Автореферат (Метод фазовых интегралов в одной задаче асимптотической теории возмущений)

на правах рукописиФуфаев Владимир ВладимировичМетод фазовых интегралов в одной задачеасимптотической теории возмущений01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализАвторефератдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква - 2017Работа выполнена на кафедре математического анализамеханико-математического факультета ФГБОУ ВО«Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова».Научный руководительдоктор физико-математических наук,профессор Степин Станислав Анатольевич,профессор МГУ имени М. В. ЛомоносоваОфициальные оппоненты доктор физико-математических наук,член-корреспондент РАННазайкинский Владимир Евгеньевич,ведущий научный сотрудник ИПМех РАНкандидат физико-математических наукТитов Василий Александровичзаместитель генерального директорапо прикладным исследованиям, испытаниями экспериментальной базе ФГУП ЦНИИМАШВедущая организацияФедеральное государственное бюджетноеучреждение наукиИнститут проблем передачи информацииим.

А.А. ХаркевичаРоссийской академии наук (ИППИ РАН)Защита состоится “10” октября 2017 г. в 15 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.203.27 в Российском университете дружбы народов поадресу: 115419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д. 3, ауд. 495 а.С диссертацией можно ознакомиться в Учебно-научном информационном библиотечном центре (Научной библиотеке Российского университета дружбы народов) по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, д. 6 и на сайте “Диссертационные советы РУДН” в сети интернет (http://dissovet.rudn.ru).Автореферат разослан “”2017 г.Ученый серетарьдиссертационного совета Д 212.203.27,доктор физико-математических наук2Савин Антон ЮрьевичОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫАктуальность темыАсимптотическая (сингулярная) теория возмущений линейных операторов находит применение в различных вопросах функционального анализа и характеризуется использованием топологии резольвентной сходимости по параметру возмущения [1], [2]. Одной из важныхпроблем здесь является изучение спектральных асимптотик краевыхзадач для дифференциальных уравнений с малым параметром пристаршей производной.

В случае обыкновенных дифференциальныхуравнений второго порядка для построения приближений ЛиувилляГрина решений и квазиклассической локализации спектра широкоиспользуется метод фазовых интегралов или метод ВКБ (см., например, [3], [4]). Настоящая диссертация посвящена развитию метода фазовых интегралов применительно к модельной несамосопряженнойкраевой задаче Штурма-Лиувилля. Вопросам, связанным с асимптотическими спектральными характеристиками краевых задач, посвящено значительное количество работ (см., например, [5] – [7]), которые наряду с теоретическим имеют и прикладное значение ([8], [9]).Ключевым объектом используемого в диссертации аналитического подхода является фазовый интеграл, входящий в асимптотические формулы ВКБ.

Для возникающих в задачах квантовой механики обыкновенных дифференциальных уравнений Дж. Биркгоф (см.[10]) разработал метод построения решений, допускающих приближения Лиувилля-Грина на канонических путях – кривых, на которых вещественная часть фазового интеграла изменяется монотонно,[1] Маслов В.П. О предельном поведении некоторых квантово-механических величин //ДАН СССР, 1954. – Т.94, №4. – С.623-626.[2] Newburgh J.

D. The variation of spectra // Duke Math. J., 1951. – V.18, N1. – P. 165-176.[3] Хединг Дж. Введение в метод фазовых интегралов (метод ВКБ) – М.: Мир, 1965. 237 с.[4] Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений – М.: Наука, 1983. 352 с.[5] Дородницын А. А.

Асимптотические законы распределения собственных значений длянекоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка // УМН, 1952. – Т.7,В. 6. – С. 3-96.[6] Днестровский Ю. Н., Костомаров Д. П. Об асимптотике собственных значений длянесамосопряженных краевых задач // ЖВМ и МФ, 1964. – Т.4, В. 2.

– С. 267-277.[7] Федорюк М.В. Асимптотика собственных значений и собственных функций оператораШтурма-Лиувилля с комплекснозначным потенциалом-полиномом // Дифференц. уравнения,1972. – Т.8, №5. – С. 811-816.[8] Дикий Л. А. Гидродинамическая устойчивость и динамика атмосферы – Л: Гидрометеоиздат, 1976. 108 с.[9] Fröman N., Fröman P. O. Physical Problems Solved by the Phase-Integral Method –Cambridge: Cambridge University press, 2002. 230 p.[10] Birkhoff G. D. Quantum mechanics and asymptotic series // Bull. Amer. Math. Soc., 1933.– V.

39, N10. – P. 681-700.3а рассматриваемое уравнение эквивалентно интегральному уравнению вольтерровского типа с ограниченным ядром.Особое значение в этом контексте имеют точки поворота дифференциального уравнения второго порядка, в которых матрица соответствующей системы первого порядка имеет кратное собственноезначение. Известно, что в различных частях окрестности точки поворота одно и то же решение рассматриваемого уравнения может иметьразличные асимптотические представления (явление Стокса). Основная аналитическая трудность, таким образом, состоит в построенииформул связи между асимптотическими представлениями решенийв различных областях изменения аргумента. Границы этих областейоказываются связанными с траекториями определяемого фазовыминтегралом квадратичного дифференциала (линиями Стокса).

Использование фундаментальных свойств траекторий квадратичныхдифференциалов (см. [11]) позволяет в рамках подхода Биркгофапреодолеть трудности, обусловленные явлением Стокса, и установитьформулы связи для решений с ВКБ-представлениями.Для краевых задач на собственные значения исследование асимптотической локализации точек спектра сводится к изучению нулейсоответствующего характеристического определителя (см., например,[12]). Формулы связи, установленные в рамках развиваемого в диссертации подхода, позволяют построить приближения характеристического определителя с равномерными по спектральному параметруоценками остатков, и получать информацию о распределении его нулей.Известно, что для самосопряженных сингулярно возмущенных операторов имеет место нижняя полунепрерывность спектра (см.

