Лекция (2) (Лекции), страница 5

Ïîñêîëüêó êàæäûéâåêòîð ψ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìåXψ =en cn ,nòîF (ψ)=XF (en )cn .nÂåêòîðû F (en ) â ñâîþ î÷åðåäü ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàêXF (en ) =em dmn ,mãäådmn=hem |F (en )i.Óäîáíî èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿhem |F (en )i=hem |F |en i=hF + (em )|en i,èF (ψ)F |ψi.=Ïîñëå ýòîãî äåéñòâèå îïåðàòîðà F áóäåò âûãëÿäåòü òàê:XF |ψi =em hem |F |en ihen |ψi.mnÌàòðèöó hem |F |en i ìîæíî ñ÷èòàòü ïðåäñòàâèòåëåì îïåðàòîðà F , åãî êîîðäèíàòíîé ðåàëèçàöèåéâ áàçèñå en . Ïðè ýòîì ñóììå èëè ïðîèçâåäåíèþ îïåðàòîðîâ áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ñóììàèëè ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö îïåðàòîðîâ, ñîïðÿæåííîìó îïåðàòîðó ýðìèòîâî ñîïðÿæåííàÿìàòðèöà. Ôóíêöèÿì îïåðàòîðîâ ñîîòâåòñòâóþùèå ôóíêöèè ìàòðèö.Îñòàåòñÿ îïðåäåëèòü ñëåä îïåðàòîðà: ñëåä îïåðàòîðà ýòî ÷èñëîXT r(F ) =hen |F |en i.nÕîòÿ â îïðåäåëåíèè ñëåäà ôèãóðèðóåò íåêîòîðûé ÷àñòíûé áàçèñ, çíà÷åíèå ñëåäà îò âûáîðàáàçèñà íå çàâèñèò.

Ïóñòü hn åùå îäèí áàçèñ, òàê ÷òîXen =hs hhs |en i.sÏîäñòàâëÿÿ ýòî ðàçëîæåíèå â ôîðìóëó âû÷èñëåíèÿ ñëåäà, ïîëó÷èìXXXT r(F ) =hhs hhs |en i|F |ht hht |en ii.nstÂûíîñÿ ÷èñëà èç-ïîä çíàêà ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ è ìåíÿÿ ïîðÿäîê ñóììèðîâàíèÿ,ïîëó÷èìXXT r(F ) =hhs |F |ht ihht |en ihen |hs i.stnÂû÷èñëåíèå âíóòðåííåé ñóììû ïðèâîäèò ê δst , ïîñëå ÷åãî çíà÷åíèå ñëåäà îêàçûâàåòñÿðàâíûìXT r(F ) =hhs |F |hs i.s22ÑÏÅÊÒÐÀËÜÍÎÅ ÏÐÅÄÑÒÀÂËÅÍÈÅ ÑÀÌÎÑÎÏÐßÆÅÍÍÎÃÎ ÎÏÅÐÀÒÎÐÀÏðè èçó÷åíèè ñòðóêòóðû ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ ïîëåçíî çíàòü èõ ñîáñòâåííûå âåêòîðû.Íå ðàâíûé íóëþ âåêòîð ψ ∈ H íçûâàþò ñîáñòâåííûì âåêòîðîì ëèíåéíîãî îïåðàòîðàF , ïðèíàäëåæàùèì ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ f , åñëè âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâîF |ψi|ψif.=Äëÿ äàëüíåéøåãî âàæíî, ÷òî ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ñàìîcîïðÿæåííîãî îïåðàòîðàäåéñòâèòåëüíû: åñëè ψ ñîáñòâåííûé âåêòîð ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà F , òîhψ|F ψi=hψ|F |ψi=hF ψ|ψihψ|ψif==f ∗ hψ|ψi.Êðîìå òîãî, ñîáñòâåííûå âåêòîðû ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà, ïðèíàäëåæàùèå ðàçëè÷íûìñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, îðòîãîíàëüíû:hψ1 |F |ψ2 i=f1 hψ1 |ψ2 ihψ1 |ψ2 if2 .=È íàêîíåö: ñîáñòâåííûå âåêòîðû, ïðèíàäëåæàùèå îäíîìó ñîáñòâåííîìó çíà÷åíèþ,ìîæíî îðòîãîíàëèçîâàòü.

Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âñå ñîáñòâåííûå âåêòîðûñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà ïîïàðíî îðòîãîíàëüíû.Èçâåñòíî, ÷èñëî ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà â êîíå÷íîìåðíîìãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ðàâíî ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà. ñëó÷àå ãèëüáåðòîâûõ ïðîñòðàíñòâ áåñêîíå÷íîé ðàçìåðíîñòè âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ.1. Ñàìîñîïðÿæåííûé îïåðàòîð íå èìååò íè îäíîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ.2. ×èñëî ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ψs ñàìîñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà F = F + òàêîâî, ÷òîíàéäåòñÿ íåíóëåâîé âåêòîð ψ , îðòîãîíàëüíûé êî âñåì âåêòîðàì ψs . Èíà÷å ãîâîðÿ, ñîáñòâåííûåâåêòîðû F íå îáðàçóþò áàçèñà â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå.3. Ñîáñòâåííûå âåêòîðû îïåðàòîðà ψs îáðàçóþò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ âãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå.

Òàêèå îïåðàòîðû íàçûâàþò îïåðàòîðû ñ ÷èñòî äèñêðåòíûìñïåêòðîì.  ýòîì ñëó÷àåXXF |ψi =F |ψs ihψs |ψi =|ψs igs hψs |ψi.ssÝòî îçíà÷àåò, F ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó îïåðàòîðîâXF =gs Qs .sÎïåðàòîðû Qs äåéñòâóþò ïî ôîðìóëåQs |ψi|ψs ihψs |ψi.=Èõ åñòåñòâåííî íàçâàòü îïåðàòîðàìè ïðîåêòèðîâàíèÿ íà âåêòîðû ψs . Îïåðàòîðûïðîåêòèðîâàíèÿ îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:XQs + = Qs ,Qk Ql = δkl Qk ,Qk = E.kÏîëåçíî ïåðåñòðîèòü ýòó ôîðìóëó òàê, ÷òîáû â ñóììó âõîäèëè òîëüêî íåðàâíûå äðóã äðóãó÷èñëà gs .Ïóñòü ÷èñëà fs íà ãðóïïûg1 = g2 = ... = gn1 = f1 ;gn1 +1 = gn1 +2 = ... = gn2 = f2 ; ...Cóììó, îïðåäåëÿþùóþ F , ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìåF=f1 (Q1 + Q2 + ...Qn1 ) + f2 (Qn1 +1 + ...Qn2 ) + ...23ÎïåðàòîðûPs=Qns−1 +1 + ...

+ Qns ,êàê è Qk óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿìPs +=Ps ,Ps Pt=δst Ps ,XPs=E.sÎïåðàòîðû Ps ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îïåðàòîðû ïðîåêòèðîâàíèÿ íà ïîïàðíî îðòîãîíàëüíûåïîäïðîñòðàíñòâà Ms , íàòÿíóòûå íà âåêòîðû {ψs rbrace, k = 1, 2, ..., ns − ns−1 .Îïåðàòîð F ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ñóììó îïåðàòîðîâ Ps :XF =fs Ps .sÑîâîêóïíîñòü ÷èñåë fs íàçûâàþò cïåêòðîì îïåðàòîðà F , ñîâîêóïíîñòü îïåðàòîðîâ Ps ñïåêòðàëüíûì ðàçëîæåíèåì åäèíèöû, ïðèíàäëåæàùèì îïåðàòîðó F , à ñàìî ïðåäñòàâëåíèåF â òåðìèíàõ îïåðàòîðîâ Ps ñïåêòðàëüíûì ðàçëîæåíèåì îïåðàòîðà F .Îòìåòèì ïîëåçíîå ïðèìåíåíèå ôîðìóëû ñïåêòðàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ. Ëþáóþôóíêöèþ îïåðàòîðà F ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåXG(F ) =G(fs )Ps .sÊðàòíîñòü âûðîæäåíèÿ çíà÷åíèé ñïåêòðà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîéN (fs )=T r(Ps ).ÈÇÌÅÐÅÍÈß ÑÎÎÁÙÀÞÒ ÈÍÔÎÐÌÀÖÈÞ Î ÑÎÑÒÎßÍÈÈ ÑÈÑÒÅÌÛÔèçèêà, áóäó÷è íàóêîé î ïðèðîäå, ðàçâèâàåòñÿ àíàëèçèðóÿ ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòîâ,ò.å.

