x )−1 / 2 = 1 m 1 x + 1 ⋅ 3 x 2 m 1 ⋅ 3 ⋅ 5 x 3 + L .22 42 4 6Поскольку величина ρ больше R (ρ >R), то отношениеВ этом случае выражение для величиныряда по отношениям1rMM 0КоэффициентыRρ1rMM 0Rρменьше 1 (Rρ<1).можно представить в виде:2⎤1⎡ R1⎛ R⎞= ⎢1 + cosθ + ⎜⎜ ⎟⎟ (3 cos 2 θ − 1) + L⎥ .ρ ⎢⎣ ρ2⎝ ρ ⎠⎥⎦приразличныхстепеняхRρпредставляютсобойсферические функции первого рода с аргументом θ, которые определяютсяполиномами Лежандра.