Автореферат (Предельное поведение в математических моделях распределенных систем квазивидов и двойного гиперцикла)

Московский государственный университет путей сообщения Императора Николая II(МГУПС (МИИТ))На правах рукописиСафро Михаил ВладимировичПредельное поведение в математическихмоделях распределенных систем квазивидов идвойного гиперцикла05.13.18 – Математическое моделирование, численные методы и комплексыпрограммАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква – 2017Работа выполнена в Московском гоусударственном университете путейсообщения императора Николая II (МГУПС(МИИТ)).Научный руководитель:доктор физико-математических наук,профессор,Братусь Александр СергеевичОфициальные оппоненты:доктор физико-математических наук,профессор, главный научный сотрудникИФА РАН,Логофет Дмитрий Олеговичкандидат физико-математических наук,доцент, доцент Российского государствен­ного университета дружбы народов,Кулябов Дмитрий СергеевичВедущая организация:Московский физико-технический институт(государственный университет)Защита состоится «02» июня 2017 г. в 16 часов 30 минут на заседании диссерта­ционного совета Д 212.203.28 при Российском государственном университетедружбы народов,расположенном по адресу: г.

Москва, улица Орджоникидзе,дом 3.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Российского государствен­ного университета дружбы народов.Автореферат разослан «»2017 г.Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печа­тью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретарядиссертационного совета.Ученый секретарьдиссертационного совета,к.ф.м.н., доцентВасильев С.А.3Общая характеристика работыАктуальность темы исследования.Одной из важных задач современ­ного естествознания является проблема возникновения сложной неравновеснойсистемы из набора макромолекул.В 1971 году Манфред Эйген опубликовал работу, в которой впервые пред­ложил математическую модель предбиологической эволюции. Основное поло­жение этой теории заключалось в создании математической модели, позволя­ющей проследить эволюцию сложной системы, составленной из макромолекул.Некоторые из построенных таким образом систем удовлетворяют трем основ­ным постулатам теории эволюции, сформулированным Ч.Дарвиным: наслед­ственность, изменяемость, естественный отбор.В работах М.Эйгена и других авторов эта теория получила название "тео­рия квазивидов".Модель квазивидов представляет собой систему из различных макромо­лекул; каждая макромолекула представляется в виде последовательности сим­волов из конечного алфавита: = (1 , ..., )Заметим, что в случае молекул РНК - это одна из букв (U,C,A,G); в слу­чае двоичных последовательностей одна из цифр (0,1); общее количество по­следовательностей заданной длины соответственно 4 для молекул РНК и 2для двоичных последовательностей (в реальных системах имеет порядок 30).Предполагается, что молекула вида порождает молекулу вида с некоторойвероятностью ; вероятность т.н.

безошибочной репликации (при которой мо­лекула вида порождает молекулу вида ) соответственно равна = 1 −∑︀̸=Средняя приспособленность системы характеризуется вектором = (1 , 2 , ..., ).Воспроизводство молекул, с учетом различной приспособленности и мутаций вэтом случае, описывается системой обыкновенных нелинейных дифференциаль­4ных уравнений. Из анализа математической модели квазивидов следует, чтов процессе эволюции побеждает не вид с максимальной приспособленностью,а целый набор видов, которые могут быть представлены в виде собственноговектора ˆ , отвечающего максимальному собственному значению матрицы ( = · , где = (1 , ..., ), - матрица с элементами ).Другой моделью, предложенной М.Эйгеном, стала модель гиперцикличе­ской репликации или гиперцикла.

Гиперцикл представляет собой способ объ­единения элементов (как правило, макромолекул) в самовоспроизводящуюсяцепочку из макромолекул, в которой молекула с номером 1 порождает моле­кулу с номером 2, молекула с номером 2 порождает молекулу с номером 3 итак далее, в замкнутом цикле (молекула с номером порождает молекулу сномером 1).Математически модель гиперцикла представляет систему из нелиней­ных обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследованию этой моде­ли посвящены работы М.Эйгена, П.Шустера, К.Зигмунда, Дж.Хофбауера, Х.Л.Смита, Дж. Малле-Паре, М.Новака, А.С.

Братуся, А.С. Новожилова и пр..Доказано, что гиперцикл обладает свойством перманентности (невырожденно­сти, экологической устойчивости), т.е. решения системы гиперцикла с ненуле­выми начальными условиями не обращаются в ноль ни при каком значениивремени. Другим замечательным свойством гиперцикла, полученным в работеДж.Хофбауера, Дж. Малле-Паре и Х.Л.Смита, является возникновение устой­чивого предельного цикла в системе размерности ≥ 5. В работах К.Зигмундаи Дж.

