Лекция (10) (Лекции)
Описание файла
Файл "Лекция (10)" внутри архива находится в папке "Лекции". PDF-файл из архива "Лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "квантовая теория" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
17(5). 26.09.2001 DZ ®§¨ª î騥 ¥áâ¥áâ¢¥ë¬ ®¡à §®¬ ¯à¨ «¨§¥ æ¥âà «ì®-ᨨ¬¥âà¨ç®© ®¤®ç áâ¨ç®© § ¤ ç¨ áä¥à¨ç¥áª¨¥ £ ମ¨ª¨ Ylm ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì ª ª ᮡá⢥륢¥ªâ®àë ®¯¥à â®à ^l3^l3 Ylm = mYlm ;㤮¢«¥â¢®àïî騥 á®®â®è¥¨ï¬p^l Ylm =(l m)(l m + 1)Yl;m1 : ᫨ ^l ॠ«¨§ãîâáï ª ª ¤¨ää¥à¥æ¨ «ìë¥ ®¯¥à â®àë, â® Ylm áâ ®¢ïâáï äãªæ¨ï¬¨ áä¥à¨ç¥áª¨å 㣫®¢, ª®â®àë¥ ¬®¦® ⮫ª®¢ âì ª ª ®¯¥à â®àë 㬮¦¥¨ï, ¯à¨¢¥¤¥ë¥ ¢ëè¥ à ¢¥á⢠¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ª ª ¯¥à¥áâ ®¢®çë¥ á®®â®è¥¨ï[^l3 ; Ylm ] = mYlm ;p(l m)(l m + 1)Yl;m1 :[^l ; Ylm ] =⮬㠮¡à §æã á«¥¤ã¥â ®¯à¥¤¥«¥¨¥ ¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ⥧®à®¢.¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ⥧®à à £ j { í⮠ᮢ®ªã¯®áâì 2j + 1 ®¯¥à â®à®¢T^jm ;j m j;㤮¢«¥â¢®àïîé¨å ¯¥à¥áâ ®¢®çë¬ á®®â®è¥¨ï¬[^j3 ; T^jm ] = mT^jm ;p[^j ; T^jm ] =(j m)(j m + 1)T^j;m1 :§ í⮣® ®¯à¥¤¥«¥¨ï ¥¬¥¤«¥® ¯®«ãç îâáï ®¡é¨¥ ¢ëà ¦¥¨ï ¬ âà¨çëå í«¥¬¥â®¢ ¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ⥧®à®¢ ¢ ¡ §¨á¥ j; j; m >, á®áâ®ï饬 ¨§ ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢®¯¥à â®à®¢ J~2 ¨ J^3 ¨ ¤àã£¨å ®¯¥à â®à®¢ ^ , ¤®¯®«ïîé¨å ¯¥à¢ë¥ ¤® ¯®«®© á¨áâ¥¬ë ¡«î¤ ¥¬ëå.1)< 1 ; j1 ; m1 jT^jm j2 ; j2 ; m2 > =60; ¥á«¨ m1 6= m + m2 ;2)< 1 ; j1 ; m1 jT^jm j2 ; j2 ; m2 > = < 1 ; j1 jTj j2 ; j2 >< j2 m2 jmjj2jj1 m1 >;£¤¥ < j2m2 jmjj2jj1 m1 > { ª®íää¨æ¨¥âë «¥¡è -®à¤® { ᪠«ïàë¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï, ॠ«¨§ãî騥 à §«®¦¥¨¥ ᮡá⢥ëå ¢¥ªâ®à®¢ ®¯¥à â®à®¢ J1 2 , J2 2 , J 2 , J3 ¯®á®¡áâ¢¥ë¬ ¢¥ªâ®à ¬ ®¯¥à â®à®¢ J1 2 , J13 , J2 2 , J23 :Xjj1m1j2m2 >< j1m1j2m2jj1j2jm > :jj1j2jm > =m1 m21⨠ᮮâ®è¥¨ï ¯®«®áâìî ®¯à¥¤¥«ïîâ § ¢¨á¨¬®áâì ¬ âà¨çëå í«¥¬¥â®¢ ¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ⥧®à®¢ T^jm ¢ ¡ §¨á¥ j; j; m > ®â §¨¬ãâ «ìëå ª¢ ⮢ëå ç¨á¥« m ¯à¨«î¡ëå ç¨á« å j; j1; j2 .
