Диссертация (Численное решение задач волноводного распространения поляризованного света в интегрально-оптическом волноводе), страница 2

Боголюбова, А.Л. Делицына и М.Д. Малых. Первый численныйметод решения задач прохождения и дифракции волн вдоль закрытыхнерегулярных волноводов был предложен в работах Б.З. Каценеленбаума и5получил название метода поперечных сечений, работам Каценеленбаумапредшествовали работы Краснушкина, Боровикова, Кисунько, Щелгунова,Стивенсона и др. Перечисленные модели не описывали деполяризациюнаправляемых мод на нерегулярных участках волноводов.

МетодКаценеленбаума был модифицирован и осмыслен А.Г. Свешниковым каксвоеобразная реализация метода Галеркина и назван неполным методомГалеркина. Этот метод хорошо зарекомендовал себя при решении задачдифракции в волноведущих систем со сложной геометрией и не менеесложным, в том числе киральным заполнением, что было показано в серииработ, выполненных под руководством А.Г. Свешниковым на физическомфакультете МГУ Боголюбовым А.Н., Быковым А.А., Ерохиным А.И.,Делицыным А.Л., Могилевским И.Е., Моденовым В.П. и др. Схожаяконструкция, известная как метод Канторовича, используется при решениизадач рассеяния частиц в квантовой механике в работах, выполненных подруководством С.И. Винницкого в ОЯИ в Дубне А.А.

Гусевым, О.Чулунбатаром и др. В скалярных задачах неполный метод Галеркина можносчитать вариантом метода Канторовича.Метод Б.З. Каценеленбаума был обобщен на открытые плавнонерегулярные волноводы В.В. Шевченко. Этот метод пока не получилматематического обоснования из-за наличия непрерывных частей спектра,который необходимо дискретизовать непрерывный спектр прежде чемполучить задачу, пригодную для математического моделирования.Неизвестны и другие модели плавно-нерегулярных открытых волноводов,допускающие корректную математическую постановку задачи волноводнойдифракции.Поэтому реализация идеи помещения открытой волноведущей системыв закрытую, высказанная А.Г. Свешниковым, является весьма актуальной.Сформулированная нами на этой основе математическая модель реализуетодну из таких дискретизаций и позволяет сформулировать корректнуюматематическую задачу волноводной дифракции в плавно-нерегулярныхинтегрально-оптических волноводах.Объект моделированияОбъектом теоретического рассмотрения и численного моделированияявляется класс интегрально-оптических волноводов на планарной регулярнойдиэлектрической подложке.

Для определенности ограничимся рассмотрением6тонкопленочных волноводов с плавной нерегулярностью. В предположении,что поляризованное электромагнитное монохроматическое излучениераспространяется в продольном горизонтальном направлении осиOzдекартовой системы координат, связанной с геометрией подложки, вбольшинстве примеров предполагаем нерегулярность волноводных слоев ввертикальном направлении Oxи регулярность в поперечном горизонтальномнаправлении Oy. В качестве отступления будет рассмотрен класстонкопленочных волноводных линз с нерегулярностью и в направлении Oy.Такого рода структуры изготавливают несколькими технологическимипроцессами.Одни из них обеспечивают прочное удержание изготовленнойволноводной пленки на подложке, другие – нет, их закрепляют покровнымслоем для прочности изготовленной структуры.Способы изготовленияинтегрально-оптических элементов и устройств и возможные пути ихиспользования в оптико-технических процессах обработки информацииописаны в большом количестве источников во второй половине 20-го века.Рядтехнологий приводят к созданию интегрально-оптических структур сдиффузионными волноводными слоями, их называют градиентнымиволноводными структурами.

Методы, развиваемые здесь, довольно легкообобщаются и на них.Предмет исследования – математические модели распространенияполяризованного света в плавно-нерегулярных интегрально-оптическихволноводах.В классе интегрально-оптических волноводных структур нерегулярныхи в направлении Oy, и в направлении Oz, то есть двумерно-нерегулярных,7необходимо рассматривать систему уравнений Максвелла, описывающуювекторный характер распространяющегося света. В случае «очень слабойнерегулярности по y» можно использовать пару слабосвязанных уравненийГельмгольца для описания слабо-гибридных волноводных мод со слабойдеполяризацией.Цель диссертационной работы исследование модели волноводной дифракции электромагнитногоизлучения в интегрально-оптическом волноводе, помещенном вобъемлющий закрытый волновод; реализация символьно-численных алгоритмов решения задачволноводного распространения поляризованного света в рамках моделиволноводной дифракции электромагнитного излучения в интегральнооптическом волноводе, помещенном в объемлющий закрытыйволновод; верификация полученных результатов путем их сравнения срезультатами, полученными в рамках более грубых моделей.Задачи диссертационной работы постановкакорректнойматематическойзадачирасчетаэлектромагнитного поля в рамках модели волноводной дифракцииэлектромагнитного излучения в интегрально-оптическом волноводе,помещенном в объемлющий закрытый волновод; адаптация численных методов и алгоритмов к решениюсформулированной задачи; программная реализация численных методов и алгоритмов решениясформулированной задачи и проведение численных экспериментов всистемах Maple, Sage; верификация результатов и оценка применимости исследуемой моделидля решения задач волноводного распространения поляризованногосвета в рамках исследуемой модели.Методы исследований неполный метод Галеркина решения задачи дифракции волноводноймоды, падающей на двумерный неоднородный или нерегулярныйзакрытый волновод или волноводный переход между двумя закрытымиволноводами;8 конечно-разностный метод решения третьей краевой задачи скомплексными коэффициентами для системы обыкновенныхдифференциальных уравнений второго порядка; асимптотический метод решения дифференциальных уравнений смалым параметром, в приближении по которому векторная волноводнаязадача редуцируется к скалярной.Научная новизнаВ диссертационной работе результаты и методы, обоснованные в теориизакрытых волноводов, адаптируются к открытым волноведущим системам врамках исследуемой модели.В рамках исследуемой модели предложена новая постановкаматематической задачи, описывающей волноводное распространениеполяризованного света.Методы решения задач расчета электромагнитного поля в рамкахисследуемой модели реализованы в символьно-численном виде.Основные положения, выносимые на защиту Предложена реализация идеи А.Г.