Хофбауера было доказано, что система гиперцикла обладает свойствомизменяемости, т.е. в системе гиперцикла возможно появление новых элементов(макромолекул), которые встраиваются в систему.Распределённая модель гиперцикла описывается с помощью системы по­лулинейных параболических уравнений с частными производными с интеграль­ным инвариантом. В работах А.С. Братуся, А.С.Новожилова и В.П.Повянскогобыло доказано, что предельное поведение распределённой системы существен­5но зависит от коэффицентов диффузии. В частности, при достаточно малыхзначениях этих коэффициентов возникают пространственно-неоднородные ре­шения, которые не имеют аналогов в случае обыкновенных (не распределённых)систем.В работе предложена модификация системы гиперцикла М.Эйгена, в ко­торой элемент с номером порождают элементы с номерами − 1, − 2.

Далееэту модель гиперцикла будем называть двойным гиперциклом.При исследовании распределенных систем математической биологии важ­ным является численное моделирование. В работе разработан комплекс про­грамм на языке C++, позволяющий находить численное решение уравненийраспределенных математических моделей квазивидов и двойного гиперциклапроизвольной размерности.Модели математической биологии, как правило, имеют большую размер­ность (например, в случае модели квазивидов 2 , 4 , где имеет порядок 30),поэтому важно иметь качественные критерии, позволяющие исследовать устой­чивость систем. До сих пор качественные и приближенные методы исследова­ния предельного поведения распределенных систем математической биологииизучены недостаточно.

Важной характеристикой, которая позволяет исследо­вать устойчивость подобных систем, является асимптотика собственных значе­ний матрицы Якоби. В связи с этим появляется необходимость в разработкеновых качественных и приближенных методов анализа репликаторных системи построении асимптотики собственных значений матрицы Якоби в распреде­ленных моделях математической биологии, в частности, в распределенной мате­матической модели Лотки-Вольтерры. На основании изложенной выше научнойпроблемы сформулированы следующие цель и задачи диссертационного иссле­дования.6Цель диссертационной работы.Развивтие качественных и прибли­женных методов исследования математических моделей репликаторных систем,разработка комплекса программ для численного моделирования задач матема­тичсекой биологии.Задачи диссертационной работы:1.

Исследование предельного поведения новых математических моделей ре­пликаторных систем.2. Изучение предельного поведения математической модели двойного гипер­цикла.3. Построение асимптотики собственных значений матрицы Якоби в распре­делённых математических моделях типа Лотки-Вольтерры.4. Разработка комплекса программ, позволяющих численно решать систе­мы, описывающие распределенные математические модели квазивидов идвойного гиперцикла произвольной размерности.Научная новизна.1. Доказана единственность и асимптотическая устойчивость положения рав­новесия распределённой математической модели квазивидов Эйгена.2. Доказана невырожденность (перманентность, экологическая устойчивость)математической модели двойного гиперцикла.3.

Получена асимптотика собственных значений матрицы Якоби систем по­лулинейных параболических уравнений, описывающих математическиемодели типа Лотки-Вольтерры.4. Разработан комплекс программ, позволяющий численно решать системы,описывающие распределенные математические модели квазивидов и двой­ного гиперцикла произвольной размерности.7Теоретическая и практическая значимость.Работа носит теоретиче­ский характер. Полученные результаты могут быть использованы при постро­ении и анализе новых математических моделей теории эволюции, а также приизучении асимптотики решений полулинейных параболических уравнений.Методология и методы исследования.В работе использовались мето­ды качественной теории дифференциальных уравнений, динамических систем,уравнений математической физики, функционального анализа.Объект исследования.Асимптотика и предельное поведение в распре­деленных математических моделях квазивидов и двойного гиперцикла.Предмет исследования.Предельное поведение распределенных репли­каторных систем.Положения, выносимые на защиту:1.

Единственность и асимптотическая устойчивость пространственно одно­родного положения равновесия распределённой математической моделиквазивидов Эйгена.2. Предельное поведение математической модели двойного гиперцикла.3. Асимптотика собственных значений матрицы Якоби в распределённых ма­тематических моделях типа Лотки-Вольтерры.Степень достоверности и апробация результатов.Основные резуль­таты диссертации докладывались на следующих конференциях:1. Научно-практическая конференция "Наука МИИТа - транспорту"; Москва,МИИТ, 20102. Седьмые Курдюмовские чтения: Синергетика в естественных науках, Тверь,20113. Математика. Компьютер.