å ¬®¦® ¯¥à¥äà §¨à®¢ âì â ª, çâ®¡ë ¥ ¨á¯®«ì§®¢ âì ª®íää¨æ¨¥âë «¥¡è {®à¤® . DZ।¯®«®¦¨¬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥â â ª®© ¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ⥧®à Q^ jm , ¬ âà¨çë¥ í«¥¬¥âë ª®â®à®£® < 1 ; j1 ; m1 jQ^ jm j2 ; j2 ; m2 > ¥ à ¢ë⮦¤¥á⢥® ã«î. í⮬ á«ãç ¥ á¯à ¢¥¤«¨¢ ä®à¬ã« < 1 ; j1 ; m1 jT^jm j2 ; j2 ; m2 > =^ jm j2 ; j2 ; m2 > :C (1 ; 2 ; j1 ; j2 ) < 1 ; j1 ; m1 jQ뤥«¥¨¥ ¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ⥧®à®¢ ¢ ®á®¡ë© ª« áá ¢¥«¨ç¨ ¤®«¦® ã¯à®áâ¨âì «¨§áâàãªâãàë ª¢ ⮢ëå ä®à¬ã«. DZਢ¥¤¥¬ ¥áª®«ìª® ¯à¨¬¥à®¢ ¥¯à¨¢®¤¨¬ëå ⥧®à®¢.¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ⥧®à ã«¥¢®£® à £ | íâ® ®¯¥à â®à T^, ª®¬¬ãâ¨àãî騩ᮠ¢á¥¬¨ ®¯¥à â®à ¬¨ ¬®¬¥â ª®«¨ç¥á⢠¤¢¨¦¥¨ï J^ :[J^ ; T^ ]=0;â® | ®¯¥à â®à ᪠«ïன ¢¥«¨ç¨ë ¢ 襬 áâ ஬ ®¯à¥¤¥«¥¨¨.
âà¨çë¥ í«¥¬¥âë ᪠«ïà ¨¬¥î⠮ᮡ¥® ¯à®áâãî áâàãªâãàã:< 1 ; j1 ; m1 jT^j2 ; j2 ; m2 > =Æj1 j2 Æm1 m2 < 1 ; j1 jT j2 ; j1 >¥ª à⮢ë á®áâ ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®à A 㤮¢«¥â¢®àïîâ ¯¥à¥áâ ®¢®çë¬ á®®â®è¥¨ï¬[J ; A ] = i A :§ ¨å ¥âà㤮 ¯®«ãç¨âì á®áâ ¢«ïî騥 ¥¯à¨¢®¤¨¬®£® ⥧®à ¯¥à¢®£® à £ .¥©á⢨⥫ì®, ¥âà㤮 ¯à®¢¥à¨âì, çâ® âਠ¢¥«¨ç¨ëT^1;1b(A^1=iA^2 );T^1;0dA^3 ;=T^1;1=c(A^1 + iA^2 )㤮¢«¥â¢®àïîâ ¯¥à¥áâ ®¢®çë¬ á®®â®è¥¨ï¬[J3 ; T^1m ]mT^1m :=å ¬®¦® áç¨â âì á®áâ ¢«ïî騬¨ ¥¯à¨¢®¤¨¬®£® ⥧®à ¯¥à¢®£® à £ ¢ ⮬ á«ãç ¥, ¥á«¨ ¢ë¯®«¥ë á®®â®è¥¨ïpd^[J^+ ; T^1;0 ] =d(A^1 + iA^2 ) =T1;1 =(1 0)(1 + 0 + 1)T^1;1 ;c[J^+ ; T^1; 1 ]=2ibA^3=d^T1;0c=p(1 + 1)(11 + 1)T^1;0 :â¨ à ¢¥á⢠¯®§¢®«ïîâ ᢥá⨠ª®íää¨æ¨¥âë b ¨ c ª d:T^1;1=pd2(A^1iA^2 );T^1;0=2dA^3 ;T^1;1=pd2c(A^1 + iA^2 ):®íää¨æ¨¥â d 㤮¡® ¢ë¡à âì â ª¨¬, ç⮡ë ä §ë ⥧®à®¢ T^1m ᮢ¯ «¨ á ä § ¬¨áä¥à¨ç¥áª¨å £ ମ¨ª Y1m . ¥¥ áä¥à¨ç¥áª¨¥ £ ମ¨ª¨ ¡ë«¨ ®¯à¥¤¥«¥ë ä®à¬ã«®©sm+2 m l 2l + 1 (l jmj)! ^jmjYlm (~n) = ( 1)iP (cos)eim ;4 (l + jmj)! ljj¯®í⮬㠥áâ¥á⢥® ¢ë¡à âì ®¯à¥¤¥«¥¨¥T^1;1=pi2(A^1iA^2 );T^1;0=iA^3 ;T^1;1=pi2c(A^1 + iA^2 ):¥ª à⮢ ⥧®à ¢â®à®£® à £ T 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¯¥à¥áâ ®¢®çë¬ á®®â®è¥¨ï¬[J; T^ ]=i T+ i T :§¢¥áâ®, çâ® ¤¥ª à⮢ ⥧®à ¢â®à®£® à £ ¬®¦® ¨¢ ਠ⮠®â®á¨â¥«ì® ¯®¢®à®â®¢ à §¡¨âì ᨬ¬¥âà¨çãî ¨ â¨á¨¬¬¥âà¨çãî ç áâ¨:A=1(A + A ) +2 1(A2 A ):â¨á¨¬¬¥âà¨ç ï ç áâì ᢮¤¨âáï ª ¢¥ªâ®àã, â.¥.
¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¥¯à¨¢®¤¨¬ë©â¥§®à ¯¥à¢®£® à £ .¨¬¬¥âà¨çë© â¥§®à ¢â®à®£® à £ ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ä®à¬¥11Æ T rA +AÆ T rA :A =33DZ®áª®«ìªã á«¥¤ ⥧®à ¥ ¨§¬¥ï¥âáï ¯à¨ ¯®¢®à®â å, â® ¯¥à¢®¥ á« £ ¥¬®¥ ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ᪠«ïà, ¢â®à®¥ { ᨬ¬¥âà¨çë© â¥§®à ¢â®à®£® ¯®à浪 á ã«¥¢ë¬á«¥¤®¬ { ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯ïâìî ¯ à ¬¥âà ¬¨. § ¥£® á®áâ ¢«ïîé¨å ¬®¦® ¯®áâநâ쥯ਢ®¤¨¬ë© ⥧®à ¢â®à®£® ¯®à浪 . ¥âà㤮 ©â¨ ï¢ë¥ ä®à¬ã«ë, ¯¥à¥¢®¤ï騥 ¤¥ª à⮢ ᨬ¬¥âà¨çë© â¥§®à ¢â®à®£® ¯®à浪 T á ã«¥¢ë¬ á«¥¤®¬ ¢â¥§®à T^2;m :r31T2;0 =T33 ; T2;1 = (T13 iT23 ); T2;2 =(TT 2iT12 ):22 11 22XT = T ;T = 0:⨠ᮮâ®è¥¨ï ®á®¡¥® 㤮¡ë, ¥á«¨ ⥧®à Q^ jm ¯®áâ஥ ¨§ á®áâ ¢«ïîé¨å®¯¥à â®à ¬®¬¥â ª®«¨ç¥á⢠¤¢¨¦¥¨ï.
