А.А. Булычев, И.В. Лыгин, В.Р. Мелихов - Численные методы решения прямых задач грави- и магниторазведки, страница 11

Блох Ю.И. Решение прямых задач гравиразведки и магниторазведки.:Учеб. пособие. – М: МГГА. 1993. 79 с. (www.sigma3d.com).2. Блох Ю.И. Интерпретация гравитационных и магнитных аномалий.:Учеб. пособие. 2009. 232 с. (www.sigma3d.com).3. Кравцов Г.Г. Поле притяжения многогранников переменнойплотности // Записки ЛГУ. 1978. т. 76. с. 8-17.4. Кравцов Г.Г.

Аналогии в аналитическом описании поля притяженияпрямолинейного материального отрезка, многоугольной материальнойпластинки и объемных масс многогранника // Записки ЛГУ. 1987. т.113. с. 97-107.5. Страхов В.Н., Лапина М.И. Прямые задачи гравиметрии имагнитометрии для произвольных однородных многогранников. //Изв. АН СССР. Физика Земли. 1982. № 4. с. 45-67.6. Страхов В.Н., Лапина М.И.

Прямая и обратная задача гравиметрии имагнитометрии для произвольных однородных многогранников. //Теория и практика интерпретации гравитационных и магнитных полейв СССР. Мат-лы III всесоюзной школы-семинара. Киев. Науковадумка. 1983. С. 3 – 87.7. Talwany M., Ewing M. Rapid computation of gravitational attraction ofthree dimensional bodies of arbitrary shape. // Geophys. 1960. V.25. N1. P.203 – 225.70Лекция 6.

Применение теории функции комплексной переменной прирешении прямых двумерных задач гравиразведки и магниторазведки.Прежде всего отметим, что значительные успехи в развитииматематической теории интерпретации как гравитационных, так имагнитных аномалий был достигнут благодаря применению теориифункции комплексной переменной (ТФКП). Большой вклад в изучениетаких вопросов как трансформации полей, решение прямых задач, анализединственности и эквивалентности решений внесли В.Н.Страхов, В.И.Цирульский, М.С.Жданов и ряд других исследователей.1.Введем систему координат сосью oX, направленной вправо, и осьюoY − вверх, так, как это принято втеориифункциикомплекснойпеременной. В то же время в практикегравиразведкиимагниторазведкипринятоось,определяющуюположениеглубиныисточникаобозначать как ось oZ.

С тем, чтобысохранить принятые обозначения, переобозначим ось oY как ось oZ, исохраним ее направление вверх. Этим эта система будет отличаться от той,которая обычно используется в геофизике (ось oX − вправо, ось oZ − вниз).В этой системе координат точку М0, в которой будем определятьзначения поля, с координатами (x,z) обозначим комплексным числом s =x+iz, i − мнимая единица. Соответственно точку с координатами (ξ,ζ) вкоторой будет располагаться источник поля (точка интегрирования),обозначим через σ = ξ+iζ.2.Так как в области свободной от источников гравитационные имагнитные поля удовлетворяют уравнению Лапласа, то для нихсправедливы следующие соотношения:∂g z ⎫∂g x ∂ g z⎫ ∂g xr=−0+=⎪⎪div g = 0⎫∂z ⎪⎪ ;∂x∂z⇒ ∂xr⎬⎬ ⇒ ∂g∂g z ∂g x ⎬∂g xrot g = 0⎭z⎪== 0⎪−⎪⎭∂x ∂z ⎪⎭∂z∂x∂H x ∂H z∂Z ⎫⎫ ∂Xr0=−+=⎪div H = 0⎫⎪∂z ⎪ .∂x∂zr⇒ ∂x⎬⎬ ⇒ ∂H∂Z ∂ X ⎬∂H xrotH = 0 ⎭z⎪⎪==0−⎪⎭∂ x ∂z ⎭∂z∂x71rrrЗдесь под вектором g = g x 1x + g z 1z понимается вектор напряженностигравитационногоgx и gz (сила притяжения), а подr поля rс компонентамиrrrвекторомH = H x 1x + H z 1z = X 1x + Z1z − вектор напряженностимагнитного поля.Полученные соотношения являются условиями Коши−Римана дляследующих комплексных функций:G ( s ) = g z ( x , z ) + ig x ( x , z );H ( s ) = Z ( x , z ) + iX ( x , z ) .Так как эти функции удовлетворяют условиям Коши−Римана, то ониявляются аналитическими, и соответственно носят названия комплекснойнапряженности гравитационного поля и комплексной напряженностимагнитного поля.Здесь надо сделать следующее замечание.

