Лекция (2) (Лекции), страница 6

Ïîêà ïðåäñòàâëåíèå î ÷èñòîì ñîñòîÿíèè íè÷åì íå îòëè÷àåòñÿîò ñîîòâåòñòâóþùèõ êëàññè÷åñêèõ îïðåäåëåíèé. êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ÷èñòîå ñîñòîÿíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû ýòî ñîñòîÿíèå â êîòîðîì òî÷íî èçâåñòíû åå èìïóëüñ p è êîîðäèíàòà q . Âñå îñòàëüíûåõàðàêòåðèñòèêè ñâîäÿòñÿ ê òîé èëè èíîé ôóíêöèè f (p, q). Îäíàêî, åñëè â ÷èñòîì ñîñòîÿíèèêëàññè÷åñêîé ñèñòåìû òî÷íî èçâåñòíû âñå õàðàêòåðèñòèêè ÷àñòèöû, òî â êâàíòîâîì ÷èñòîìñîñòîÿíèè â ñèëó îòêðûòûõ Ãàéçåíáåðãîì ñîîòíîøåíèé íåîïðåäåëåííîñòåé òî÷íûå çíà÷åíèÿìîãóò èìåòü ëèøü òå âåëè÷èíû, îïåðàòîðû êîòîðûõ êîììóòèðóþò.Ìîæíî ïðèâåñòè åùå îäèí ïðèìåð.

Ñîñòîÿíèÿ îäíîìåðíîãî ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðàâ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå ìîæíî îïèñàòü â òåðìèíàõ ïàðû ïåðåìåííûõ äåéñòâèåóãîë.Ïðè ïåðåõîäå â êâàíòîâóþ ôèçèêó ýòà ïàðà êàíîíè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ ïðîñòî èñ÷åçàåò. Âìàòåìàòè÷åñêîì àïïàðàòå êâàíòîâîé ìåõàíèêè ïðîñòî íåò îïåðàòîðà ôàçû. ×òîáû çàäàòü÷èñòîå ñîñòîÿíèå îñöèëëÿòîðà äîñòàòî÷íî çàäàòü åãî ýíåðãèþ.Èìåííî ýòî îáñòîÿòåëüñòâî îïðåäåëÿåò ðàçëè÷èÿ â ïîâåäåíèè êâàíòîâîé è êëàññè÷åñêîé÷àñòèö.ÊÂÀÍÒÎÂÀÍÈÅ ÏÐÎÑÒÅÉØÈÕ ÑÈÑÒÅÌ1.

Ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð.Ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû èìååò âèäH1 2p2m=1mω 2 q 2 ,2+ãäå ñàìîñîïðÿæåííûå îïåðàòîðû p è q óäîâëåòâîðÿþò ïåðåñòàíîâî÷íîìó ñîîòíîøåíèþ[q, p]=ih̄E.Îïðåäåëèâ ïîñòîÿííûå√p0rh̄mω,=q0=h̄,mωp0 q 0=h̄,ïåðåéäåì ê îïåðàòîðàìa1 qp√ ( + i ),p02 q0=êîììóòàòîð êîòîðûõ ðàâåíÏîñêîëüêóq=a+[a, a+ ]=E.p=q√0 (a + a+ ),21 qp√ ( − i ),p02 q0=p√0 (a − a+ ),i 2òî ãàìèëüòîíèàí â íîâûõ ïåðåìåííûõ ïðèâîäèòñÿ ê ôîðìåH=1h̄ω(N + E),2ãäå ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð N ðàâåíN=a+ a.Ïðåæäå âñåãî çàìåòèì, ÷òî N íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííûé îïåðàòîð:hΨ|N |Ψi=hΨ|a+ a|Ψi27=haΨ|aΨi≥0.Êðîìå òîãî, ñïðàâåäëèâû ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ[N, a][N, a+ ]−a,==a+ .×òîáû íàéòè ñïåêòð îïåðàòîðà N , ðåøèì óðàâíåíèeN Ψν=Ψν ν.Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî âåêòîðû åñëè âåêòîð Ψ ñîáñòâåííûé âåêòîð îïåðàòîðà N , ïðèíàäëåæàùèéñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ ν , òî a+ Ψν , aΨν ñîáñòâåííûå âåêòîðû N , ïðèíàäëåæàùèå ñîáñòâåííûìçíà÷åíèÿì ν ± 1:N Ψν = Ψν ν=⇒N aΨν=aΨν (ν − 1),N a+ Ψν=a+ Ψν (ν + 1).×òîáû ïðåäîòâðàòèòü ïîÿâëåíèå îòðèöàòåëüíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé íåîòðèöàòåëüíîîïðåäåëåííîãî îïåðàòîðà N , ñëåäóåò ïðåäïîëîæèòü, ÷òî â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâåñîäåðæèòñÿ áàçèñ, ñîñòîÿùèé èç âåêòîðîâ|Ψn i1(a+ )n |Ψ0 i √ ,n!=ãäå íîðìèðîâàííûé íà åäèíèöó âåêòîð |Ψ0 i óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþaΨ0=hΨ0 |Ψ0 i0,=1.Ýòè âåêòîðû óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿìN Ψn=Ψn n,ïîýòîìó1Ψn (n + ).2Ãàìèëüòîíèàí îäíîìåðíîãî ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà îïåðàòîð ñ ÷èñòî äèñêðåòíûìíåâûðîæäåííûì ñïåêòðîì.×òîáû ñ ÷èñòîé ñîâåñòüþ óòâåðæäàòü, ÷òî ãàìèëüòîíèàí íàøåé ñèñòåìû îïåðàòîð ñ÷èñòî äèñêðåòíûì ñïåêòðîì íóæíî äîêàçàòü, ÷òî ñèñòåìà ïîïàðíî îðòîãîíàëüûõ âåêòîðîâHΨn|Ψn i==1(a+ )n |Ψ0 i √ ,n!ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé áàçèñ, ò.å.