DZ०¤¥ 祬 ¯à¨¢¥á⨠ï¢ë¥ ä®à¬ã«ë, § ¬¥â¨¬, çâ® ®¨ á¯à ¢¥¤«¨¢ë «¨èì ¯à¨ j1 = j2 , â ª ª ª ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ¯à ¢ ïç áâì à ¢¥á⢠⮦¤¥á⢥® à ¢ ã«î (¢ ᨫ㠯¥à¥áâ ®¢®çëå á®®â®è¥¨©[J~2 ; J ] = 0).31) ¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ⥧®à ã«¥¢®£® à £ T^ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¯¥à¥áâ ®¢®çë¬ á®®â®è¥¨ï¬[J^ ; T^ ] = 0;ç⮠ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯à¨ïâë¬ à ¥¥ ®¯à¥¤¥«¥¨¥¬ ᪠«ïà . ª ç¥á⢥ ⥧®à Q^ jm ¬®¦® ¢§ïâì ¥¤¨¨çë© ®¯¥à â®à E^ , ¯®í⮬ã< 1 ; j; m1 jT^j2 ; j; m2 > =^ jj; m2 > =C (1; 2 ; j ) < j; m1 jEC (1; 2 ; j )Æm1 m2 :ëà ¦ ï ¥¯à¨¢®¤¨¬ë¥ ⥧®àë ¢ â¥à¬¨ å ¤¥ª à⮢ëå á®áâ ¢«ïîé¨å ⥧®à®¢,¬ë ¯®ª § «¨, çâ® ¢¥«¨ç¨ë T^jm ¤¥©áâ¢¨â¥«ì® áãé¥áâ¢ãîâ.¤ ª®, ¯à¨ ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ ¯à ªâ¨ç¥áª¨ «î¡®© 䨧¨ç¥áª®© § ¤ ç¨ ®¡ëç® ¨á¯®«ì§ãîâáï ¤¥ª à⮢ë ⥧®àë | ¢¥«¨ç¨ë T^::: , ¯à¥®¡à §ãî騥áï ¯à¨ ¯®¢®à®â å ª ª ¯àï¬ë¥ ¯à®¨§¢¥¤¥¨ï ¢¥ªâ®à®¢ u v : : :.
â®¡ë «®£¨çë¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï¤¥ª à⮢ëå ⥧®à®¢, ¥®¡å®¤¨¬® ¢ëà §¨âì í⨠¢¥«¨ç¨ë ¢ â¥à¬¨ å ¥¯à¨¢®¤¨¬ëå⥧®à®¢ T^jm . DZਢ¥¤¥¬ ¥ª®â®àë¥ ï¢ë¥ ä®à¬ã«ë.^ | íâ® ¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ⥧®à ã«¥¢®£® à £ :ª «ïà SS^T^00 :=¥ª à⮢ë á®áâ ¢«ïî騥 ¢¥ªâ®à ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ä®à¬¥V^1pi=V^2=2p12V^3T^1;T^1;1pi+12p1+2T^1;1 ;T^1;1 ;iT^1;0 := ª®¥æ, ¤«ï ¤¥ª ஢®£® ¥¯à¨¢®¤¨¬®£® ⥧®à ¢â®à®£® ¯®à浪 ,D=^ = 0;T rDD ;á¯à ¢¥¤«¨¢ë á®®â®è¥¨ï=p1 (T^2;2i ^(T2;2T^2;^ 11D^ 12D=22T^2;11^ 13D);+=r2+ T^2;0 );31 ^(T2 2;2T^2;2);^ 23 = i (T^2;1 + T^2; 1 );^ 33 =^ 22 = 1 (T^2;1 T^2;1 );DDD22 ®¡é¥¬ á«ãç ¥ ¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ¤¥ª à⮢ ⥧®à à £ j ¯à¥¤áâ ¢¨âì4r2^T :3 2;0ª ª(j )T^:::=Xm(j )N:::T^jm :DZ®í⮬ã á¯à ¢¥¤«¨¢ë ä®à¬ã«ë ¢¨¤ (j )< 1 ; j1 ; m1 jT^:::j2; j1; m2 > =Xm(j )N:::< 1 ; j1 ; m1 jT^jm j2 ; j1 ; m2 > =C (1 ; 2 ; j1 ; j )Xm(j )^ jm j2 ; j1 ; m2 > =N:::< 1 ; j1 ; m1 jQ^ j::: j2 ; j1 ; m2 >C (1; 2 ; j1 ; j ) < 1 ; j1 ; m1 jQj)£¤¥ Q^ (:::¯à®¨§¢®«ìë© ¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ¤¥ª à⮢ ⥧®à.