Функции следующеговидаG( s ) = − g x + ig z ,H( s ) = − X + iZтак же удовлетворяют условиям Коши−Римана, и, следовательно, с ихпомощью могут быть определены комплексные напряженностигравитационного и магнитного полей. Возможны и другие представлениякомплексных напряженностей. Однако в дальнейшем мы будемиспользовать первое определение, которое применяется в работах В.Н.Страхова.4.Введем понятие комплексного гравитационного и магнитногопотенциалов следующими соотношениями:П g ( s ) = Ф g ( x , z ) + iV g ( x , z ),П m ( s ) = Фm ( x , z ) + iU m ( x , z ) ,где Vg − скалярный гравитационный, а Um − скалярный магнитныйпотенциалы, Фg и Фm − сопряженные к ним гармонические функции.Напомним, что компоненты гравитационного и магнитного полейопределяются соотношениями:gx =∂V g∂x,gz =∂V g∂z,X =−∂U m,∂xZ=−∂U m.∂zНапряженности гравитационного и магнитногоопределяться через свои потенциалы следующим образом:72полейбудутG( s) =dП g ( s )ds,H ( s) = −dП m ( s ).dsДля того, чтобы показать, что это действительно так, нужновспомнить, как выражается дифференцирование по комплекснойпеременной s через действительные переменные x и z:d 1⎛ ∂∂ ⎞= ⎜− i ⎟.ds 2 ⎝ ∂x∂z ⎠ТогдаG( s) =dП g ( s )ds∂П g1 ⎛ ∂П g= ⎜⎜−i∂z2 ⎝ ∂x⎞⎟⎟ =⎠∂V g∂Ф g ∂V g ⎞1 ⎛ ∂Ф g⎜⎜⎟=+i−i+∂x∂z∂z ⎟⎠2 ⎝ ∂x∂V g1 ⎛ ∂V g= ⎜⎜ 2+ 2i∂x2 ⎝ ∂zH ( s) = −⎞⎟⎟ = g z + ig x ;⎠dП m ( s )∂П m ⎞∂U m∂Фm ∂U m ⎞1 ⎛ ∂П m1 ⎛ ∂Фm=− ⎜−i+i−i+⎟=− ⎜⎟=ds∂z ⎠∂x∂z∂z ⎠2 ⎝ ∂x2 ⎝ ∂x∂U m ⎞1 ⎛ ∂U= − ⎜ 2 m + 2i⎟ = Z + iX .∂x ⎠2 ⎝ ∂zОтметим, что в общем случае комплексная функция может бытьфункцией как от переменной s, так и от переменной s , где s −комплексно−сопряженная переменная к s ( s = x − iz ).

Производная попеременной s через действительные переменные выражается следующимобразом∂ ⎞∂ 1⎛ ∂+ i ⎟⎟ .= ⎜⎜∂z⎠∂ s 2⎝ ∂ xРасписав это выражение для комплексной функции, можно увидеть, что вслучае, если функция является аналитической, и для нее удовлетворяютсяусловия Коши−Римана, то эта производная будет равна нулю.4.Получимвыражениедлякомплекснойнапряженностигравитационного поля от бесконечной материальной линии, имеющейкоординаты (ξ,ζ) и линейную плотность δл. Для этого вспомним73выражения для горизонтальной и вертикальной составляющихгравитационного поля, создаваемых такой линией:ξ−xζ −z,g x ( x , z ) = 2Gδ л; g z ( x , z ) = 2Gδ л22(ξ − x ) + (ζ − z )(ξ − x ) 2 + (ζ − z ) 2где G – гравитационная постоянная.