îáëàäàåò ñâîéñòâîì ïîëíîòû. ×òîáû âîñïîëüçîâàòüñÿ óæåèçâåñòíûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè ôîðìóëàìè, óäîáíî ïåðåéòè ê èíîé ðåàëèçàöèè îïåðàòîðîâèìïóëüñà è êîîðäèíàòû.2. Êîîðäèíàòíîå ïðîñòðàíñòâî. Âûáåðåì íåêîòîðûé êëàññ ôóíêöèé {Ψ(x)} è îïðåäåëèìîïåðàòîðûdΨ(x)(qΨ)(x) = xΨ(x),(pΨ)(x) = −ih̄.dxÏîñêîëüêódΨ(x)dΨ(x)(qpΨ)(x) = (q(−ih̄)) = −ih̄x,dxdxd(xΨ(x))dΨ(pqΨ)(x) = −ih̄= −ih̄Ψ(x) − ih̄x,dxdxòî ñïðàâåäëèâî ðàâåñòâî[q, p]Ψ(x) = ih̄Ψ(x).Èíà÷å ãîâîðÿ, îïåðàòîðû p è q óäîâëåòâîðÿþò ïåðåñòàíîâî÷íîìó ñîîòíîøåíèþ, õàðàêòåðíîìóäëÿ îïåðàòîðîâ èìïóëüñà è êîîðäèíàòû.

×òîáû ñäåëàòü p è q ýðìèòîâûìè, íåîáõîäèìî28äîëæíûì îáðàçîì îïðåäåëèòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ôóíêöèé. Ïóñòü ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèåôóíêöèé Ψ1 è Ψ2 áóäåò ðàâíîZ ∞hΨ1 |Ψ2 i =Ψ∗1 (x)Ψ2 (x)dx.−∞Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî îíî óäîâëåòâîðÿåò òðåáîâàíèÿì, ïðåäúÿâëÿåìûì ê ñêàëÿðíîìóïðîèçâåäåíèþ.Èíòåãðàë, îïðåäåëÿþùèé ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, êîíå÷åí, åñëè âõîäÿùèå â íåãî ôóíêöèèêâàäðàòè÷íî èíòåãðèðóåìû, ò.å.

åñëèZ ∞|Ψ1,2 |2 dx < ∞.−∞Ó íàñ ïðàêòè÷åñêè ñàìî ñîáîé âîçíèêëî íîâîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâîêâàäðàòè÷íî èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèéZ ∞L2 = {Ψ(x), −∞ < x < ∞,|Ψ(x)|2 dx < ∞}−∞ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì∞ZhΨ1 |Ψ2 iΨ∗1 (x)Ψ2 (x)dx.=−∞Íåòðóäíî ïîêàçàòü, îïåðàòîðû q è p ýðìèòîâû. Äåéñòâèòåëüíî, ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèåZ ∞Z ∞hΨ1 |qΨ2 i =Ψ∗1 (x)(qΨ2 )(x)dx =Ψ∗1 (x)xΨ2 (x)dx−∞−∞ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìåhΨ1 |qΨ2 ihΨ3 |Ψ2 i,=ãäåΨ3 (x)=xΨ1 (x)=(qΨ1 )(x).Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îïåðàòîð q ñàìîñîïðÿæåí:q+=q.Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ ñàìîñîïðÿæåííîñòü îïåðàòîðà èìïóëüñà:hΨ1 |pΨ2 iãäåΨ4 (x)ò.å.=−ih̄=hΨ4 |Ψ2 i,dΨ1 (x)dx=p+=(pΨ1 )(x),p.Îñòàëîñü òîëüêî ïîêàçàòü, ÷òî â ýòîì ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâóåò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ.Ïðîùå âñåãî ýòî ñäåëàòü, ïîñòðîèâ åãî ÿâíî.