㦮 ⮫쪮, çâ®¡ë ¥£®¬ âà¨çë¥ í«¥¬¥âë ¥ ¡ë«¨ ⮦¤¥á⢥® à ¢ë ã«î. DZ j)®®â®è¥¨ï ¯à¥¤ë¤ã饣® à §¤¥« ®á®¡¥® 㤮¡ë, ¥á«¨ ⥧®à Q^ (:::¯®áâ஥ ¨§ á®áâ ¢«ïîé¨å ®¯¥à â®à ¬®¬¥â ª®«¨ç¥á⢠¤¢¨¦¥¨ï. DZ०¤¥ 祬 ¯à¨¢¥áâ¨ï¢ë¥ ä®à¬ã«ë, á«¥¤ã¥â ¯®¤ç¥àªãâì, çâ® ®¨ á¯à ¢¥¤«¨¢ë «¨èì ¯à¨ j1 = j2 , â ªª ª ¢ ¯à®â¨¢®¬ á«ãç ¥ ¯à ¢ ï ç áâì à ¢¥á⢠⮦¤¥á⢥® à ¢ ã«î (¢ ᨫ㯥à¥áâ ®¢®çëå á®®â®è¥¨© [J~2; J ] = 0). á«ãç ¥ ⥧®à ã«¥¢®£® à £ ¢ ª ç¥á⢥ ⥧®à Q^ ¬®¦® ¢§ïâì ¥¤¨¨çë©®¯¥à â®à E^ . १ã«ìâ ⥠¯®«ãç îâáï â ª §ë¢ ¥¬ë¥ ¯à ¢¨« ®â¡®à ¤«ï ¬ âà¨çëå í«¥¬¥â®¢ ᪠«ïà .< 1 ; j; m1 jS^j2 ; j; m2 > =Æm1 m2 < 1 ; j jS j2; j > : âà¨çë© í«¥¬¥â ᪠«ïà ¤¨ £® «¥ ¯® ¨¤¥ªá ¬ m ¨ ¥ § ¢¨á¨â ®â¨å. á«ãç ¥ ¢¥ªâ®à ®¯¥à â®àë Q^ ¬®¦® § ¬¥¨âì ®¯¥à â®à ¬¨ ¬®¬¥â ª®«¨ç¥á⢠¤¢¨¦¥¨ï J^ :< 1 ; j; m1 jV^ j2 ; j; m2 > =C (1 ; 2 ; j ) < j; m1jJ^ jj; m2 > :¨§¨ç¥áª¨© á¬ëá« í⮩ ä®à¬ã«ë ¬®¦® (¥ ᮢᥬ â®ç®) ¢ëà §¨âì ã⢥ত¥¨¥¬:á।¥¥ § 票¥ ¢¥ªâ®à ¯à ¢«¥® ¢¤®«ì ¬®¬¥â ª®«¨ç¥á⢠¤¢¨¦¥¨ï.¥âà㤮 ãâ®ç¨âì áâàãªâãàã ª®íää¨æ¨¥â C .
