1217_3 (Методичка № 1217 Теор. Мех. Динамика (РГР))

1Министерство образования Российской ФедерацииМОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ»Кафедра «Теоретическая механика»Одобренометодической комиссией пообщенаучным дисциплинамРАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ РАБОТЫПО ДИНАМИКЕМетодические указания по курсу «Теоретическая механика»для студентов всех специальностейочной и очно-заочной форм обученияПод редакциейд.ф.-м.н., проф. Бондаря В.С.МОСКВА - 20032Авторский коллектив: А.И.Блохина, Г.И.Норицына, В.К.Петров. Подредакцией д.ф.-м.н., проф.

Бондаря В.С..Расчетно-графические работы по динамике. Методические указания покурсу «Теоретическая механика» для студентов всех специальностей очной иочно-заочной форм обучения.В настоящий сборник включены девять заданий по разделу «Динамика».При составлении методических указаний частично использовались материалыиз «Сборника заданий для курсовых работ по теоретической механике» подобщей редакцией проф. А.А.Яблонского. Приведены примеры выполнения всехзаданий с пояснениями.Московский государственный технический университет «МАМИ», 20033ЗАДАНИЕ Д-1Интегрирование дифференциальных уравнений движенияматериальной точкиМатериальная точка M массой m, получив в точке А начальную скоростьV0, движется в изогнутой трубе АВС (рис.

1.1, 1.2), расположенной ввертикальной плоскости. Участки трубы или оба наклонные, или одингоризонтальный, а другой наклонный. Угол наклона трубы α=30° .rНа участкеr АВ на материальную точку действует сила тяжести P ,постояннаяr сила Q (ее направлениеr указано на рисунках) и сила сопротивлениясреды R , зависящая от скорости V груза (направлена сила против движения).Трением груза о трубу на участке АВ пренебрегаем.В точке В материальная точка, не изменяя величины своей скорости,rпереходит на участок ВС трубы, где на нее действует сила тяжести P , силаrтрения (коэффициент трения груза о трубу f=0,2) и переменная сила F ,проекция которой FX на ось x приведена в таблице Д-1.Известно расстояние AB=l или время t1 движения от точки А до точки В.Требуется найти закон движения материальной точки на участке BC : x=f(t).Указание.

Решение задачи разбивается на две части. Сначаласоставляем и интегрируем методом разделения переменных дифференциальноеуравнение движения материальной точки на участке АВ, учитывая начальныеусловия. В случае, когда задана длина отрезка АВ, целесообразно перейти отинтегрирования по t к интегрированию по переменной z с помощью формулы:dVZ dVZ dzdVZ=⋅ = VZ.dtdt dzdzЗная время движения на участке АВ или длину этого участка, определяемскорость материальной точки в конце участка, в точке В. Эта скоростьпринимается за начальную при исследовании движения материальной точки научастке ВС. После этого составляем и интегрируем дифференциальноеуравнение движения материальной точки на участке ВС.Пример выполнения задания Д-1На вертикальном участке АВ трубы (рис.1.3) на точку массой m=1 кгдействует сила тяжести и сила сопротивления R=µV2.

Скорость материальнойточки М в начальный момент времени t=0 в точке А равна нулю. Длинаучастка АВ=2 (м). На наклонном участке ВС трубы (α=30º) на материальнуюточку действует сила тяжести, сила трения (коэффициент трения f=0,2) ипеременная сила FX=16sin(3t) . Требуется определить закон движенияматериальной точки на участке ВС.421CCxAMQBBMxQααA43AAQMBMQCxBCααx56CxBαBMQαCQαxMA87AQACMxMQαBBαCxРис. 1.1αA5109CxBCxQBαMQAMαA1211QBAAMQMBαCCxαx1314CxαBBQMAMαCαxQA1615AMACxQQMαBBααCxРис.

1.26№ варианта123456789101112131415161718192021222324252627282930Рис.123456789101112131415161234567891011121314m(кг)4,53261,61,222,41,8424,81,22,442,46241,662,12,4281,82,5324,5V0 ,м/с183221418225121512205241210122,52621814281,22010151,52,22818Q,Н942184226612612266218344183261668959R,НµVµV2µVµV2µVµV2µVµV2µVµV2µVµV2µVµV2µVµV2µV2µVµV2µVµV2µVµV2µVµV2µVµV2µVµV2µVµ0,450,80,40,60,40,80,40,480,30,80,40,240,40,80,80,480,60,60,20,40,60,50,80,40,80,30,750,60,60,5l,м2,550,51,52,550,51,55551,5152,50,5-t1 ,с52,522,532,5155232,522,53Таблица Д-1FX ,Н3sin2t-8cos4t2sin4t-3cos2t4cos4t6t2sin4t6t9t²-8cos4t2sin4t-6sin2t4cos4t6t3sin2t6t-3cos2t2cos2t-6sin4t4cos4t-3cos2t8sin2t6t2sin4t-6cos2t9t²3sin2t2cos2t-3cos2t8sin2tРешениеРассмотрим движение материальной точки на участке AB.

Изобразим начертеже материальнуюrr точку М в произвольном положении. На точкудействуют силы P и R . Введем ось z в направлении от точки А к точке В.Составим дифференциальное уравнение движения точки в проекции на ось z7mAdVZ= ∑ FKZdtилиmdVZ= PZ + RZ ,dtRУчитывая, что PZ = mg , RZ = -µV2 , VZ=V , получимMyPBmNFTPMzαPFdV= mg − µV 2 ,dtВведем обозначениеCxРис.