Äëÿ ýòîãî ðåàëèçóåì â L2 îïåðàòîðû a è a+ .Îïðåäåëèâ áåçðàçìåðíóþ ïåðåìåííóþξíàéäåì, ÷òîa==1 qp√ ( +i )qp2 0029x,q0=1√ (ξ2+d),dξ1 qp√ ( −i ) =p02 q0Íîðìèðîâàííîå íà åäèíèöó ðåøåíèå óðàâíåíèÿa+aΨ0 (ξ)1√ (ξΨ0 (ξ)2=èìååò âèäΨ0 (ξ)1√ (ξ2==π− 41dΦ0 (ξ))dξ+ξ2exp(− ),2Zd).dξ−=0∞|Ψ0 (ξ)|2 dx=1.−∞Îïðåäåëèì ôóíêöèè Ψn ðåêóððåíòíîé ôîðìóëîéΨn (ξ)=1(a+ Ψn−1 )(ξ) √ .nÇàìå÷àÿ, ÷òî äåéñòâèå îïåðàòîðà a+(a+ Ψ)(ξ)1√ (ξ2=−d)Ψξdξìîæíî ñâåñòè ê ôîðìóëå(a+ Ψ)(ξ)1 ξ2 d − ξ2−√ e 2(e 2 Ψ(ξ)),dξ2=ïîëó÷èì òàêîå ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèé Ψn :Ψn (ξ)(−1)n − 1 ξ2 dn −ξ2√π 4e 2 ne .dξ2n n!=Âñïîìèíàÿ îïðåäåëåíèå ïîëèíîìîâ ÝðìèòàHn (ξ)2dn −ξ2e ,dξ n=(−1)n eξ=π − 4 − ξ2√e 2 Hn (ξ).2n n!ïðåäñòàâèì Ψn â ôîðìå1Ψn (ξ)Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî ôóíêöèè Ψn (ξ) îáðàçóþò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â ëèíåéíîìïðîñòðàíñòâå êâàäðàòè÷íî èíòåãðèðóåìûõ ôóíêöèé.