íàáîðû íå ñîâñåì òî÷íûõ ÷èñåë.  íàóêå î íåòî÷íûõ ÷èñëàõ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ìåðîé ðàçìûòîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ íàáîðà ÷èñåë ñëóæèò äèñïåðñèÿ âåëè÷èíà ðàâíàÿD(F )=hF 2 i − (hF i)2Ïåðåíåñåì ñîîáðàæåíèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé â êâàíòîâóþ ìåõàíèêó. Åñëè íàáëþäàåìîéF ñîîòâåòñâóåò ñàìîñîïðÿæåííûé ëèíåéíûé îïåðàòîð F = F + , òî åå äèñïåðñèþ ìîæíîïðåäñòàâèòü â ôîðìåD(F ) = hT 2 i,ãäåT=F − hF iE.Ïîñêîëüêó ñðåäíåå çíà÷åíèå íàáëþäàåìîé hF i äåéñòâèòåëüíî, òî îïåðàòîð T ñàìîñîïðÿæåí:T+=T,à ñðåäíåå çíà÷åíèå T 2 íåîòðèöàòåëüíî.Çíàÿ âñå ýòî, åñòåñòâåííî äàòü òàêîå îïðåäåëåíèå:íàáëþäàåìàÿ èìååò òî÷íîå çíà÷åíèå â íåêîòîðîì ñîñòîÿíèè, åñëè åå äèñïåðñèÿ âýòîì ñîñòîÿíèè ðàâíà íóëþ.Ïîñêîëüêó ìàòðèöó ïëîòíîñòè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìåXρ =ps Qs ,s24òîDρX=ps T r(T 2 Qs ).sÄèñïåðñèÿ ðàâíà íóëþ â òîì è òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè∀sT r(T 2 Qs ) = 0.ps = 0Ìîæíî âûáðàòü òàêîé áàçèñ {em }, â êîòîðîì äåéñòâèå îïåðàòîðîâ Qs ìîæíî âûðàçèòüôîðìóëîé:XQs |ψi =|ei ihei |ψi,i∈∆sò.å.Qs |em i=em , m ∈ ∆s0, m 6∈ ∆sÏîýòîìóT r(T 2 Qs )X=hem |T 2 em im∈∆s=X||T em ||2 .m∈DeltasÒàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå:ps 6= 0,m ∈ ∆s =⇒T em = 0,èëèps 6= 0,m ∈ ∆s =⇒F em = em hF i.Òàêèì îáðàçîì,òî÷íûì çíà÷åíèåì íàáëþäàåìîé F ìîæåò áûòü òîëüêî îäíî èç ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèéîïåðàòîðà ýòîè âåëè÷èíû.Çàìåòèì, ÷òî âåêòîðû em ïîÿâèëèñü êàê ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû ïëîòíîñòè.