®á¯®«ì§ã¥¬áï ⥬, ç⮠᪠«ï஥¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ¢¥ªâ®à®¢ | í⮠᪠«ïà. DZ®í⮬ã< 1 ; j; m1 jV~ J~j2 ; j; m2 > =Æm1 m2 < 1 ; j; mjJ~V~ j2 ; j; m > :5 ¤à㣮© áâ®à®ë, íâã ¦¥ ¢¥«¨ç¨ã ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì á㬬®©X< 1 ; j; m1 jV~ J~j2 ; j; m2 > =< 1 ; j; m1 jV~ j; j ; m >< m ; j ; jJ~j2 ; j; m2 > :0000;j 0 ;m0DZ®áª®«ìªã00< m ; j ; jJ~j2 ; j; m2 > :0Æ2 Æj 0 j ; < m ; j jJ~jj; m2 >;=â® á㬬¨à®¢ ¨¥ ¯® ¨¤¥ªá ¬ ¨ j ᨬ ¥âáï ¨X< 1 ; j; m1 jV~ J~j2 ; j; m2 > =< 1 ; j; m1 jV~ j2 ; j; m >< m ; j jJ~jj;2 > :000m0 ¯®á«¥¤¥© á㬬¥ ¬ âà¨çë¥ í«¥¬¥âë ¢¥ªâ®à ¬®¦® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ä®à¬ã«®©0< 1 ; j; m1 jV~ j2 ; j; m > =0C (1; 2 ; j ) < j; m1 jJ~jj; m > :DZ®á«¥ í⮣® á㬬 «¥£ª® ¢ëç¨á«ï¥âáï, çâ® ¯à¨¢®¤¨â ª १ã«ìâ âã< 1 ; j; m1 jV~ J~j2 ; j; m2 > =C (1 ; 2 ; j ) < j; m1 jJ~2 jj; m2 > =C (1 ; 2 ; j )j (j + 1)Æm1 m2 : ᫨ j ¥ à ¢® ã«î, â® ¬®¦® ©â¨ ç¨á«® C . ª¨¬ ®¡à §®¬( <1 ;j;mjV~ J~j2 ;j;m>< j; m1 jJ^jj; m2 >; j 6= 0j (j +1)< 1 ; j; m1 jV^ j2 ; j; m2 > =0;j=0 á«ãç ¥ ¥¯à¨¢®¤¨¬®£® ⥧®à ¢â®à®£® ¯®à浪 ᮮ⢥âáâ¢ãî騩 ⥧®à Q^ ¬®¦® ¢§ïâì ¢ ä®à¬¥2 ~2^ = J^ J^ + J^ J^Æ JQ3 DZ®áâ®ïãî ¢ à ¢¥á⢥^ jj; m2 >< 1 ; j; m1 jT^ j2 ; j; m2 > = C (1 ; 2 ; j ) < j; m1jQ¬®¦® ®¯à¥¤¥«¨âì, ¢ëç¨á«ïï ¬ âà¨çë© í«¥¬¥â< 1 ; j; m1 jJ^ T^ J^ j2 ; j; m2 >;¯à®¯®à樮 «ìë© Æm1 m2 .
§« £ ï, ª ª ¢ ¯à¥¤ë¤ã饬 á«ãç ¥, ¯à®¨§¢¥¤¥¨¥ ®¯¥à â®à®¢ ¯® ¡ §¨áã j; j; m > ¨ ᮯ®áâ ¢«ïï íâ® ¢ëà ¦¥¨¥ á ¬ âà¨çë¬ í«¥¬¥â®¬^ J jm2 ; j > = Æ 1 j (j + 1)(2j + 3)(2j 1);< j; m1 jJ Q3¯®«ã稬3^ jj; m2 > :< 1 ; j; m1 jT^ j2 ; j; m2 > =< j; m1 jQj (j + 1)(2j + 3)(2j 1)6.