1 (Мануал по задачам )
Описание файла
PDF-файл из архива "Мануал по задачам ", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "методы математической физики (ммф)" из 5 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
1. Решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводностина отрезке.⎧u t = a 2 u xx + bu x + cu + f ( x, t ), x ∈ (0, l ), t > 0⎪⎨u ( x,0) = ϕ ( x)⎪< граничные условия >⎩<граничные условия> имеют вид:⎧u x (0, t ) = µ1 (t )⎧u (0, t ) = µ1 (t )⎧u (0, t ) = µ1 (t )(тип1) или ⎨(тип 2) или ⎨(тип 3) или⎨⎩u (l , t ) = µ 2 (t )⎩u x (l , t ) = µ 2 (t )⎩u x (l , t ) = µ 2 (t )⎧u x (0, t ) = µ1 (t )(тип 4)⎨⎩u (l , t ) = µ 2 (t )Решение:1. Замена – для типов 1,3,4 v = u + α (t ) x + β (t ) ; для типа 2 v = u + α (t ) x 2 + β (t ) x2. Если в правой части ещё осталась u x , делаем замену ω = ve αx⎧ω = a 2ω xx + cω + f ( x, t )⎪3. Имеем уравнение ⎨ω ( x,0) = 0⎪< граничные условия >⎩ω ( x, t ) = ∑ Tn (t ) X n ( x) , причём для типов 1-4 Xn(x) находится по формулам:n⎧ X n ( x) = sin λ n x⎪21.
⎨⎛π ⎞λ=n⎟ , n = 1,2,...⎪ n ⎜⎝l ⎠⎩⎧ X n ( x) = cos λ n x⎪22. ⎨⎛π ⎞λ=n⎟ , n = 0,1,...⎪ n ⎜⎝l ⎠⎩⎧ X n ( x) = sin λn x⎪23. ⎨⎛π ⎛1 ⎞⎞⎪λn = ⎜⎜ ⎜ n − ⎟ ⎟⎟ , n = 1,2,...2 ⎠⎠⎝l ⎝⎩⎧ X n ( x) = cos λn x⎪24. ⎨⎛π ⎛1 ⎞⎞⎪λn = ⎜⎜ ⎜ n − ⎟ ⎟⎟ , n = 1,2,...2 ⎠⎠⎝l ⎝⎩Tn(t) находится из системы⎧Tn′ + (λ n a 2 − c)Tn = f n (t ), где⎨=T(0)ϕn⎩ nlf n (t ) =2f ( x, t ) X n ( x)dxl ∫0l2ϕ n (t ) = ∫ ϕ ( x) X n ( x)dxl 012.
Уравнение теплопроводности на прямой⎧⎪u t = a 2 u xx + f ( x, t ), x ∈ (−∞;+∞)⎨⎪⎩u ( x,0) = ϕ ( x), u < cРешение:x k ( x) = e ikx , k ∈ R, λ = k 2+∞+∞ t−∞−∞ 0u ( x, t ) = ∫ G ( x, y, t )ϕ ( y )dy +G ( x, y , t ) =12a πte−∫ ∫ G( x, y, t − τ ) f ( y,τ )dτdy , где( x− y )24 a 2t- функция Грина, Φ ( z ) =2πz∫e−x2dx, Φ(+∞) = 102’. Задача на полупрямой⎧u t = a 2 u xx + f ( x, t ), x > 0, t > 0⎪⎨u (0, t ) = µ (t ) ( №1) или u x (0, t ) = µ (t ) ( № 2)⎪u ( x,0) = ϕ ( x)⎩⎧нечётное продолжение для 1 на (−∞,0)fˆ (ϕˆ ) = ⎨⎩чётное продолжение для 23.Уравнения Лапласа и Пуассона в круге/кольце∆0,,1),Ищем решение в виде,cossinСоответственно, если в граничном условии производная u, то эту формулу надо почленнопродифференцировать.Далее остаётся подставить в неё значение r=a и найти коэффициентыи .
Скорееимеет видsincos , поэтому эти коэффициенты находятсявсего,очевидным образом.∆0,,(граничные условия тоже могут быть в виде производных)2),Ищем решение в виде1,С lncossincossinПодставляем r=a, затем r=b и находим коэффициенты из полученной системы уравнений.4. Уравнения Лапласа и Пуассона1) Кольцевой сектор⎧∆u = 0, a < r < b, 0 < ϕ < α⎪u (r ,0) = µ (r )1⎪⎪⎨u (r , α ) = µ 2 (r )⎪u (a, ϕ ) = f (ϕ )1⎪⎩⎪u (b, ϕ ) = f 2 (ϕ )2Решение:α2πf in = ∫ f i (ϕ ) sin nϕdϕαα0ππn− n⎧αα+= f1nAaBa⎪ nn⎨ππ⎪ A b α n + B b −α n = fn2n⎩ nππ− n ⎞n⎛παα ⎟⎜u (r , ϕ ) = ∑ ⎜ An r + Bn rsin nϕ⎟n =1 ⎝⎠ α2) Круговой сектор⎧∆u = 0, 0 < r < a, 0 < ϕ < α⎪⎨u (r ,0) = u (r , α ) = 0⎪u (a, ϕ ) = f (ϕ )⎩∞Решение:πAn = a− n22απf (ϕ ) sin nϕdϕα∫α0∞πnu (r , ϕ ) = ∑ An r α sinn =1πnϕα3) Прямоугольник⎧∆u = 0, 0 < x < a, 0 < y < b⎪u ( x,0) = ϕ ( x)1⎪⎪uxbϕ(,)=⎨2 ( x)⎪u (0, y ) = ψ ( y )1⎪⎪⎩u (a, y ) = ψ 2 ( y )Решение:Раскладываем u как u = u + uˆ , так что⎧∆uˆ = 0⎧∆u = 0⎪uˆ ( x,0) = ϕ ( x)⎪u ( x,0) = 01⎪⎪⎪⎪ˆuxbuxbϕ(,)=0=(,),⎨⎨2 ( x)⎪u (0, y ) = ψ ( y ) ⎪uˆ (0, y ) = 01⎪⎪⎪⎩u (a, y ) = ψ 2 ( y ) ⎪⎩uˆ (a, y ) = 0⎧ An + Bn = ψ 1n⎪ππ⎨− nana⎪⎩ An e b + Bn e b = ψ 2 nππ− nx ⎞nx⎛πb⎜u ( x, y ) = ∑ ⎜ An e + Bn e b ⎟⎟ sin nybn =1 ⎝⎠4) Полуполоса⎧∆u = 0, 0 < x < +∞, 0 < y < b⎪⎨u ( x,0) = u ( x, b) = 0⎪u (0, y ) = ψ ( y )1⎩∞Решение:32πψ 1 ( y ) sin nydy∫b0bbBn =∞u ( x, y ) = ∑ Bn en =1π− nxbsinπbnyNote: если граничные условия вида,0 ;, заданы в форме производных, то нужноопределить тип уравнения так же, как и в уравнении теплопроводности.
В результате всоответствующих интегралах и суммах sin может поменяться на cos , а – на.4.