Âòîì ñîñòîÿíèè, êîãäà íàáëþäàåìàÿ F èìååò òî÷íîå çíà÷åíèå, íåêîòîðûå èç íèõ îêàçûâàþòñÿñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè îïåðàòîðà F . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èçìåðåíèå íàáëþäàåìûõ ñíàáæàåòýêñïåðèìåíòàòîðà èíôîðìàöèåé î ñòðóêòóðå ìàòðèöû ïëîòíîñòè.Î÷åâèäíî, ÷òîíàáëþäàåìûå ñ ÷èñòî íåïðåðûâíûì ñïåêòðîì íå ìîãóò èìåòü òî÷íîãî çíà÷åíèÿíè â îäíîì ñîñòîÿíèè.Ýòî óòâåðæäåíèå ïîëíîñòüþ ñîîòâòñâóåò îñíîâíûì ïîíÿòèÿì êëàññè÷åñêîé ôèçèêè, óòâåðæäàþùåé,÷òî ëþáóþ ôèçè÷åñêóþ âåëè÷èíó ìîæíî èçìåðèòü ëèøü íåêîòîðîé, ïóñòü ñêîëü óãîäíîìàëîé ïîãðåøíîñòüþ. Îòëè÷èå êâàíòîâîé ôèçèêè îò êëàññè÷åñêîé ñîñòîèò â òîì, ÷òî âêâàíòîâîé ôèçèêå ñóùåñòâóþò âåëè÷èíû ñ äèñêðåòíûì ñïåêòðîì, êîòîðûå ìîãóò èìåòüàáñîëþòíî òî÷íûå çíà÷åíèÿ. Èçìåðåíèÿ òàêèõ âåëè÷èí íàáëþäàåìûõ ñ ÷èñòî äèñêðåòíûìñïåêòîðì ñíàáæàþò íàñ ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîé èíôîðìàöèåé î ñîñòîÿíèè ñèñòåìû.×òîáû âûÿñíèòü òî÷íûé ñìûñë ýòîãî óòâåðæäåíèÿ, îñòàíîâèìñÿ íà ÷èñòî ìàòåìàòè÷åñêîéòåîðåìå:åñëè íàáëþäàåìàÿ F èìååò â ñîñòîÿíèè ρ òî÷íîå çíà÷åíèå, òî îïåðàòîðû F è ρêîììóòèðóþò.Äåéñòâèòåëüíî, ïðîèçâåäåíèå F ρ ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìåXFρ = F(|em ipm hem |).mÅñëè pm 6= 0, ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî F |em i = em ifm , ïîýòîìóXFρ =|em ifm pm hem |.mÏðîèçâåäåíèå ρF ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñóììîéXXρF =|em ipm hem |F =|em ipm (F |em i)+mm=Xm25|em ipm fm hem |.Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèåDρ (F ) = 0=⇒[F, ρ]=0.Íàêîíåö, ñîøëåìñÿ íà åùå îäíó òåîðåìó: åñëè îïåðàòîðû A è B c ÷èñòî äèñêðåòíûìñïåêòðîì êîììóòèðóþò, òî îïåðàòîðû A è B ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ôóíêöèè îïåðàòîðàC ñ ÷èñòî äèñêðåòíûì íåâûðîæäåííûì ñïåêòðîì.Âîçâðàùàÿñü ê âîïðñó î ðîëè èçìåðåíèé â îïðåäåëåíèè ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû, ìîæíîñêàçàòü ñëåäóþùåå:åñëè íàáëþäàåìàÿ ñ ÷èñòî äèñêðåòíûì íåâûðîæäåííûì ñïåêòðîì èìååò òî÷íîåçíà÷åíèå, òî ìàòðèöó ïëîòíîñòè ñèñòåìû ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê ôóíêöèþ îïåðàòîðàýòîé âåëè÷èíû. ýòîì ñëó÷àå ëèøü îäèí èç âåêòîðîâ {em } ìîæåò áûòü ñîáñòâåííûì âåêòîðîì îïåðàòîðàF:F |ei = |eif. ñïåêòðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè ìàòðèöû ïëîòíîñòè â ýòîì ñëó÷àå îñòàåòñÿ ëèøü îäíîñëàãàåìîå, ïîýòîìó ìàòðèöà ïëîòíîñòè îêàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì, ïðîåöèðóþùèì ïðîèçâîëüíûéâåêòîð ãèëüáåðòîâîãî ïðîñòðàíñòâà íà âåêòîð e.ρ|ψi|eihe|ψi.= ýòîì ñëó÷àå ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèåρ2=ρ.Òàêèì îáðàçîì èçìåðåíèå íàáëþäàåìîé ñ ÷èñòî äèñêðåòíûì íåâûðîæäåííûì ñïåêòðîìïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü íàèáîëüøóþ èíôîðìàöèþ î ôèçè÷åñêîé ñèñòåìå è îíà ñâîäèòñÿ êóòâåðæäåíèþ, ÷òî ìàòðèöà ïëîòíîñòè ñâîäèòñÿ ê ïðîåêöèîííîìó îïåðàòîðó.Ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå: åñëè ìàòðèöà ïëîòíîñòè ñîñòîÿíèÿ óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâóρ2=ρ,äëÿ êîýôôèöèåíòîâ ps â åå ñïåêòðàëüíîì ïðåäñòàâëåíèèXρ =ps Qssñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿps 2=ps ,..

ps = 01.Óñëîâèå T rρ = 1, ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ìàòðèöà ïëîòíîñòè äåéñòâóåò ïî ôîðìóëåρ|ψi|eihe|ψi.=Âûáðàâ |ei â êà÷åñòâå îäíîãî èç âåêòîðîâ îðòîãîíàëüíîãî áàçèñà {e; es , s = 2, 3, ...} èîïðåäåëèâ íàáëþäàåìóþX|es ifs hes |, fs 6= f,F = |eif he| +s≥2Íàéäåì, ÷òî F ïðèíèìàåò â ñîñòîÿíèè ρ òî÷íîå çíà÷åíèå f .

Òàêèì îáðàçîì ñîîòíîøåíèåρ2=ρíåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå òîãî, ÷òî â ñîñòîÿíèè ρ íåêîòîðûå íàáëþäàåìûå èìåþòòî÷íûå çíà÷åíèÿ. Ñîâîêóïíîñòü ýòèõ íàáëþäàåìûõ ìîæíî îïðåäåëòü êàê ìíîæåñòâî ôóíêöèéîïåðàòîðà ñ ÷èñòî äèñêðåòíûì íåâûðîæäåííûì ñïåêòðîì, êîòîðûé ñîîòâåñòâóåò òîé âåëè÷èíå,26êîòîðàÿ èìååò òî÷íîå çíà÷åíèå.