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâîL2 ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî.Ïåðåõîäÿ ê ðàçìåðíîé ïåðåìåííîé x è íîðìèðóÿ ôóíêöèè Ψn (x) íà åäèíèöó:Z ∞|Ψx |2 dx = 1,−∞íóæíî ó÷åñòü, ÷òî ôóíêöèè Ψn (x) ïðèîáðåòàþò ðàçìåðíîñòü: r mω mω 14 12x− mω√.Ψn (x) =e 2h̄ Hn xπh̄h̄2n n!3. Ãàðìîíè÷åñêèé îñöèëëÿòîð c òðåìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû ýòî ñèñòåìà ñ ãàìèëüòîíèàíîìH=1 2p~2m=1Xmωα 2 xα 2 .2 αÏåðåìåííûå ñèñòåìû îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìèp α + = pα ,xα + = xα ,30[xα , xβ ] = 0,[pα , pβ ] = 0,[xα , pα ] = ih̄δαβ .Ïîñëå îïðåäåëåíèé ÷èñåëp0αp=rh̄mωα ,q0αh̄,mωαp0α q0α=h̄è îïåðàòîðîâaαp1 q√ ( α +i),p0α2 q0α=aα +p1 q√ ( α −i),p0α2 q0α=óäîâëåòâîðÿþùèõ ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì[aα , aβ + ]=δαβ ,ãàìèëüòîíèàí ïðèíèìàåò âèäHX=α1h̄ωα (Nα + E),2ãäåNα=aα + aα .Ïîñêîëüêó ñïðàâåäëèâû ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ[Nα , aβ ][Nα , aβ + ]−δαβ aα ,==δαβ aα + ,òî ñîáñòâåííûå âåêòîðû H, ïðèíàäëåæàùèå ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿìE(n1 , n2 , n3 )3X1h̄ωα (nα + ),2α=1=èìåþò âèäΨ(n1 , n2 , n3 )(a1 + )n1 (a2 + )n2 (a3 + )n3 Ψ0 √=1,n1 !n2 !n3 !ãäå âåêòîð Ψ0 óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿìaα Ψ0=hΨ0 |Ψ0 i.0,Ýòè âåêòîðû ïîïàðíî îðòîãîíàëüíû:000hΨ(n 1 , n 2 , n 3 )|Ψ(n1 , n2 , n3 )i=δ n 0 n 1 δ n 0 n 2 δ n 0 n3 .123Óðîâíè ýíåðãèè îñöèëëÿòîðà íå âûðîæäåíû, åñëè ÷àñòîòû ω1 , ω2 , ω3 íåñîèçìåðèìû, ò.å.000åñëè íå íàéäåòñÿ äâóõ ðàçëè÷íûõ òðîåê ÷èñåë n1 , n2 , n3 è n 1 , n 2 , n 3 , äëÿ êîòîðûõ áûëîáû ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîω 1 n1 + ω 2 n2 + ω 3 n3=000ω1 n 1 + ω2 n 2 + ω3 n 3 .Ðàññìîòðèì ïðîòèâîïîëîæíûé ñëó÷àé èçîòðîïíîãî îñöèëëÿòîðà, êîãäà âñå ÷àñòîòû ðàâíûäðóã äðóãó:ω1 = ω2 = ω3 = ω. ýòîì ñëó÷àå ãàìèëüòîíèàí ïðèíèìàåò âèäH=1 2p~2m+1mω 2~r2 .2Âåêòîðû Ψ(n1 , n2 , n3 ) ïîïðåæíåìó ñîáñòâåííûå âåêòîðû ãàìèëüòîíèàíà, ïðèíàäëåæàùèåñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþE(n)=3h̄ω(n + ),231n = n1 + n2 + n3 .Óðîâíè ýíåðãèè âûðîæäåíû, ïðè÷åì êðàòíîñòü âûðîæäåíèÿ n-ãî óðîâíÿ ðàâíà ÷èñëóñïîñîáîâ ïðåäñòàâëåíèÿ öåëîãî ÷èñëà n â âèäå ñóììû òðåõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåëd(n)(n + 1)(n + 2).2=Âûðîæäåíèå óðîâíåé, î÷åâèäíî, ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ãàìèëüòîíèàí èçîòðîïíîãî îñöèëëÿòîðàáîëåå ñèììåòðè÷åí, ÷åì ãàìèëüòîíèàí îñöèëëÿòîðà ñ íåñîèçìåðèìûìè ÷àñòîòàìè.

 ñëó÷àåèçîòðîïíîãî îñöèëëÿòîðà ãàìèëüòîíèàí íå èçìåíÿåò ñâîåé ôîðìû ïðè çàìåíå ïåðåìåííûõaα0=Aαβ a β ,ñ óíèòàðíîé ìàòðèöåé Â:aα +==δβγ .A+ βα Aαγ+0aβA+ βα0Äåéñòâèòåëüíî, ïðÿìàÿ ïîäñòàíîâêà îïåðàòîðîâ a â òåðìèíàõ a ïðèâîäèò ê âûðàæåíèþHX=0h̄ω(NααãäåN0+0=αaα1+ E),20a α.Øòðèõîâàííûå îïåðàòîðû óäîâëåòâîðÿþò òåì æå ïåðåñòàíîâî÷íûì ñîîòíîøåíèÿì, ÷òî èïåðâîíà÷àëüíûå:00 +[a α , a β ] = δαβ .Ñîâîêóïíîñòü ïðåîáðàçîâàíèé, îñóùåñòâëÿåìûõ óíèòàðíûìè ìàòðèöàìè òðåòüåãî ïîðÿäêà,îáðàçóþò ãðóïïó SU (3).4. Èçîòðîïíûé ðîòàòîð ýòî ñèñòåìà, äèíàìè÷åñêèå ïåðåìåííûå êîòîðîé ñîñòàâëÿþùèåìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿJα +=Jα ,[Jα , Jβ ]=iαβγ Jγ .Ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîéH1 ~2J ,2I=ãäå îïåðàòîð êâàäðàòà ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ðàâåíJ~2=3XJα 2 .α=1Âñå îïåðàòîðû Jα êîììóòèðóþò ñ J~2 .