[13]).В несамосопряженном случае это свойство предельного (в смысле резольвентной сходимости) оператора, как правило, нарушается. Изучаемая в настоящей диссертации задача Штурма-Лиувилля можетрассматриваться как модель перехода от дискретного спектра к непрерывному в несамосопряженном случае. При этом особенности и закономерности асимптотического распределения собственных значенийопределяются геометрией римановой поверхности (рассматриваемойкак область наложения) многозначной функции, обратной к потенциалу.[11] Strebel K.

Quadratic Differentials– Berlin: Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1984. 194 p.[12] Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы – М: Наука, 1969. 528 с.[13] Като Т. Теория возмущений линейных операторов. – М.: Мир, 1972. 740 с.4Цель работыРазвитие метода квазиклассической локализации собственных значений несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля, с использованием разработанной техники аппроксимации характеристическогоопределителя. Изучение асимптотического расположения спектра задачи Штурма-Лиувилля для уравнения с модельными полиномиальными потенциалами и малым чисто мнимым параметром при второй производной. Исследование геометрических свойств предельногоспектрального множества.Научная новизнаОсновные результаты диссертации являются новыми и состоят вследующем:1.

Для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с малым параметром при второй производной и полиномиальным потенциалом Q(z) разработан метод локализации спектра краевой задачи Штурма-Лиувилля на основе формул связи решений сВКБ-асимптотиками и равномерными по спектральному параметруоценками остатков соответствующих приближений.2. В случае монотонного на [−1, 1] потенциала Q(z) = z 3 + z в правой полуплоскости найдена область, асимптотически свободная отточек спектра рассматриваемой задачи. Локализована кривая, которая служит предельным спектральным множеством, и для соответствующих собственных значений получены правила квантованиятипа Бора-Зоммерфельда-Маслова.3. В случае потенциала Q(z) = z 3 − z в правой полуплоскости выделена монотонная ветвь предельного спектрального комплекса, концевой вершиной которой является точка ветвления функции Q−1(λ).Для собственных значений, концентрирующихся вблизи найденнойкривой, получены локализационные формулы типа правил квантования с квалифицированной оценкой погрешности.Методы исследованияВ работе использованы асимптотические методы, аппарат комплексного анализа и техника аналитической теории дифференциальныхуравнений.Теоретическая и практическая ценностьДиссертация носит теоретический характер.

Ее результаты могутбыть использованы в спектральной теории операторов, при изучениикраевых задач в теории дифференциальных уравнений и гидродинамике.5Апробация работыРезультаты диссертации докладывались на следующих научных семинарах:• Научный семинар “Дифференциальная геометрия и приложения”механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова под руководством профессора А. Т. Фоменко;• Научный семинар “Тригонометрические и ортогональные ряды”механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова под руководством профессора М.

К. Потапова, профессораВ. А. Скворцова, профессора Т. П. Лукашенко и профессораМ. И. Дьяченко;• Научный семинар лаборатории механики природных катастрофинститута проблем механики им. А. Ю. Ишлинского “Асимптотические методы в математической физике” под руководством профессора С. Ю. Доброхотова;• Научный семинар математического института им. В. А.

СтекловаРоссийской академии наук “Комплексные задачи математическойфизики” под руководством профессора А. Г. Сергеева и доцентаА. В. Домрина;• Научный семинар “Задачи дифференциальных уравнений, анализа и управления:теория и приложения” механико-математическогофакультета МГУ имени М. В. Ломоносова под руководством профессора А. В. Фурсикова, профессора В. М. Тихомирова, профессора М. И. Зеликина и профессора В. Ю.

Протасова;• Научный семинар “Актуальные проблемы геометрии и механики”механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова под руководством профессора Д. В. Георгиевского и профессора М. В. Шамолина;• Научный семинар “Теория рассеяния” механико-математическогофакультета МГУ имени М. В. Ломоносова под руководством профессора Р.

А. Минлоса;• Научный семинар “Динамические системы и дифференциальныеуравнения” механико-математического факультета МГУ имениМ. В. Ломоносова под руководством профессора А. А. Давыдоваи профессора А. М. Степина;• Научный семинар Добрушинской лаборатории ИППИ РАН подруководством профессора Р. А. Минлоса и старшего научного сотрудника М. Л. Бланка.Содержащиеся в диссертации результаты докладывались на следующих конференциях:6• Международная конференция по функциональным пространствами теории приближения функций, посвященная 110-летию со днярождения академика С.

М. Никольского (Москва, 2015);• Международная конференция по математической теории управления и механике (Суздаль, 2015);• Международная конференция 5th International Workshop on PseudoHermitian Hamiltonians in Quantum Physics (Palermo, 2015);• Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2016);• Международная конференция “Системы Аносова и современнаядинамика”, посвященная 80-летию со дня рождения Дмитрия Викторовича Аносова (Москва, 2016).ПубликацииОсновные результаты диссертации опубликованы в семи работах,три из них опубликованы в изданиях, включенных в перечень ВАК.Их список приведен в конце автореферата.Структура диссертацииДиссертация состоит из введения, трех глав, заключения и спискалитературы.

Диссертация содержит 8 иллюстраций. Объем диссертации составляет 100 страниц.КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИВо введении сделан обзор публикаций, связанных с темой исследования, приводятся постановки задач и формулируются основныеполученные результаты. Предметом исследования является модельная задача Штурма-Лиувилляiε y 00(z) + Q(z, λ) y(z) = 0 ,(1)y(A) = y(B) = 0 ,(2)где ε > 0 – малый, а λ – спектральный параметры.