Тогда длянапряженности гравитационного поля можно записать:комплексной⎡⎤ζ −zξ−xG ( s ) = 2Gδ л ⎢=+i2222⎥(ξx)(ζz)(ξx)(ζz)−+−−+−⎣⎦= 2Gδ л= 2Gδ лζ + iξ − z − ix=(ξ − x ) 2 + (ζ − z ) 2σ −s1i (ξ − iζ ) − i ( x − iz ).=iGiGδ=δ22лл(σ − s )(σ − s )σ −s(ξ − x ) 2 + (ζ − z ) 2Здесь надчеркивание символов означает их комплексное сопряжение.Стоит обратить внимание, на сколько простое и элегантноевыражение приобрела запись напряженности гравитационного поля отлинии по сравнению с покомпонентной записью. Но справедливости радиотметим, что использование векторной алгебры также позволило бывыразить напряженность поля достаточно компактной записью −rrMM 0rg ( M 0 ) = 2Gδ л 2 .rMM 05.Получим теперь выражения длякомплекснойнапряженностимагнитногополя,создаваемогобесконечной дипольной линией.

Дляэтого в точку σ+ поместим линию сположительными зарядами mл, а вточку σ− − с отрицательными зарядами−mл. Расстояние между этими точкамиобозначим через ∆l, а точку насередине этого расстояния − σ. Тогда, используя только что полученноевыражение для комплексной напряженности поля, создаваемой линиейнагруженной зарядами, и применяя экспоненциальную записькомплексного числа, запишем:74H ( s) = −14π⎛11 ⎞⎜⎜ 2im л⎟=− 2im лσ+ − sσ − − s ⎟⎠⎝⎛⎞⎜⎟111⎟=2im л ⎜=−−4π⎜ σ + ∆ l e iθ − s σ − ∆ l e iθ − s ⎟⎜⎟⎝⎠22− 2im л ∆le iθ1=−.∆ l iθ∆ l iθ4π ⎛⎞⎛⎞⎜ σ + e − s ⎟⎜ σ − e − s ⎟22⎝⎠⎝⎠Знак “−” перед выражением появляется из-за того, что в отличие отгравитационного поля, “положительные магнитные заряды” являютсяисточниками поля, а отрицательные – областями стока.Теперь устремим ∆l к нулю.

Тогда lim m л ⋅ ∆l = M , причем это∆l → 0iθчисло конечное. Тогда M = M e = M x + iM z − комплексный моментдипольной линии. В результате для комплексной напряженностимагнитного поля можно записать1 2iMH ( s) =,4π (σ − s ) 2или в системе CGSM −2iMH ( s) =.(σ − s ) 2В дальнейшем в этой лекции мы будем пользоваться системой CGSM и,соответственно, использовать последнюю запись при дальнейшихвыводах.Стоит еще раз обратить внимание на то, что собой представляетвеличина M.r Эта величина образована из компонент вектора магнитногомомента M . Так, если направление компоненты Mx совпадает снаправлением оси oX, то ее значение будет положительным. Есликомпонента Mz направлена вниз, то ее значение будет отрицательным,поскольку в нашей системе координат ось oZ имеет направление вверх, икомпонента Mz будет иметь противоположенное этой оси направление. Этоже замечание касается и значений функций G(s) и H(s).

Поскольку ось oZнаправлена вверх, то вертикальная составляющая полей, направленнаявниз, в этой системе координат будет иметь отрицательное значение. Т.е.для того, чтобы получить значения вертикальной составляющей полей впривычной системе координат (ось oX – вправо, ось oZ – вниз) необходимо75значения действительной части функции G(s) или H(s) поменять напротивоположенное (умножить на –1).6.Комплексные потенциалы гравитационного и магнитного полейбудет иметь вид:2iMП g ( s ) = −2iGδ л ln(σ − s ); П m ( s ) =,σ −sчто можно проверить простым дифференцированием, апроизводные будут определяться следующими выражениями:G ( n ) ( s ) = 2iGδ лn!;(σ − s ) n+1H ( n ) ( s ) = 2iMвысшие( n + 1)!.(σ − s ) n+ 27.Решение прямой задачи от некоторойобласти D с заданнойrплотностью δ или намагниченностью I сводится к вычислениюследующих площадных интегралов:δ (ξ ,ζ )dS ;σ−sDI (ξ ,ζ )dS ,2(σ−)sDG ( s ) = 2iG ∫H ( s ) = 2i ∫где I = Ix + iIz − комплексная намагниченность области D.8.Теорема Пуассона о связи гравитационного и магнитного полей вкомплексной форме будет формулироваться следующим образом.Пусть в некоторой области D намагниченность и плотность связанысоотношением J(ξ,ζ) = k⋅δ(ξ,ζ), где k=kx+ikz.