2 (Мануал по задачам )

1.  Функция Грина для уравнения Лапласа. А) Метод зеркальных отображений Выбираем произвольную точку из заданной области и отражаем её относительно всех границ. В случае границы‐отрезка должно соблюдаться равенство , в случае границы‐дуги ‐  (R‐радиус дуги окружности). Затем при необходимости также отражаем полученные точки и т. д. Цель – все точки относительно каждой границы должны ,уравновешиваться, т. е. 0. В соответствии с этим выбираются знаки и веса a. ∑ln,‐ функция Грина в общем виде: ln  ‐ решение задачи через функцию Грина: Б) Метод конформных отображений Цель – найти преобразование  , переводящее заданную область в единичный круг. ‐ функция Грина: , ,, ‐ решение:  ln |, |  2. Начально‐краевая задача для волнового уравнения на отрезке. ,0,, или ,0;0,,0, , или 0 0,, или 0,,  ,0 Решение: 1) Обнуляем краевые условия – аналогично уравнению теплопроводности 2) Замена  ‐ аналогично уравнению теплопроводности  и с. з.  ‐ такие же, как и в уравнении теплопроводности 3) С. ф. , 00, ,   ‐ коэффициенты ряда Фурье в разложении соответствующих функций. 1  3.  Классификация  линейных  относительно  старших  производных УрЧП 2го порядка в   2, , ,, (1) Решение (= классификация + приведение к каноническому виду): 2(2) а не “+”) 0 ‐ уравнение характеристики (Note: в нём перед 2 стоит “‐“, ; 0 эллиптическое уравнение 0 параболическое уравнение 0 гиперболическое уравнение Канонический вид уравнений (3): , , ,, , ,,, (эллиптическое)  (параболическое) , , ,, (гиперболическое) Приведение к каноническому виду: ‐ Эллиптическое уравнение: √2!Note: либо  √,, , либо √ , что одно и то же; но не  √  (Более подробно о том, как осуществляется переход : ,√,,;,. Подобные переходы для параболического и гиперболического уравнений производятся совершенно аналогично.) ,,13  ‐ Параболическое уравнение ,2,,,: 0 13  2  ‐ Гиперболическое уравнение √2,,,, ,21,3  2(Как осуществляются переходы  13 : ,, ,,. Аналогично ищется   и затем вторые производные, после чего результаты подставляются в исходное уравнение.) 4. Волновое уравнение на прямой и полупрямой ,,0,0,0 Решение: ,2,0,120,0,0,0,0(чётного) продолжения 00  сводится к задаче на всей прямой с помощью нечётного  и  на всю прямую. Но если функция u либо её производная заданы кусочно (либо с использованием модуля, что, фактически, то же самое), то есть специальный способ решения такой задачи. Сначала нужно построить схему вида:  где   и   – границы отрезков, на которых задана функция (Note: если наша задача на полупрямой, то отметить надо и точки , так как они появятся после расширения области на всю , строим соответствующую прямую, параллельную прямую). Далее, если решаем задачу при : оси x, и соответственно наоборот при x3   Эта прямая пересекает построенные ранее в нескольких точках, которые разбивают её на отрезки (на рисунке  ‐ отрезки 1‐5). После этого рассматриваем отдельно каждый из этих отрезков, выбираем на нём любую точку и проводим из неё прямые параллельно прямым x+at и x‐at. Находим координаты точек пересечения этих прямых с осью X (как на рисунке, или с осью T в случае x=const) с учётом заданного значения x  или . И затем подставляем полученные координаты в основную формулу вместо x‐at и x+at:  Приложение. Конформные отображения. Сдвиг на {a,b} Поворот на   4        sin   5  tan 12  6  1 .