1.3dVµ= g− V2dtmилиb=.(1)µ 0,5== 0,5 (1/м).m1Тогда (1) запишется такdV= g − bV 2dt.(2)Так как в условии задачи задана длина участка АВ, то целесообразно приинтегрировании перейти от переменной t к переменной z в уравнении (2).Домножим на dz правую и левую части уравнения (2), получимdz()dV= g − bV 2 dz , т. к.dtdz=Vdt, то имеем()VdV = g − bV 2 dz(3)Разделим переменные в уравнении (3) и вычислим интегралы от обеих частейравенстваVdV1=dz,−ln g − bV 2 = z + C1 .(4)22bg − bV()Из начальных условий V0 = 0 , z0 = 0 следует, чтоC1 = −1ln g .2b(5)Подставим (5) в (4), получим1 g − bV 2− ln=z2bgилиg − bV 2= e −2bz .gТак как длина участка трубы АВ = 2 (м), то скорость в конце участка в точке Вбудет равна8VB2 = g1 − e −2bz1 − e −2⋅0,5⋅21= 10= 201 − 2  ,b0,5 e VB = 4,15 м/с .(6)Рассмотрим движение материальной точки на участке ВС. Изобразим впроизвольном положении точку и действующие на нее силы P=mg, N, FТР и F.Введем оси координат x и y и составим дифференциальное уравнение движенияточки в проекции на оси x и ydV Xm= mg sin α − FTP + F X ,(7)dt0 = N − mg cosα .(8)Найдем силу N из уравнения (8)N = mg cosα .Из этого равенства и закона Кулона FTP=fN определим силу тренияFTP = fmg cos α .Подставим значения сил трения и FX в уравнение (7)mdV X= mg (sin α − f cos α ) + 16 sin (3t ) .dt(9)Разделим обе части уравнения (9) на m и подставим численные значенияпараметровg (sin α − f cos α ) = 9,8 sin 30o − 0,2 cos 30o = 3,2 .(Имеем)dV X= 3,2 + 16 sin (3t ) .dt(10)Умножая обе части уравнения (10) на dt и интегрируя, получимV X = 3,2t −16cos(3t ) + C 2 .3Из начального условия V(0) = VB и (6) получимC 2 = 4,15 +16cos 0 = 9,48 .3(11)9Подставим значение C2 в (11)VX =dx16= 3,2t − cos 3t + 9,48 .dt3Умножаем обе части уравнения на dt и интегрируем по tx = 1,6t 2 −16sin 3t + 9,48t + C3 .9(12)Из начального условия x(0)=0, получим C3=0 .

Поставляем значение C3 в (12)и находим закон движения точки на участке ВСx = 1,6t 2 −16sin 3t + 9,48t .910ЗАДАНИЕ Д-2Свободные колебания материальной точки.Система пружин (рис. 2.1) с жесткостями С1 и С2 в начальный моментнедеформирована. Тело весом P совершает колебания, упав с высоты h изсостояния покоя или после сообщения ему начальной скорости V0 вниз иливверх. Найти закон колебаний x(t) тела, частоту колебаний k, период Т иамплитуду А этих колебаний. Необходимые данные взять из таблицы Д-2.Условия задачи таковы, что пластины, соединяющие пружины, во времяколебаний остаются параллельными своим первоначальным положениям.Пластины и пружины невесомы. Положительное направление оси x вниз.Считать g=10 м/с². Наклонные плоскости гладкие.Указание.

В заданиях с рисунками 1, 4, 7 определить предварительноV0 , учитывая параметр h.Пример выполнения задания Д-2Груз массой m=5 кг, прикрепленный к двум параллельно соединеннымпружинам с коэффициентами жесткости С1=200 н/м и С2=50 н/м перемещаетсяпо наклонной плоскости с углом наклона α=60º (рис.2.2а). В начальныймомент груз находился в положении равновесия, и ему сообщили начальнуюскорость V0=0,8 м/с, направленную вниз. Найти закон колебаний груза x=x(t)частоту колебаний, период и амплитуду этих колебаний.РешениеЗаменим прикрепленные к грузу пружины одной эквивалентной скоэффициентом жесткости СЭКВ .

Поскольку пружины соединены параллельно,тоСЭКВ = С1 + С2 =250 Н/м .Составим дифференциальное уравнение движения груза. Свяжем сгрузом систему координат xOy, начало координат поместим в положениестатического равновесия, а ось x направим в сторону удлинения пружины(рис.2.2б).Рассмотримr r груз вr произвольном положении и изобразим действующиена него силы P , FУПР и N . Так как эквивалентная пружина имеет удлинение l= x + δСТ , тоFУПР = C ЭКВ l = C ЭКВ ( x + δ СТ ) ,(1)1121h11212V034V0h21130O152612V0212V030O781h122V0109V0112V0230O1Рис. 2.112№варианта123456789101112131415161718192021222324252627282930№рисунка123456789101234567891012345678910C1,Н/см200190180170160150140130120110100908070605060708090100110120130140150160170180190C2,Н/см506070809010011012014015016017018019020015014013012011090807060504030907060P,Н202530354045505560654045505560657075808530354045505560657075h,см5837610948-где δСТ – статическая деформация пружины.Уравнение движения груза запишем в видеnm&x& = ∑ Fkx ,k =1гдеn∑ Fkx = mg cosα − FУПРk =1Тогда с учетом (1) уравнение примет видm&x& = mg cosα − C ЭКВ x − C ЭКВδ СТ ..Таблица Д-2V0,см/с50, вверх70, вниз30, вверх40, вниз70, вверх50, вниз20, вверх60, вниз40, вверх50, вниз30, вверх80, вниз40, вверх80, вниз70, вверх50, вниз40, вверх60, вниз30, вверх20, вниз50, вверх13y1V0CЭКВδСlТx2αFУПРαположение груза принедеформированнойпружинеа.NxP=mgпроизвольноеположениегрузаположениестатическогоравновесияб.Рис.