Свешникова, указавшего на одну извозможныхкорректныхпостановокзадачдифракциинанеоднородностях в открытых волноведущих системах. Подробноописана приближенная математическая модель открытого волновода,теоремы существования, известные для закрытых систем, адаптированык этой модели. Указан способ дискретизации парциальных условийизлучения в задачах с непрерывным спектром. В частности, поставленызадачи дифракции на микролинзе Люнеберга и ее плоском аналоге, атакже задача о согласовании открытого волноводного перехода. Разработаны адаптированные символьно-численные алгоритмы расчетаэлектромагнитных полей в рамках используемой модели. Разработанные алгоритмы реализованы в виде программ в системахMaple, Sage, которые могут быть использованы для верификациирезультатов расчета аналогичных структур в рамках других моделей идля решения прикладных задач. Используемая модели открытого волновода и основанные на ней методырасчета электромагнитных полей верифицированы путем сравнения срезультатами, полученными в рамках известных моделей интегральнооптических волноводов, обоснованных на физическом уровнестрогости.9Обоснованность и достоверность полученных результатовОбоснованность результатов следует из того, что использованнаямодель основана на уравнениях Максвелла в полной электромагнитнойпостановке и парциальных условиях излучения, показавших своюэффективность при исследовании закрытых волноводов.

Полученныематематические задачи являются корректными. Системы линейныхалгебраических уравнений, получаемые в результате конечно-разностнойаппроксимации краевых задач, имеют блочно-трехдиагональную структуруматриц коэффициентов, блоки матриц коэффициентов обусловлены хорошо.Погрешность решения систем уравнений сравнима с компьютернойточностью.Достоверность вытекает из совпадения полученных результатов срезультатами вычислений в рамках других использованных моделей.Апробация результатовОсновные результаты диссертационной работы докладывались на следующихконференциях: Научная сессия НИЯУ МИФИ-2014. Москва, МИФИ, 27 января – 01февраля 2014 г. Международная конференция «Современные проблемы прикладнойматематики и информатики» (MPAMCS’2014).

Дубна, 25 – 29 августа2014 г. Всероссийскойконференциисмеждународнымучастием«Информационно-телекоммуникационныетехнологиииматематическое моделирование высокотехнологичных систем».Москва, РУДН, 22–25 апреля 2014 г. Научная сессия НИЯУ МИФИ-2015. Москва, МИФИ, 16–20 февраля2015 г. Всероссийскаяконференциисмеждународнымучастием«Информационно-телекоммуникационныетехнологиииматематическое моделирование высокотехнологичных систем».Москва, РУДН, 20–24 апреля 2015 г. Международнаяконференция «International Conference on MathematicalModeling and Computational Physics» (MMCP’2015).

StaraLesna,Словакия, 13–17 июля 2015 г.10 Всероссийскаяконференциисмеждународнымучастием«Информационно-телекоммуникационныетехнологиииматематическое моделирование высокотехнологичных систем».Москва, РУДН, 18–22 апреля 2016 г. IV Международная конференция «Проблемы математической итеоретической физики и математическое моделирование». Москва,НИЯУ МИФИ, 5–7 апреля 2016 г. Симпозиум международных научных конференций «Оптика ибиофотоникаIV» (SFM’2016). Саратов, СГУ, 27–30 сентября 2016 г.Основные результаты диссертационной работы докладывались наследующих семинарах: Московский научный семинар «Интегральная оптика и волноводнаяоптоэлектроника» Московского научно-технического обществарадиотехники, электроники и связи им. А.С. Попова, 7 декабря 2016г. Научный семинар «Проблемы современной математики», МИФИ, 02марта 2017 г. Научный семинар «Математическое моделирование», РУДН, 15 марта2017 г.ПубликацииОсновные результаты по теме диссертационного исследованияизложены в 4 статьях в журналах, рекомендованных ВАК РФ [43, 145-147].Всего по теме диссертационного исследования опубликовано 10 работ [43,145153].Обзор основных результатов теории волноводной дифракцииЗадачи изучения и проектирования волноведущих структур в акустике иэлектромагнетизме изучались на протяжении многих лет, как специалистамипо прикладной акустике и прикладному электромагнетизму, в том числе иприкладной оптике, так и специалистами по математической физике.

Вобласти полых волноводов с металлическими идеально проводящимистенками задача распространения электромагнитных волн была полностьюрешена в серии работ А.Н.Тихонова и А.А.Самарского [1-4]. В это же времяпо теории регулярных волноводов были опубликованы с работы [5-7].11В работах [1-3] доказано, что решение однородной системы уравненийМаксвелла в полом цилиндре, на границе которого поставлены условияидеальнойпроводимости,можнопредставитьввидесуперпозициинормальных мод. Главное отличие этих волноводных мод от плоских волнсостоит в том, что лишь один из векторов E или H перпендикулярен поотношению к направлению распространения волны, совпадающей с осьюволновода.